Il significato del termine "Risolvere" in matematica.
Salve,volevo porvi una domanda,con la speranza che questa sia la sezione giusta.In qualche post fa mi fu detto che nel corso della storia,il significato matematico del termine "risolvere" ha cambiato significato,passando da indicare ,l'esplicitazione della soluzione(per esempio di un equazione differenziale) a capire se tale soluzione esista.Ora la domanda che vorrei porvi,se non vi reca disturbo, è:"Perché il significato di questo termine è cambiato?,e cosa ha comportato?".
Risposte
Si', e' cambiato nel tempo proprio come ti e' stato detto, e l'esempio delle equazioni differenziali e' esemplare. Infatti, in generale non e' possibile integrare esplicitamente un'equazione differenziale, nemmeno quelle di forma piu' semplice: basta che prendi $y'(x)=e^{x^2}$, e' stato dimostrato (Liouville) che non esiste alcuna funzione "elementare" (cioe' costruita con le operazioni note e le funzioni elementari note, potenze, sin, cos, exp, log, ecc..) la cui derivata ti dia $e^{x^2}$, dunque questa semplicissima equazione ordinaria non puo' essere integrata in modo "esplicito", uno si deve accontentare, in prima battuta, di scrivere le soluzioni come $y(x)=y(0)+\int_0^xe^{t^2}dt$. Quello di cui si va alla ricerca e' quindi un teorema di esistenza (e magari di unicita') che ti garantisca che sotto opportune condizioni un'equazione differenziale abbia soluzione, anche se non la puoi scrivere esplicitamente. Questo passaggio, apparentemente speculativo, e' in realta' cruciale: solo dopo aver dimostrato in modo astratto che una soluzione ci deve essere si puo' studiare e implementare un metodo numerico che ti consenta di avere una forma approssimata della soluzione stessa.
Grazie per la risposta,quindi dato che la soluzione esiste si può studiare,anche senza esplicitarla,in pratica lavorando con la forma implicita,giusto?
esatto.
grazie nuovamente.
"mklplo":
Grazie per la risposta,quindi dato che la soluzione esiste si può studiare,anche senza esplicitarla,in pratica lavorando con la forma implicita,giusto?
Beh, a volte non serve nemmeno la "forma implicita"... Basta conoscere ed analizzare bene il problema dal quale la soluzione proviene.
grazie anche a te,anche se penso che per fare questo,ci voglia un buon livello di conoscenza.
scusate,se riesumo il post dopo 4 giorni,ma mi è venuto un dubbio:"quale fu il primo matematico a proporre questo approccio?
e trovò difficoltà nel far compiere questo passo ai matematici dell'epoca?".
e trovò difficoltà nel far compiere questo passo ai matematici dell'epoca?".
Si tratta di una naturale evoluzione del pensiero matematico, motivata (come molti altri sviluppi, come la nascita dell'Algebra Astratta o dell'Analisi Funzionale) dallo svilupparsi della teoria delle equazioni differenziali nella direzione indicata da Cauchy, ossia nel provare teoremi di esistenza piuttosto di cercare formule di rappresentazione delle soluzioni.
Per capire questi passaggi concettuali importanti, ti consiglio di leggerlo un paio di libri di Storia della Matematica: Boyer, Storia della Matematica ed Odifreddi, La Matematica del Novecento ... Come lettura estiva non sono affatto male!
Per capire questi passaggi concettuali importanti, ti consiglio di leggerlo un paio di libri di Storia della Matematica: Boyer, Storia della Matematica ed Odifreddi, La Matematica del Novecento ... Come lettura estiva non sono affatto male!
Grazie,proprio quello che cercavo(in quanto,fra 3 anni,all'esame di maturità,volevo portare proprio questo come argomento in matematica).
Secondo me non c'è bisogno di andare così lontano. Si può benissimo discutere sulla "risoluzione" di questa equazione
$x^2=2$.
Alle superiori ti insegnano che le soluzioni sono $sqrt 2$ e $- sqrt 2$. E buona notte... Sì, ma c'è un "piccolissimo" problema: cos'è $sqrt 2$? E li ti viene data la definizione. Il problema è che è $sqrt 2$ è un simbolo che non significa niente. Cosa voglio dire con questo? Prima di parlare di qualcosa in matematica ci si interroga sull'esistenza o sulla sensatezza di ciò che si prende in esame. Nel nostro caso, abbiamo una semplice - si fa per dire - equazione. E prima di parlare delle sue soluzioni bisognerebbe chiedersi se ne ha almeno una. Dopo e solo dopo posso permettermi di dire quali sono le soluzioni indicandole con $sqrt 2$ e $- sqrt 2$, perché senza un teorema dell'esistenza questi simboli non avrebbero alcun significato, sarebbero soltanto aria fritta!
$x^2=2$.
Alle superiori ti insegnano che le soluzioni sono $sqrt 2$ e $- sqrt 2$. E buona notte... Sì, ma c'è un "piccolissimo" problema: cos'è $sqrt 2$? E li ti viene data la definizione. Il problema è che è $sqrt 2$ è un simbolo che non significa niente. Cosa voglio dire con questo? Prima di parlare di qualcosa in matematica ci si interroga sull'esistenza o sulla sensatezza di ciò che si prende in esame. Nel nostro caso, abbiamo una semplice - si fa per dire - equazione. E prima di parlare delle sue soluzioni bisognerebbe chiedersi se ne ha almeno una. Dopo e solo dopo posso permettermi di dire quali sono le soluzioni indicandole con $sqrt 2$ e $- sqrt 2$, perché senza un teorema dell'esistenza questi simboli non avrebbero alcun significato, sarebbero soltanto aria fritta!
"Indrjo Dedej":Non sono d'accordo
Il problema è che è $sqrt 2$ è un simbolo che non significa niente.
"Indrjo Dedej":
Cosa voglio dire con questo? Prima di parlare di qualcosa in matematica ci si interroga sull'esistenza o sulla sensatezza di ciò che si prende in esame.
direi che $sqrt2$ esiste ed è sensato...
Usando il compasso si rappresenta anche faciolmente sulla retta, più difficile è sistemare $pi$
Beh, sono d'accordo con gio73.
Costruire il quadrato con area uguale a $2$ è banale e ciò consente di vedere l'esistenza della soluzione al problema anche senza avere a disposizione una buona teoria dei numeri reali...
Costruire il quadrato con area uguale a $2$ è banale e ciò consente di vedere l'esistenza della soluzione al problema anche senza avere a disposizione una buona teoria dei numeri reali...
Forse mi sono spiegato male e non ho fatto intendere quello che volevo. Mi scuso anche per il notevole ritardo. Pensavo di aver sottoscritto l'argomento, ma evidentemente non è così.
Nelle prime righe stavo cercando di riflettere su quello che alle superiori si fa. Di fronte a una equazione del genere lo studente passa brutalmente all'esplicitazione delle soluzioni. Solo che in questo contesto $sqrt 2$ è stato solo definito. Ma avrebbe bisogno del suppprto di un teorema dell'esistenza, prima di poter nominare certe cose. Questo era il succo del mio post precedente.
Nelle prime righe stavo cercando di riflettere su quello che alle superiori si fa. Di fronte a una equazione del genere lo studente passa brutalmente all'esplicitazione delle soluzioni. Solo che in questo contesto $sqrt 2$ è stato solo definito. Ma avrebbe bisogno del suppprto di un teorema dell'esistenza, prima di poter nominare certe cose. Questo era il succo del mio post precedente.
"Indrjo Dedej":
Prima di parlare di qualcosa in matematica ci si interroga sull'esistenza o sulla sensatezza di ciò che si prende in esame. Nel nostro caso, abbiamo una semplice - si fa per dire - equazione. E prima di parlare delle sue soluzioni bisognerebbe chiedersi se ne ha almeno una. Dopo e solo dopo posso permettermi di dire quali sono le soluzioni indicandole con $sqrt 2$ e $-sqrt 2$, perché senza un teorema dell'esistenza questi simboli non avrebbero alcun significato, sarebbero soltanto aria fritta!
Ora ho capito il punto di vista. Grazie.
Ti faccio notare, però, che in contesti elementari non si ha sempre bisogno di un teorema di esistenza "astratto" perché le soluzioni sono sempre determinabili con l'uso di "semplici" formule di rappresentazione esplicite.
Inoltre, il grado di sofisticazione con cui si affrontano le questioni matematiche dipende molto anche dall'età, dal background culturale e dal grado d'interesse nei problemi degli scolari, nonché da quanto il docente riesce a far sembrare "naturale" il modo dei matematici moderni di approcciare la questione.
Ti faccio notare, però, che in contesti elementari non si ha sempre bisogno di un teorema di esistenza "astratto" perché le soluzioni sono sempre determinabili con l'uso di "semplici" formule di rappresentazione esplicite.
Inoltre, il grado di sofisticazione con cui si affrontano le questioni matematiche dipende molto anche dall'età, dal background culturale e dal grado d'interesse nei problemi degli scolari, nonché da quanto il docente riesce a far sembrare "naturale" il modo dei matematici moderni di approcciare la questione.
Comunque era uno spunto di riflessione. È un caso molto semplice e sicuramente più vicino a @mklplo, che però a mio parere non va affrontato con tanta leggerezza e che rifletterci non può che far bene. Ora questo che ho scritto è una piccola smania "filosofica" che mi viene alcune volte 
, ma una riflessione su questo tema vale veramente la pena farla secondo me.
, ma una riflessione su questo tema vale veramente la pena farla secondo me.
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