Estremo superiore
Buon giorno, avrei un piccolo dubbio sull'estremo superiore.
Mi è stata data come definizione di estremo superiore la seguente: dicesi estremo superiore di un insieme $E \subset X$ superiormente limitato il minimo dei maggioranti di $E$, definendo maggiorante di $E$ quel numero $\alpha \in X : \forall x \in E, x \leq \alpha$.
Considerando l'insieme $ E = { p in \mathbb{Q} : p > 0 \wedge p^2 < 3 }$ come sottoinsieme di $mathbb{Q}$, $E$ non ammette estremo superiore poiché la classe dei maggioranti di $E$ non ha minimo. Considerando invece $E$ come sottoinsieme di $\mathbb{R}$, essendo $E$ superiormente limitato e avendo $\mathbb{R}$ la proprietà dell'estremo superiore (ossia $\mathbb{R}$ è campo completo), $E$ deve ammettere estremo superiore.
Qualora mi venga chiesto di determinare l'estremo superiore di un insieme $E$ costituito da elementi di $\mathbb{Q}$, senza specificare se $E$ sia da considerare come sottoinsieme di $\mathbb{Q}$ o di $\mathbb{R}$, che risposta devo dare nel caso in cui la classe dei maggioranti di $E$ (considerando $E$ sottoinsieme di $\mathbb{Q}$) non abbia minimo? E' necessario specificare rispetto a quale insieme considero l'estremo superiore?
Grazie!
Mi è stata data come definizione di estremo superiore la seguente: dicesi estremo superiore di un insieme $E \subset X$ superiormente limitato il minimo dei maggioranti di $E$, definendo maggiorante di $E$ quel numero $\alpha \in X : \forall x \in E, x \leq \alpha$.
Considerando l'insieme $ E = { p in \mathbb{Q} : p > 0 \wedge p^2 < 3 }$ come sottoinsieme di $mathbb{Q}$, $E$ non ammette estremo superiore poiché la classe dei maggioranti di $E$ non ha minimo. Considerando invece $E$ come sottoinsieme di $\mathbb{R}$, essendo $E$ superiormente limitato e avendo $\mathbb{R}$ la proprietà dell'estremo superiore (ossia $\mathbb{R}$ è campo completo), $E$ deve ammettere estremo superiore.
Qualora mi venga chiesto di determinare l'estremo superiore di un insieme $E$ costituito da elementi di $\mathbb{Q}$, senza specificare se $E$ sia da considerare come sottoinsieme di $\mathbb{Q}$ o di $\mathbb{R}$, che risposta devo dare nel caso in cui la classe dei maggioranti di $E$ (considerando $E$ sottoinsieme di $\mathbb{Q}$) non abbia minimo? E' necessario specificare rispetto a quale insieme considero l'estremo superiore?
Grazie!
Risposte
chiedi al professore chiarimenti in casi dubbi.....
"rbtqwt":
E' necessario specificare rispetto a quale insieme considero l'estremo superiore?
Direi proprio di sì: se prendi gli insiemi ${x\in\mathbb{Z} : x^2<2}$ e ${x\in\mathbb{R} : x^2<2}$, vedi immediatamente che sono diversi, anche se la definizione è la medesima; cambia soltanto l'insieme di riferimento.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo