È finito l'infinito?
Vorrei si aprisse una discussione riguardo la fine dell’infinito in matematica. E quindi vi invito a guardare il seguente video e a dirmi cosa ne pensate.
IMPORTANTE
Prima di commentare voglio qui specificare alcune cose cose.
1) Nel video mostro come la definizione di infinito non sia solo paradossale, ma crei una vera e propria contraddizione, che appare nella forma più classica di una stessa cosa che non può avere e non avere allo stesso tempo una data proprietà.
2) La contraddizione che mostro si evidenzia a livelli di singoli elementi degli insiemi presi in considerazione, non a livello di numeri cardinali.
3) La contraddizione in questione non emerge a livello di cardinalità perché la cardinalità è una relazione che presa da sola non caratterizza gli elementi di un insieme nel contesto infinito, ma solo la regola (l’applicazione) scelta per collegare gli elementi di due insiemi
4) La contraddizione in questione può essere formalizzata attraverso due relazioni matematiche incompatibili tra loro, che richiedono il ricorso ai numeri totali, da me ideati.
5) La dimostrazione più formalizzata, che presenta anche i numeri totali è esposta in un articolo che ho messo nel repository del cern e che si può consultare liberamente al seguente link:
https://zenodo.org/record/1472280?fbcli ... 91w-dThDVR
6) L’articolo non è sottoposto a peer reviw da un lato perché l’argomento mette in discussione l’ultimo secolo di matematica e dunque ha bisogno di una discussione più ampia possibile che coinvolga possibilmente l’intera comunità dei matematici, dall’altro lato perché è collegato al seguente libro di carattere divulgativo sull’infinito:
https://www.amazon.it/gp/product/172402 ... euniv0b-21
IMPORTANTE
Prima di commentare voglio qui specificare alcune cose cose.
1) Nel video mostro come la definizione di infinito non sia solo paradossale, ma crei una vera e propria contraddizione, che appare nella forma più classica di una stessa cosa che non può avere e non avere allo stesso tempo una data proprietà.
2) La contraddizione che mostro si evidenzia a livelli di singoli elementi degli insiemi presi in considerazione, non a livello di numeri cardinali.
3) La contraddizione in questione non emerge a livello di cardinalità perché la cardinalità è una relazione che presa da sola non caratterizza gli elementi di un insieme nel contesto infinito, ma solo la regola (l’applicazione) scelta per collegare gli elementi di due insiemi
4) La contraddizione in questione può essere formalizzata attraverso due relazioni matematiche incompatibili tra loro, che richiedono il ricorso ai numeri totali, da me ideati.
5) La dimostrazione più formalizzata, che presenta anche i numeri totali è esposta in un articolo che ho messo nel repository del cern e che si può consultare liberamente al seguente link:
https://zenodo.org/record/1472280?fbcli ... 91w-dThDVR
6) L’articolo non è sottoposto a peer reviw da un lato perché l’argomento mette in discussione l’ultimo secolo di matematica e dunque ha bisogno di una discussione più ampia possibile che coinvolga possibilmente l’intera comunità dei matematici, dall’altro lato perché è collegato al seguente libro di carattere divulgativo sull’infinito:
https://www.amazon.it/gp/product/172402 ... euniv0b-21
Risposte
Penso (e non solo io) che tu non sappia che i numeri naturali e i numeri pari sono in corrispondenza biunivoca tramite la mappa $mathbb{N} \rightarrow \{ n \in \mathbb{N} : \exists m \in \mathbb{N}(n = 2m) \}, n \mapsto 2n$, cosa assolutamente prevista dalla teoria degli insiemi: un insieme si dice infatti infinito se può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio. Quindi, prima di gridare al miracolo, ti suggerisco di studiare.
Scusami Nicola, ma secondo te qual è la definizione di insieme infinito? Secondo me la contraddizione si ha solo perché dai una tua definizione di insieme infinito che non è quella data in matematica.
Quella della matematica è quella di fractalius.
Quella della matematica è quella di fractalius.
In poche parole, hai detto
"esistono due insiemi infiniti equipotenti, contraddizione".
Hai mai aperto un libro di matematica?
"esistono due insiemi infiniti equipotenti, contraddizione".
Hai mai aperto un libro di matematica?
"fractalius":
Penso (e non solo io) che tu non sappia che i numeri naturali e i numeri pari sono in corrispondenza biunivoca tramite la mappa $mathbb{N} \rightarrow \{ n \in \mathbb{N} : \exists m \in \mathbb{N}(n = 2m) \}, n \mapsto 2n$, cosa assolutamente prevista dalla teoria degli insiemi: un insieme si dice infatti infinito se può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio. Quindi, prima di gridare al miracolo, ti suggerisco di studiare.
Mi stupisco di come le tue osservazioni siano totalmente fuori luogo e fuori tema. Che i numeri naturali e i numeri pari siano in corrispondenza biunivoca, e che un insieme è infinito se può essere messo in corrispondenza con un sottoinsieme proprio, oltre a essere qualcosa di grande banalità non centra per niente il punto del mio discorso.
Qui il punto è che viene messa in luce che la definizione di infinito di Dedekind che tu stesso hai citato non sia solo paradossale, ma sia una vera e propria contraddizione.
Tra l'altro qui si dovrebbe parlare dei miei video, e non dare giudizi sulla persona. Se tu hai problemi nella vita che ti portano a schermire gli altri, tieniteli per te, io non voglio averci a che fare.
"NicolaDalfonso":
Se tu hai problemi nella vita che ti portano a schermire gli altri...
SCHERMIRE?????
forse oltre ad un libro di matematica ne servirebbe anche uno di Italiano.....
"NicolaDalfonso":
[quote="fractalius"]Penso (e non solo io) che tu non sappia che i numeri naturali e i numeri pari sono in corrispondenza biunivoca tramite la mappa $mathbb{N} \rightarrow \{ n \in \mathbb{N} : \exists m \in \mathbb{N}(n = 2m) \}, n \mapsto 2n$, cosa assolutamente prevista dalla teoria degli insiemi: un insieme si dice infatti infinito se può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio. Quindi, prima di gridare al miracolo, ti suggerisco di studiare.
Mi stupisco di come le tue osservazioni siano totalmente fuori luogo e fuori tema. Che i numeri naturali e i numeri pari siano in corrispondenza biunivoca, e che un insieme è infinito se può essere messo in corrispondenza con un sottoinsieme proprio, oltre a essere qualcosa di grande banalità non c'entra per niente il punto del mio discorso.
Qui il punto è che viene messa in luce che la definizione di infinito di Dedekind che tu stesso hai citato non sia solo paradossale, ma sia una vera e propria contraddizione.
Tra l'altro qui si dovrebbe parlare dei miei video, e non dare giudizi sulla persona. Se tu hai problemi nella vita che ti portano a schermire gli altri, tieniteli per te, io non voglio averci a che fare.[/quote]
Avrei voglia di spiegarti più dettagliatamente il perché la mia osservazione è assolutamente in luogo e in tema, ma diciamo, non te lo meriti, perché non solo sei ignorante, ma sei anche presuntuoso e offensivo.
"@melia":
Scusami Nicola, ma secondo te qual è la definizione di insieme infinito? Secondo me la contraddizione si ha solo perché dai una tua definizione di insieme infinito che non è quella data in matematica.
Quella della matematica è quella di fractalius.
La contraddizione è che gli elementi dell'insieme A esauriscono e non esauriscono gli elementi dell'insieme N. Questa è una contraddizione logica lampante. Non c'entrano le definizione, c'entra la logica. Non è che se prendo una contraddizione e la uso per definire qualcosa, smette di essere una contraddizione.
Fino a oggi si è creduto che la definizione di infinito di Dedekind fosse solo paradossale, io invece mostro che è contraddittoria. E se è contraddittoria, va bandita.
"Martino":
In poche parole, hai detto
"esistono due insiemi infiniti equipotenti, contraddizione".
Hai mai aperto un libro di matematica?
Grazie di non aver capito niente di quello che ho detto. Ma non disperare, avrai altre occasioni.
"tommik":
[quote="NicolaDalfonso"]Se tu hai problemi nella vita che ti portano a schermire gli altri...
SCHERMIRE?????
forse oltre ad un libro di matematica ne servirebbe anche uno di Italiano.....[/quote]
Quindi fammi capire, uno fa un errore ortografico, e tu concludi solo per quello che ha bisogno di un libro di italiano. Sarebbe preoccupante se non fosse solo un modo per sfottermi e bullizzarmi. Non che intervenire per sfottere e bullizzare qualcuno sia meno grave, ma almeno salviamo la tua capacità di ragionamento.
"fractalius":
Avrei voglia di spiegarti più dettagliatamente il perché la mia osservazione è assolutamente in luogo e in tema, ma diciamo, non te lo meriti, perché non solo sei ignorante, ma sei anche presuntuoso e offensivo.
Non mi pare di essere stato offensivo né presuntuoso. Ma forse hai la coda di paglia, speriamo allora che non prenda fuoco.
Se non vuoi entrare nei dettagli, non devi mica giustificarti con me. Ma mi consentirai di essere al quanto dubbioso sulle tue ragioni nascoste
"NicolaDalfonso":
[quote="@melia"]Scusami Nicola, ma secondo te qual è la definizione di insieme infinito? Secondo me la contraddizione si ha solo perché dai una tua definizione di insieme infinito che non è quella data in matematica.
Quella della matematica è quella di fractalius.
La contraddizione è che gli elementi dell'insieme A esauriscono e non esauriscono gli elementi dell'insieme N. Questa è una contraddizione logica lampante. Non c'entrano le definizione, c'entra la logica. Non è che se prendo una contraddizione e la uso per definire qualcosa, smette di essere una contraddizione.
Fino a oggi si è creduto che la definizione di infinito di Dedekind fosse solo paradossale, io invece mostro che è contraddittoria. E se è contraddittoria, va bandita.[/quote]
Scrivo per farti un favore, ossia per provare a farti riflettere e per evitare di farti perdere altro tempo con cose insensate: è per il tuo bene quindi. Quanto dici non ha senso, perché il fatto che un insieme come il tuo $A$, infinito numerabile, sia in corrispondenza con $\mathbb{N}$ e una parte propria di $\mathbb{N}$, cioè i pari, è assolutamente legittimo, proprio perché $\mathbb{N}$, essendo infinito, contiene dei "pezzi" più "piccoli" di sé in quanto sue parti diverse dal tutto (cioè $\mathbb{N}$), ma che hanno lo stesso numero di elementi del tutto, ossia la stessa cardinalità. Esibire delle corrispondenze biunivoche fra insiemi significa quindi riuscire ad affermare che tali insiemi hanno lo stesso numero di elementi: tu quindi hai semplicemente preso un insieme, lo hai messo in corrispondenza biunivoca con $\mathbb{N}$, infinito, e poi lo hai messo in corrispondenza con l'insieme dei numeri pari, sempre infinito. L'unica cosa che puoi dedurre da ciò è che la cardinalità di $A$ e quella di dei pari è la stessa di quella di $\mathbb{N}$. Quello che voglio dire è che va assolutamente bene se, nel tuo senso, un insieme $A$ "esaurisce" $\mathbb{N}$ e "non esaurisce" $\mathbb{N}$, ma una sua parte propria infinita. Il problema credo sia a livello di intuito, proprio perché non siamo abituati nel concreto a manipolare oggetti infiniti, e questo porta a pensare che quanto hai esposto sia effettivamente una contraddizione, ma non lo è: è semplicemente come funzionano gli insiemi infiniti e le mappe biettive tra essi.
Faccio una premessa, ovvero che mi sono laureato qualche anno fa e non ho conoscenze fresche, perciò tiratemi le orecchie se sbaglio qualcosa.
Ora, ho visto tutto il video.
Credo che il presupposto sbagliato che fai sia quello di parlare di corrispondenza biunivoca con molta leggerezza quando invece anche dai tuoi grafici, le tue frecce sembrano più essere delle funzioni iniettive ma non suriettive o viceversa. Per esempio da $\NN$ ad $A$ e si vede anche le freccette che usi nel video, la funzione non è biunivoca, lo sarebbe se la restringi ai pari (in partenza) poiché ti restano i dispari spaiati.
Inoltre tu usi ragionamenti che fai con insiemi finiti all'infinito, laddove tutto quello in cui si crede è generalmente messo a dura prova...
Per farti capire cosa intendo, ti lascio questo link
da copiare e incollare, si tratta della pagina di Wikipedia sul paradosso dell'albergo di Hilbert. Non è un granché la pagina di Wikipedia, ma comunque a fiducia immagino che qualcosa si trovi in rete.
Poi, detto in franchezza, provi (al massimo) che la cardinalità di $A$ è la stessa dei pari, che c'entra che l'infinito non esiste?
Ora, ho visto tutto il video.
Credo che il presupposto sbagliato che fai sia quello di parlare di corrispondenza biunivoca con molta leggerezza quando invece anche dai tuoi grafici, le tue frecce sembrano più essere delle funzioni iniettive ma non suriettive o viceversa. Per esempio da $\NN$ ad $A$ e si vede anche le freccette che usi nel video, la funzione non è biunivoca, lo sarebbe se la restringi ai pari (in partenza) poiché ti restano i dispari spaiati.
Inoltre tu usi ragionamenti che fai con insiemi finiti all'infinito, laddove tutto quello in cui si crede è generalmente messo a dura prova...
Per farti capire cosa intendo, ti lascio questo link
https://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso_del_Grand_Hotel_di_Hilbert
da copiare e incollare, si tratta della pagina di Wikipedia sul paradosso dell'albergo di Hilbert. Non è un granché la pagina di Wikipedia, ma comunque a fiducia immagino che qualcosa si trovi in rete.
Poi, detto in franchezza, provi (al massimo) che la cardinalità di $A$ è la stessa dei pari, che c'entra che l'infinito non esiste?
"Zero87":
Credo che il presupposto sbagliato che fai sia quello di parlare di corrispondenza biunivoca con molta leggerezza quando invece anche dai tuoi grafici, le tue frecce sembrano più essere delle funzioni iniettive ma non suriettive o viceversa. Per esempio da $\NN$ ad $A$ e si vede anche le freccette che usi nel video, la funzione non è biunivoca, lo sarebbe se la restringi ai pari (in partenza) poiché ti restano i dispari spaiati.
Ma sai, credo che la mappa da $\mathbb{N} \rightarrow A$ che ha definito come $n \mapsto (2n-1, 2n)$ sia effettivamente biiettiva, perché considera come $A$ proprio l'insieme degli elementi del tipo $(2n-1, 2n)$: nel video effettivamente le freccette sono fuorvianti
"fractalius":
Ma sai, credo che la mappa da $\mathbb{N} \rightarrow A$ che ha definito come $n \mapsto (2n-1, 2n)$ sia effettivamente biiettiva, perché considera come $A$ proprio l'insieme degli elementi del tipo $(2n-1, 2n)$: nel video effettivamente le freccette sono fuorvianti
Stando così le cose lo credo anch'io, ma dal video - almeno per me - non si capisce per niente che intendeva quella mappatura perché pensavo che si fermasse solo in una coppia o in un altra per poi lasciare spaiati i restanti elementi. Quindi, come ho detto sono parecchio arrugginito e mi sono fidato delle freccette. Però a parte questo
"Zero87":
Credo che il presupposto sbagliato che fai sia quello di parlare di corrispondenza biunivoca con molta leggerezza quando invece anche dai tuoi grafici, le tue frecce sembrano più essere delle funzioni iniettive ma non suriettive o viceversa.
credo che il resto del mio intervento resti valido. In altre parole che con l'infinito la mente va in pappa e in generale come si fa a concludere che l'infinito non esiste. Seguirò comunque sviluppi di questa discussione da parte di utenti più freschi di me.
"Zero87":
credo che il resto del mio intervento resti valido. In altre parole che con l'infinito la mente va in pappa e in generale come si fa a concludere che l'infinito non esiste.
Resta assolutamente valido, volevo solo fare una precisazione
@Nicola D'Alfonso: Toh, chi si rivede... Dopo sette anni!
Vedo che nel frattempo ti sei dato da fare per pubblicare su riviste open-access.
Mi fa piacere per te (un po' meno per la Matematica, invero).
Ho seguito il video e non mi è piaciuto un granché (non solo nel contenuto, proprio nel complesso).
Quello che davvero non ho capito è da dove tiri fuori la contraddizione finale.
Questo dipende dal fatto che non mi è chiaro il modo in cui proponi di formalizzare la proprietà "gli elementi di $A$ esauriscono i numeri naturali".
Perciò, ti chiedo: come si formalizza?
P.S.: da correggere nei post precedenti: "c'entra" con "centra" (una volta tanto che l'apostrofo non ci andava!) e "schermire" con "schernire".
Vedo che nel frattempo ti sei dato da fare per pubblicare su riviste open-access.
Mi fa piacere per te (un po' meno per la Matematica, invero
).Ho seguito il video e non mi è piaciuto un granché (non solo nel contenuto, proprio nel complesso).
Quello che davvero non ho capito è da dove tiri fuori la contraddizione finale.
Questo dipende dal fatto che non mi è chiaro il modo in cui proponi di formalizzare la proprietà "gli elementi di $A$ esauriscono i numeri naturali".
Perciò, ti chiedo: come si formalizza?
P.S.: da correggere nei post precedenti: "c'entra" con "centra" (una volta tanto che l'apostrofo non ci andava!) e "schermire" con "schernire".
"fractalius":
[quote="Zero87"]
credo che il resto del mio intervento resti valido. In altre parole che con l'infinito la mente va in pappa e in generale come si fa a concludere che l'infinito non esiste.
Resta assolutamente valido, volevo solo fare una precisazione
[/quote]Non preoccuparti, anch'io volevo fare una precisazione.
"fractalius":
Scrivo per farti un favore, ossia per provare a farti riflettere e per evitare di farti perdere altro tempo con cose insensate: è per il tuo bene quindi. Quanto dici non ha senso, perché il fatto che un insieme come il tuo $A$, infinito numerabile, sia in corrispondenza con $\mathbb{N}$ e una parte propria di $\mathbb{N}$, cioè i pari, è assolutamente legittimo, proprio perché $\mathbb{N}$, essendo infinito, contiene dei "pezzi" più "piccoli" di sé in quanto sue parti diverse dal tutto (cioè $\mathbb{N}$), ma che hanno lo stesso numero di elementi del tutto, ossia la stessa cardinalità. Esibire delle corrispondenze biunivoche fra insiemi significa quindi riuscire ad affermare che tali insiemi hanno lo stesso numero di elementi: tu quindi hai semplicemente preso un insieme, lo hai messo in corrispondenza biunivoca con $\mathbb{N}$, infinito, e poi lo hai messo in corrispondenza con l'insieme dei numeri pari, sempre infinito. L'unica cosa che puoi dedurre da ciò è che la cardinalità di $A$ e quella di dei pari è la stessa di quella di $\mathbb{N}$. Quello che voglio dire è che va assolutamente bene se, nel tuo senso, un insieme $A$ "esaurisce" $\mathbb{N}$ e "non esaurisce" $\mathbb{N}$, ma una sua parte propria infinita. Il problema credo sia a livello di intuito, proprio perché non siamo abituati nel concreto a manipolare oggetti infiniti, e questo porta a pensare che quanto hai esposto sia effettivamente una contraddizione, ma non lo è: è semplicemente come funzionano gli insiemi infiniti e le mappe biettive tra essi.
Ti ringrazio per aver proceduto ad argomentare.
Il tuo argomento è circolare, come ora vengo a spiegarti. Come sapiamo ho fatto una dimostrazione secondo la quale sarebbe contraddittorio mettere in corrispondenza biunivoca un insieme A con $\mathbb{N}$ e con una parte propria di $\mathbb{N}$. Tu sei libro di credere che la mia dimostrazione sia sbagliata. Ma non puoi dire che è sbagliata perché quella che io faccio emergere non è una contraddizione e non è una contraddizione perché è così che funzionano gli insiemi infiniti. Facendolo, infatti assumi già in partenza che è così che funzionano gli insiemi infiniti. Ma se lo assumi in partenza allora è chiaro che questo ti consente di dire che è sbagliata ogni cosa sostenga il contrario. Ma questo si chiama ragionamento circolare.
Ti faccio un esempio. Usiamo l'espressione: "movimento infinito" per definire quel movimento fatto da un corpo quando va nello stesso momento in una direzione e nella direzione opposta. Naturalmente sappiamo che è contraddittorio per un corpo andare nello stesso momento in una direzione e in quella opposta. Se infatti in un dato momento un corpo si muove in una direzione non può stare andando anche in quella opposta.
Una contraddizione come questa è tale in virtù della sua forma logica, e di certo non scompare solo perché ho deciso di usarla per definire i "movimenti infiniti".
Se dunque io sostenessi che il movimento infinito è una contraddizione e mi venisse risposto: no, non è una contraddizione perché è proprio così che funzionano i movimenti infiniti, io direi che l'obiezione non è valida in quanto è un argomento circolare.
P.S.
E' vero che io con A posso mappare sia $\mathbb{N}$ che una sottoparte di $\mathbb{N}$, senza che ciò sia una contraddizione. Diremo che A ha lo stesso numero cardinale di $\mathbb{N}$ e del sottoinsieme dei numeri pari di $\mathbb{N}$.
Peccato solo, che come ho messo nel post iniziale, la contraddizione a cui mi riferisco non la sia ha a livello dei numeri cardinali. Essa sta a livello dei singoli elementi.
I numeri cardinali infatti si riferiscono a una corrispondenza biunivoca che è solo la regola che abbiamo scelto per passare dagli elementi di un insieme a quelli di un altro insieme. E appunto ci dice qualcosa solo di quella regola, non ci sta dicendo al contempo che i due insieme hanno per forza come elementi quelli che a cui si riferisce quella regola. Le cose vanno dimostrate in matematica. Cioé se io faccio una regola per passare dagli elementi di un insieme agli elementi di un altro, ho fatto appunto quello, non altro. Se poi voglio sostenere che gli elementi a cui quella regola si riferisce sono anche la totalità degli elementi dei due insiemi, lo devo dimostrare o ipotizzare a parte.
In definitiva la contraddizione che ho fatto emergere si verifica solo nel momento in cui invece di limitarci alla cardinalità (che non sa dirci nulla di per sé degli elementi in gioco) vediamo cosa succede a livello dei singoli elementi.
"Zero87":
credo che il resto del mio intervento resti valido. In altre parole che con l'infinito la mente va in pappa e in generale come si fa a concludere che l'infinito non esiste. Seguirò comunque sviluppi di questa discussione da parte di utenti più freschi di me.
Chiedi come si fa a concludere che infinito non esiste? La risposta è: con una classica dimostrazione per assurdo.
Nel caso specifico la premessa del video è che esistono, nel senso che possiamo considerare dati (e quindi essere un infinito in atto) tutti i numeri naturali possibili. A tale ipotesi segue inevitabilmente una contraddizione, dunque tale ipotesi va bocciata.
P.S.
Riguardo al discorso sulle freccette e le corrispondenze biunivoche, posso dirti che il mio è un discorso tra singoli elementi e non tra insiemi presi nel loro complesso. Ossia io parlo specificamente di corrispondenze uno a uno: tra singoli elementi di A e singoli elementi di $\mathbb{N}$ . E quando dico che c'è una corrispondenza biunivoca tra gli elementi pari di $\mathbb{N}$ e gli elementi di $\mathbb{N}$, intendo riferirmi a una corrispondenza biunivoca presa in quel senso, tra singoli elementi. E dunque non importa che non abbia inglobato anche i dispari.
"gugo82":
@Nicola D'Alfonso: Toh, chi si rivede... Dopo sette anni!
Vedo che nel frattempo ti sei dato da fare per pubblicare su riviste open-access.
Mi fa piacere per te (un po' meno per la Matematica, invero
Ho seguito il video e non mi è piaciuto un granché (non solo nel contenuto, proprio nel complesso).
Quello che davvero non ho capito è da dove tiri fuori la contraddizione finale.
Questo dipende dal fatto che non mi è chiaro il modo in cui proponi di formalizzare la proprietà "gli elementi di $A$ esauriscono i numeri naturali".
Perciò, ti chiedo: come si formalizza?
P.S.: da correggere nei post precedenti: "c'entra" con "centra" (una volta tanto che l'apostrofo non ci andava!) e "schermire" con "schernire".
Ho altri lavoro pubblicati su riviste peer review, non questo per i motivi che ho spiegato nel post iniziale.
Nel post iniziale indico anche che chi è interessato alla formalizzazione matematica la può trovare nel paper ad accesso aperto.
Se invece in modo specifico ti infastidisce il termine "esaurire ...", sostituiscilo pure con "essere in corrispondenza uno a uno con ...". E quindi la contraddizione è: "Gli elementi dell'insieme A nello stesso tempo sono in corrispondenza uno a uno con tutti gli elementi dell'insieme $\mathbb{N}$ e non lo sono".
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