Equazione della retta per due punti
Usualmente, sui testi delle superiori l’equazione cartesiana della retta per due punti $A=(x_A, y_A), B=(x_B, y_B)$ è data mediante la formula:
(*) $r_(AB) :\ (y - y_A)/(y_B - y_A) = (x - x_A)/(x_B - x_A)$.
Penso che sia così da almeno una trentina d’anni, visto che anch’io da studente l’ho imparata così.
Tuttavia, la formula (*) presenta un evidente inconveniente: non funziona se uno dei due denominatori è nullo, i.e. non funziona né se la retta $r_(AB)$ è orizzontale né se è verticale (o, per dirla meglio, non funziona per rette parallele agli assi -comunque essi siano posizionati-).
A questo punto, mi chiedo, non sarebbe meglio dare come formula quella coi prodotti al posto dei quozienti, cioè:
$r_(AB) :\ (x_B - x_A)*(y - y_A) = (y_B - y_A)* (x - x_A)$,
che non presenta questo inconveniente e si può applicare senza remore, soprattutto in esercizi in cui ci sono punti aventi coordinate descritte da parametri?
(*) $r_(AB) :\ (y - y_A)/(y_B - y_A) = (x - x_A)/(x_B - x_A)$.
Penso che sia così da almeno una trentina d’anni, visto che anch’io da studente l’ho imparata così.
Tuttavia, la formula (*) presenta un evidente inconveniente: non funziona se uno dei due denominatori è nullo, i.e. non funziona né se la retta $r_(AB)$ è orizzontale né se è verticale (o, per dirla meglio, non funziona per rette parallele agli assi -comunque essi siano posizionati-).
A questo punto, mi chiedo, non sarebbe meglio dare come formula quella coi prodotti al posto dei quozienti, cioè:
$r_(AB) :\ (x_B - x_A)*(y - y_A) = (y_B - y_A)* (x - x_A)$,
che non presenta questo inconveniente e si può applicare senza remore, soprattutto in esercizi in cui ci sono punti aventi coordinate descritte da parametri?
Risposte
Parlo da non-docente. Suppongo sia perché la versione con la divisione è di fatto una proporzione e quindi viene vista come un concetto già visto dagli studenti, mentre la versione con la moltiplicazione risulterebbe meno immediata.
Era un cosa a cui avevo pensato anche io quando ho dato delle ripetizioni e ne ho discusso con un amico. Secondo lui si insegna questa formula perchè è più facile da ricordare, in quanto abbastanza "simmetrica". Io non so se è veramente questo il motivo, mi sembra plausibile, però non mi sembra sufficiente come giustificazione.
"vict85":
Parlo da non-docente. Suppongo sia perché la versione con la divisione è di fatto una proporzione e quindi viene vista come un concetto già visto dagli studenti, mentre la versione con la moltiplicazione risulterebbe meno immediata.
Parlo da docente del biennio scientifico.
Le proporzioni le vedo poco, all'inizio, quando ripeto le frazioni; fanno parte di quelle tecniche aritmetiche che dovrebbero lasciare il posto alle tecniche algebriche proprio nei primi due anni delle superiori (in cui gli studenti dovrebbero fare il passaggio dall'Aritmetica all'Algebra).
Quindi è chiaro che fanno parte del bagaglio culturale dello studente, ma non sono nella parte di bagaglio su cui personalmente insisto.
D'altra parte, proprio il passaggio dal linguaggio aritmetico delle proporzioni (i.e., dei rapporti) a quello algebrico, e più generale, dei determinanti (i.e., dei prodotti) è quello che viene fatto affrontando i sistemi lineari prima de -o al massimo in parallelo con- la parte iniziale di Geometria Analitica riguardante l'equazione della retta.
Dunque, grazie al cavolo che è meno immediato, ma il mio mestiere sarebbe far capire che il più delle volte l'immediatezza si paga con il prezzo di minor generalità; sicché quando si vuol dire qualcosa di più generale bisogna quasi necessariamente "complicare" (nel senso di rendere più articolato) il discorso. Questo sia in Matematica sia nella vita.
"otta96":
Era un cosa a cui avevo pensato anche io quando ho dato delle ripetizioni e ne ho discusso con un amico. Secondo lui si insegna questa formula perché è più facile da ricordare, in quanto abbastanza "simmetrica". Io non so se è veramente questo il motivo, mi sembra plausibile, però non mi sembra sufficiente come giustificazione.
In realtà, i miei studenti la ricordano lo stesso.
Basta capire che c'è simmetria anche lì: il secondo membro si ottiene scambiando le $x$ con le $y$ e v.v.
A prima vista, essendo più corta, sembra più semplice.
Sicuramente è però problematica, ma di scelte infelici alle superiori non se ne fanno poche...
Sicuramente è però problematica, ma di scelte infelici alle superiori non se ne fanno poche...
Usare la forma $ax+by=c$ non è un modo per evitare tutti i problemi?
Cioè l’uso di un sistema omogeneo a due equazioni e tre incognite semplificherebbe la questione?
"@melia":
Cioè l’uso di un sistema omogeneo a due equazioni e tre incognite semplificherebbe la questione?
Eviterebbe il problema delle rette verticali. Non sto dicendo che è più semplice.
Il problema è dare una formula che funzioni e non richieda troppi calcoli.
Anche se gli anni scorsi un accenno ai sistemi non quadrati al biennio lo davo, in questi due anni di DaD ho dovuto sfoltire qualcosa (quest'anno taglierò sui radicali, mi sa, ma non me la sono sentita di tagliare sui rudimenti di Geometria Analitica), quindi sistemi $3 xx 3$ e $2 xx 3$ li ho lasciati un po' in un angolo.
P.S.: Uffà, voglio tornare a fare lezione normalmente!
Anche se gli anni scorsi un accenno ai sistemi non quadrati al biennio lo davo, in questi due anni di DaD ho dovuto sfoltire qualcosa (quest'anno taglierò sui radicali, mi sa, ma non me la sono sentita di tagliare sui rudimenti di Geometria Analitica), quindi sistemi $3 xx 3$ e $2 xx 3$ li ho lasciati un po' in un angolo.
P.S.: Uffà, voglio tornare a fare lezione normalmente!
Non dirmelo. Sono esausta.
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