Ostacoli in un (per)corso di matematica
Salve,
sono un dipendente pubblico nonchè studente (in età avanzata) di architettura che da qualche anno nel tempo libero presta servizio in un doposcuola solidale aiutando studenti delle scuole secondarie nello studio della matematica.
In questa esperienza ho potuto constatare che ad oggi il problema principale di chi ha difficoltà nell'apprendimento della matematica non è tanto quello di non avere delle basi ma di aver studiato "alla lettera" fin dalle basi. Questo lo si evince da molti particolari, come l'incapacità di applicare le proprietà delle operazioni aritmetiche (che si spera abbiano studiato) anche in campo algebrico, o l'estraneità del concetto di equazione che impedisce di vedere i membri destro e sinistro come delle quantità equivalenti, tanto per fare qualche esempio. Tutto quello che sanno di matematica questi ragazzi è una cozzaglia di teoremi, formule e regole imparate a pappagallo e applicate all'occorrenza nella speranza di non incappare in qualche caso particolare.
Per rimediare a questo disastro didattico ho istituito all'interno del doposcuola un corso di matematica che parte dall'aritmetica elementare per arrivare fino alle nozioni più importanti dell'analisi matematica. E' un corso lunghissimo la cui durata dipenderà dalla velocità di apprendimento degli studenti, i quali tuttavia non sono completamente digiuni di matematica, il problema principale sono io che spesso ho dovuto ricorrere alla rete per preparare le lezioni su argomenti che non vedevo da più di 20 anni, spero vivamente anche in un vostro aiuto quando ne avrò bisogno.
Già dalla prima lezione sui numeri naturali il disinteresse iniziale si è tramutato rapidamente in entusiasmo e coinvolgimento, merito forse del metodo partecipativo che ho ideato, gli studenti hanno iniziato a fare domande su domande, spesso anticipando anche quello che stavo per spiegare, ultimamente ho anche un paio di genitori interessati che si fermano a seguire le lezioni. Come immaginavo però è arrivata la domanda da un milione di dollari, la divisione euclidea con gli interi relativi, un concetto che ho spiegato perfettamente come da manuale ma che ha fatto sorgere dubbi non solo a loro ma anche a me mentre lo esponevo (quando chi insegna matematica è l'unico che non deve avere dubbi).
Veniamo al punto, quando ho esposto il concetto di divisione con resto nei numeri naturali ho detto:
La divisione con resto è "intuitivamente" quell'operazione che si fa quando si suddivide un numero a di oggetti in gruppi di b oggetti ciascuno, quindi si conta quanti gruppi sono stati formati e quanti oggetti sono "rimasti". Il numero a si chiama dividendo, il numero b è il divisore, il numero di gruppi formati è il quoziente e il numero di oggetti rimanenti è il resto.
La definizione di divisione euclidea dice:
Siano $ a,b in Z $ , $ b != 0 $ . Allora esistono e sono univocamente determinati due interi $ q in Z $ (detto quoziente) ed $ r in N $ (detto resto) in modo tale che
$ a=bq+r $ , $ 0 <= r < |b| $
Se a e b sono numeri maggiori di 0 "i conti tornano", ma seguendo questa definizione si avrà sempre $ bq<=a $ anche con $ a<0 $ , e qui il concetto naturale di divisione insito nella mente di uno studente cozza contro il rigore della definizione matematica, come è possibile ottenere più gruppi di b elementi se il numero a non è sufficiente? Il resto viene infatti visto "naturalmente" come quella parte di dividendo che non può essere ulteriormente divisa indipendentemente dal fatto che il dividendo sia una quantità positiva o negativa, il resto ha quindi un segno che dipende dal segno del dividendo, è una visione concreta che difficilmente si riesce ad abbandonare quando si entra nel mondo astratto dei numeri negativi.
Su questo argomento tornerò nella prossima lezione portando un esempio che ho escogitato:
Una società alla pari di tre persone ha un debito di 13 euro con una banca, a quanto ammonta il debito di ogni socio verso la banca in modo che il bilancio sia a favore di quest'ultima?
Se eseguissi la divisione alla stregua di una divisione tra numeri naturali otterrei un quoziente di -4 con resto di -1 e questo non sarebbe sufficiente a coprire il debito proprio a causa di quel resto negativo che indica ancora una situazione di debito, se ad ogni socio addebitassi invece 5 euro allora il debito sarebbe interamente coperto e la banca dovrebbe 2 euro di resto verso la società, in definitiva:
$ -13:3=-5 $ con resto di $ 2 $
Potrebbe essere convincente come esempio? Con cosa altro potrei argomentare considerando che ci sono studenti anche della scuola secondaria inferiore?
sono un dipendente pubblico nonchè studente (in età avanzata) di architettura che da qualche anno nel tempo libero presta servizio in un doposcuola solidale aiutando studenti delle scuole secondarie nello studio della matematica.
In questa esperienza ho potuto constatare che ad oggi il problema principale di chi ha difficoltà nell'apprendimento della matematica non è tanto quello di non avere delle basi ma di aver studiato "alla lettera" fin dalle basi. Questo lo si evince da molti particolari, come l'incapacità di applicare le proprietà delle operazioni aritmetiche (che si spera abbiano studiato) anche in campo algebrico, o l'estraneità del concetto di equazione che impedisce di vedere i membri destro e sinistro come delle quantità equivalenti, tanto per fare qualche esempio. Tutto quello che sanno di matematica questi ragazzi è una cozzaglia di teoremi, formule e regole imparate a pappagallo e applicate all'occorrenza nella speranza di non incappare in qualche caso particolare.
Per rimediare a questo disastro didattico ho istituito all'interno del doposcuola un corso di matematica che parte dall'aritmetica elementare per arrivare fino alle nozioni più importanti dell'analisi matematica. E' un corso lunghissimo la cui durata dipenderà dalla velocità di apprendimento degli studenti, i quali tuttavia non sono completamente digiuni di matematica, il problema principale sono io che spesso ho dovuto ricorrere alla rete per preparare le lezioni su argomenti che non vedevo da più di 20 anni, spero vivamente anche in un vostro aiuto quando ne avrò bisogno.
Già dalla prima lezione sui numeri naturali il disinteresse iniziale si è tramutato rapidamente in entusiasmo e coinvolgimento, merito forse del metodo partecipativo che ho ideato, gli studenti hanno iniziato a fare domande su domande, spesso anticipando anche quello che stavo per spiegare, ultimamente ho anche un paio di genitori interessati che si fermano a seguire le lezioni. Come immaginavo però è arrivata la domanda da un milione di dollari, la divisione euclidea con gli interi relativi, un concetto che ho spiegato perfettamente come da manuale ma che ha fatto sorgere dubbi non solo a loro ma anche a me mentre lo esponevo (quando chi insegna matematica è l'unico che non deve avere dubbi).
Veniamo al punto, quando ho esposto il concetto di divisione con resto nei numeri naturali ho detto:
La divisione con resto è "intuitivamente" quell'operazione che si fa quando si suddivide un numero a di oggetti in gruppi di b oggetti ciascuno, quindi si conta quanti gruppi sono stati formati e quanti oggetti sono "rimasti". Il numero a si chiama dividendo, il numero b è il divisore, il numero di gruppi formati è il quoziente e il numero di oggetti rimanenti è il resto.
La definizione di divisione euclidea dice:
Siano $ a,b in Z $ , $ b != 0 $ . Allora esistono e sono univocamente determinati due interi $ q in Z $ (detto quoziente) ed $ r in N $ (detto resto) in modo tale che
$ a=bq+r $ , $ 0 <= r < |b| $
Se a e b sono numeri maggiori di 0 "i conti tornano", ma seguendo questa definizione si avrà sempre $ bq<=a $ anche con $ a<0 $ , e qui il concetto naturale di divisione insito nella mente di uno studente cozza contro il rigore della definizione matematica, come è possibile ottenere più gruppi di b elementi se il numero a non è sufficiente? Il resto viene infatti visto "naturalmente" come quella parte di dividendo che non può essere ulteriormente divisa indipendentemente dal fatto che il dividendo sia una quantità positiva o negativa, il resto ha quindi un segno che dipende dal segno del dividendo, è una visione concreta che difficilmente si riesce ad abbandonare quando si entra nel mondo astratto dei numeri negativi.
Su questo argomento tornerò nella prossima lezione portando un esempio che ho escogitato:
Una società alla pari di tre persone ha un debito di 13 euro con una banca, a quanto ammonta il debito di ogni socio verso la banca in modo che il bilancio sia a favore di quest'ultima?
Se eseguissi la divisione alla stregua di una divisione tra numeri naturali otterrei un quoziente di -4 con resto di -1 e questo non sarebbe sufficiente a coprire il debito proprio a causa di quel resto negativo che indica ancora una situazione di debito, se ad ogni socio addebitassi invece 5 euro allora il debito sarebbe interamente coperto e la banca dovrebbe 2 euro di resto verso la società, in definitiva:
$ -13:3=-5 $ con resto di $ 2 $
Potrebbe essere convincente come esempio? Con cosa altro potrei argomentare considerando che ci sono studenti anche della scuola secondaria inferiore?
Risposte
Forse ho trovato il modo di fargli digerire la divisione con dividendo negativo e resto mettendola in questi termini:
La divisione tra numeri naturali o tra interi positivi è una divisione effettuata su un gruppo di elementi concreti la cui quantità corrisponde al dividendo, il resto di questa divisione è effettivamente una parte di quegli elementi che viene messa da parte perchè non può essere divisa essendo di quantità inferiore al divisore. Se però il dividendo è un numero negativo significa che non abbiamo nessuna quantità di elementi da dividere, casomai a dover essere divisa è la mancanza di un certo numero di elementi; per sopperire a questa mancanza ho bisogno di tanti contributi quanti ne vengono indicati dal divisore, per ogni contributo chiedo lo stesso numero di elementi la cui somma deve essere ovviamente uguale o maggiore degli elementi mancanti per poter colmare questa mancanza, il numero di elementi chiesti per un contributo è il quoziente della divisione ed essendo una parte degli elementi mancanti deve essere negativo, se la somma di tutti degli elementi richiesti con i contributi è maggiore degli elementi mancanti allora quando avrò colmato questa mancanza mi avanzerà qualche elemento che chiamerò resto, questo resto deve essere comunque inferiore al divisore nonchè positivo essendo un qualcosa che avanza.
Questo dovrebbe anche far capire concettualmente qual è la differenza tra un numero positivo ed un numero negativo.
Vorrei inoltre fargli capire perchè il resto non può essere negativo, esiste qualcosa che dimostri perchè il resto non può essere negativo?
Grazie.
La divisione tra numeri naturali o tra interi positivi è una divisione effettuata su un gruppo di elementi concreti la cui quantità corrisponde al dividendo, il resto di questa divisione è effettivamente una parte di quegli elementi che viene messa da parte perchè non può essere divisa essendo di quantità inferiore al divisore. Se però il dividendo è un numero negativo significa che non abbiamo nessuna quantità di elementi da dividere, casomai a dover essere divisa è la mancanza di un certo numero di elementi; per sopperire a questa mancanza ho bisogno di tanti contributi quanti ne vengono indicati dal divisore, per ogni contributo chiedo lo stesso numero di elementi la cui somma deve essere ovviamente uguale o maggiore degli elementi mancanti per poter colmare questa mancanza, il numero di elementi chiesti per un contributo è il quoziente della divisione ed essendo una parte degli elementi mancanti deve essere negativo, se la somma di tutti degli elementi richiesti con i contributi è maggiore degli elementi mancanti allora quando avrò colmato questa mancanza mi avanzerà qualche elemento che chiamerò resto, questo resto deve essere comunque inferiore al divisore nonchè positivo essendo un qualcosa che avanza.
Questo dovrebbe anche far capire concettualmente qual è la differenza tra un numero positivo ed un numero negativo.
Vorrei inoltre fargli capire perchè il resto non può essere negativo, esiste qualcosa che dimostri perchè il resto non può essere negativo?
Grazie.
Sinceramente, non ho capito bene cosa vuoi fargli "digerire" ...
Premesso che, secondo me, cercare un esempio "concreto" per ogni "operazione" matematica non solo è faticoso ma talvolta anche controproducente (se troppo complicato e farraginoso) si può notare che per ogni divisione puoi SEMPRE avere il divisore positivo (e questo risolve un problema).
Poi come esempio potresti dire che hai un debito di $47\ €$ (cioè possiedi $-47\ €$) con $5$ persone in solido; quant'è il debito con ciascuna? Sarai in debito con ciascuna di $10\ €$ (cioè possederai $-10\ €$ di ciascuna persona) ma ti resterà anche un credito totale di $+3\ €$.
Forse può andare ...
Cordialmente, Alex
Premesso che, secondo me, cercare un esempio "concreto" per ogni "operazione" matematica non solo è faticoso ma talvolta anche controproducente (se troppo complicato e farraginoso) si può notare che per ogni divisione puoi SEMPRE avere il divisore positivo (e questo risolve un problema).
Poi come esempio potresti dire che hai un debito di $47\ €$ (cioè possiedi $-47\ €$) con $5$ persone in solido; quant'è il debito con ciascuna? Sarai in debito con ciascuna di $10\ €$ (cioè possederai $-10\ €$ di ciascuna persona) ma ti resterà anche un credito totale di $+3\ €$.
Forse può andare ...
Cordialmente, Alex
Nelle divisioni con resto il resto deve sempre essere positivo, generalmente queste divisioni si definiscono solo per i numeri positivi e poi, con la regola dei segni, si estendono anche ai numeri negativi. Credo di capire che il tuo problema sia dovuto alla necessità di avere il resto positivo.
Provo con un esempio adatto alle mamme.
Per fare una torta alla crema servono 14 uova, ma le confezioni sono da 6 uova ciascuna. Quante confezioni di uova devo prendere?
Tradotta in numeri $(-14) : 6 = -3$, con resto $4$, ovvero mi mancano 3 confezioni, poi avanzerò 4 uova.
Provo con un esempio adatto alle mamme.
Per fare una torta alla crema servono 14 uova, ma le confezioni sono da 6 uova ciascuna. Quante confezioni di uova devo prendere?
Tradotta in numeri $(-14) : 6 = -3$, con resto $4$, ovvero mi mancano 3 confezioni, poi avanzerò 4 uova.
Grazie per gli esempi, alla prossima lezione li userò come esercizi da risolvere collettivamente alla lavagna per vedere se hanno compreso per bene il concetto, anche se nell'ultima lezione mi pare di aver visto nei loro occhi quel luccichio che sembra gridare "eureka!" 
Il fatto è che ho una classe molto eterogenea, ci sono alunni sia della scuola secondaria di primo grado che della scuola secondaria di secondo grado (nonchè alcuni adulti), quelli della scuola secondaria di primo grado non hanno ancora una buona capacità di astrazione e senza esempi concreti rischiano di accettare passivamente quello che gli viene insegnato, quindi quando è possibile cerco di essere concreto ma sto lavorando anche su come sviluppare il loro pensiero astratto; già nella dimostrazione della regola dei segni con la moltiplicazione ho usato un metodo induttivo per dimostrare $ +\cdot- = - $ e $ -\cdot- = + $ , alla fine della dimostrazione sono saltati sulla sedia con un sorriso a 36 denti, credo che abbiano capito
Il fatto è che ho una classe molto eterogenea, ci sono alunni sia della scuola secondaria di primo grado che della scuola secondaria di secondo grado (nonchè alcuni adulti), quelli della scuola secondaria di primo grado non hanno ancora una buona capacità di astrazione e senza esempi concreti rischiano di accettare passivamente quello che gli viene insegnato, quindi quando è possibile cerco di essere concreto ma sto lavorando anche su come sviluppare il loro pensiero astratto; già nella dimostrazione della regola dei segni con la moltiplicazione ho usato un metodo induttivo per dimostrare $ +\cdot- = - $ e $ -\cdot- = + $ , alla fine della dimostrazione sono saltati sulla sedia con un sorriso a 36 denti, credo che abbiano capito
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