Irrazionalità di $sqrt(2)$

[gugo82]

Sì, ce ne sono millemila dimostrazioni... Tuttavia qualche tempo fa ne avevo incrociata una mai vista.
Mi pare che si basasse sul moltiplicare $sqrt(2)$ per qualcosa tipo $sqrt(2) - 1$ e nel tirarne fuori una contraddizione, ma purtroppo non sono in grado di ricordare quale né dove l'ho letta.
Qualcuno l'ha incrociata da qualche parte?

[megas_archon]

Era una dimostrazione elementare o era una di quelle cose tipo "dal teorema di Fermat segue che \(\sqrt[n]{2}\) è irrazionale (ma per $n=2$ bisogna usare un risultato piu forte)"? Qui https://math.stackexchange.com/question ... irrational ce ne sono molte che usano \(\sqrt 2 -1\), forse ti riferisci a questa, ma in realtà spero tu ti riferisca a questa.

[gugo82]

Parafrasando il profeta di Quelo: "La prima che hai detto...".

Tra l'altro, non mi ero accorto del fatto che tutto fosse riconducibile ad una sorta di sequenza di gnomoni: è molto simpatico questo fatto.

[gugo82]

Stamattina, magicamente, ho ritrovato la dimostrazione cui accennavo all'inizio.
La riporto qui, nel caso servisse:

Per assurdo, supponiamo $sqrt(2) in QQ$ e sia $\nu := min \{ n \in NN:\ n sqrt(2) in NN\}$.
Chiaramente $nu (sqrt(2) - 1) = nu sqrt(2) - nu in NN$ (perché $1
$nu (sqrt(2) - 1) sqrt(2) = 2nu - nu sqrt(2) in NN$;

ma ciò è assurdo, perché $nu (sqrt(2) - 1) < nu$ (perché $sqrt(2)<2$).

[gugo82]

Ne scrivo un'altra, a quanto pare dovuta a Ivan Niven.

Per assurdo, supponiamo che $sqrt(2) = n/m$ con $n > m >= 1$ e $"MCD"(n,m) = 1$.
Per il Teorema di Bezout, esistono $x,y in ZZ$ tali che $nx + my = 1$, sicché $(nx+my)^2 = 1$ ossia $n^2 x^2 + 2nmxy + m^2 y^2 =1$ e, dato che da $sqrt(2) = n/m$ segue $n^2 = 2m^2$, per sostituzione otteniamo:

$m (2mx^2 + 2nxy + my^2) = 1$

cosicché $m=1$ (perché l'unico divisore positivo di $1$ è esso stesso). Dunque $n^2 = 2 < 4 = 2^2$, ossia $n<2$; ma ciò è assurdo, perché $n>m=1$ e non esistono naturali compresi tra $1$ e $2$.

[dan952]

Supponiamo che $\root[n]{2}$ è razionale per $n>2$, quindi esistono $a,b$ interi positivi coprimi tali che $\root[n]{2}=a/b$ da cui segue $2b^n=a^n$, ovvero $b^n+b^n=a^n$ contro l'ultimo Teorema di Fermat.

[gugo82]

"dan95":Supponiamo che $\root[n]{2}$ è razionale per $n>2$, quindi esistono $a,b$ interi positivi coprimi tali che $\root[n]{2}=a/b$ da cui segue $2b^n=a^n$, ovvero $b^n+b^n=a^n$ contro l'ultimo Teorema di Fermat.

C'era già arrivato qualcuno mesi fa:

"megas_archon":Era una dimostrazione elementare o era una di quelle cose tipo "dal teorema di Fermat segue che \(\sqrt[n]{2}\) è irrazionale (ma per $n=2$ bisogna usare un risultato piu forte)"?

[megas_archon]

haha! Ma magari l'avessi scoperto io!