Due integrali recchie di porcelli....
ciao giovani vii posto due integrali che ho incontrato oggi...e che non riesco a fare....
$int((x^2-5x+6)/(x^2-5x+9))dx$ faccio la divisione polinomiale con la calcolatrice e mi viene $int(1)dx + int(3/(x^2-5x+9)dx$ ed è proprioo quest'ultimo che non riesco a fare....
$int((x^2-(1/2))/(x^2-3)dx$ con la calcolatrice posso fare la divisione polinomiale, ma a mano sarebbe impossibile per me, che altro metodo si può usare????
ma laa divisione polinomiale a mano come cavolo si fa?????
grazieeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee ciaooooooooooooooooooooooooooooooo
$int((x^2-5x+6)/(x^2-5x+9))dx$ faccio la divisione polinomiale con la calcolatrice e mi viene $int(1)dx + int(3/(x^2-5x+9)dx$ ed è proprioo quest'ultimo che non riesco a fare....
$int((x^2-(1/2))/(x^2-3)dx$ con la calcolatrice posso fare la divisione polinomiale, ma a mano sarebbe impossibile per me, che altro metodo si può usare????
ma laa divisione polinomiale a mano come cavolo si fa?????
grazieeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee ciaooooooooooooooooooooooooooooooo
Risposte
"Springer87":
$int((x^2-5x+6)/(x^2-5x+9))dx$ faccio la divisione polinomiale con la calcolatrice e mi viene $int(1)dx + int(3/(x^2-5x+9)dx$ ed è èrpèrio quest'ultimo che non riesco a fare....
Quello in mezzo ai due integrali è un meno e non un più.
Scrivi $x^2-5x+9 = (x-5/2)^2+11/4$, ed ora dovrebbe venirti in mente qualche cosa...
$int((x^2-(1/2))/(x^2-3)dx$ con la calcolatrice posso fare la divisione polinomiale, ma a mano sarebbe impossibile per me, che altro metodo si può usare????
Per esempio puoi scrivere $x^2-1/2 = x^2-3+(3-1/2)$ e poi spezzare la frazione. Comunque c'è un bell'algoritmo per fare la divisione polinomiale, credo che su internet tu lo possa trovare.
Ciao ciao!
Quello in mezzo ai due integrali è un meno e non un più.
Scrivi $x^2-5x+9 = (x-5/2)^2+11/4$, ed ora dovrebbe venirti in mente qualche cosa...
come haii fatto aa far uscire quello????
spiegami un pò....
ciààààààààààààààààààààààààààà
Scrivi $x^2-5x+9 = (x-5/2)^2+11/4$, ed ora dovrebbe venirti in mente qualche cosa...
come haii fatto aa far uscire quello????
spiegami un pò....
ciààààààààààààààààààààààààààà
"Springer87":
come haii fatto aa far uscire quello????
spiegami un pò....
Ho completato i quadrati. Clicca qui
"Martino":
[quote="Springer87"]come haii fatto aa far uscire quello????
spiegami un pò....
Ho completato i quadrati. Clicca qui
[/quote]e poi che faccio????
Sostituisci $2/sqrt(11)(x-5/2) = t$.
Dai riguardati un po' di teoria sono facili!
Al numeratore aggiungi e sottrai una opportuna quantità per avere lo stesso denominatore poi spezza...
Al numeratore aggiungi e sottrai una opportuna quantità per avere lo stesso denominatore poi spezza...
ma cosaa devo rivedermi, come sii chiama questa roba????
porca miseria ma è molto difficile, bisogna essere troppo esperti....
datemi qualche consiglioo
ciàààààààààààààààààà
porca miseria ma è molto difficile, bisogna essere troppo esperti....
datemi qualche consiglioo
ciàààààààààààààààààà
Se ti può essere d'aiuto ti scrivo tutti i passaggi del primo:
$int((x^2-5x+6)/(x^2-5x+9))dx$
Si tratta di integrare una funzione razionale fratta.
In questo caso visto che sia il numeratore che il denominatore hanno le stesso grado, cioè 2, si esegue per prima cosa la divisione tra polinomi (ps se non sai come si fa rivedila, non è difficile...anzi), una volta fatta ottieni per quoziente 1 e per resto -3 quindi la frazione di partenza la puoi scrivere così:
$1-\frac{3}{x^2-5x+9}$
questo perchè data una qualsiasi frazione, purchè il grado del dividendo sia maggiore o uguale del divisore, $\frac{A(x)}{B(x)}= Q(x)+\frac{R(x)}{B(x)}$ dove appunto $Q(x)$ indica il quoziente e $R(x)$ il resto.
Oppure come ti suggerisce Zorn al numeratore aggiungi e togli 3 poi spezzi e ritrovi la stessa cosa comunque
ora abbiamo: $\int1dx-3\int \frac{1}{x^2-5x+9}dx$
il primo integrale viene $\int1dx=x$
occupiamoci ora del secondo:
$-3\int \frac{1}{x^2-5x+9}dx$ se considero il denominatore $x^2-5x+9$ ha il delta<0 quindi si utilizza il metodo del completamento del quadrato (tutto per riportare l'integrale ad una forma che alla fine tiri fuori un'arcotangente):
dato $x^2-5x+9$ considero $x^2$e $-5x$ rispettivamente come il quadrato e il doppio prodotto di un quadrato di binomio mancante solo dell'altro quadrato che sarà $\frac{25}{4}$ quantità che aggiungo e tolgo per non far mutare $x^2-5x+9$ quindi:
$x^2-5x+\frac{25}{4}-\frac{25}{4}+9=(x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}$( infatti se sviluppi questa quantità ottieni di nuovo $x^2-5x+9$)scritto in questa forma si ottieni un integrale immediato della forma:
$\int \frac{1}{m^2+(x+k)^2}dx=\frac{1}{m}\arctan\frac{x+k}{m}$
nel nostro caso $m^2=\frac{11}{4}$ quindi $m=\frac{\sqrt{11}}{2}$ mentre $k=-\frac{5}{2}$ abbiamo quindi:
$-3\int\frac{1}{(x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}} dx=-\frac{3}{\frac{\sqrt{11}}{2}}\arctan(\frac{(x-\frac{5}{2})}{\frac{\sqrt{11}}{2}})$ eseguendo le operazione e razionalizzando si ottiene il risutato finale:
$int((x^2-5x+6)/(x^2-5x+9))dx=x-\frac{6\sqrt{11}}{11}\arctan( \frac{\sqrt{11}(2x-5)}{11})+C$
$int((x^2-5x+6)/(x^2-5x+9))dx$
Si tratta di integrare una funzione razionale fratta.
In questo caso visto che sia il numeratore che il denominatore hanno le stesso grado, cioè 2, si esegue per prima cosa la divisione tra polinomi (ps se non sai come si fa rivedila, non è difficile...anzi), una volta fatta ottieni per quoziente 1 e per resto -3 quindi la frazione di partenza la puoi scrivere così:
$1-\frac{3}{x^2-5x+9}$
questo perchè data una qualsiasi frazione, purchè il grado del dividendo sia maggiore o uguale del divisore, $\frac{A(x)}{B(x)}= Q(x)+\frac{R(x)}{B(x)}$ dove appunto $Q(x)$ indica il quoziente e $R(x)$ il resto.
Oppure come ti suggerisce Zorn al numeratore aggiungi e togli 3 poi spezzi e ritrovi la stessa cosa comunque
ora abbiamo: $\int1dx-3\int \frac{1}{x^2-5x+9}dx$
il primo integrale viene $\int1dx=x$
occupiamoci ora del secondo:
$-3\int \frac{1}{x^2-5x+9}dx$ se considero il denominatore $x^2-5x+9$ ha il delta<0 quindi si utilizza il metodo del completamento del quadrato (tutto per riportare l'integrale ad una forma che alla fine tiri fuori un'arcotangente):
dato $x^2-5x+9$ considero $x^2$e $-5x$ rispettivamente come il quadrato e il doppio prodotto di un quadrato di binomio mancante solo dell'altro quadrato che sarà $\frac{25}{4}$ quantità che aggiungo e tolgo per non far mutare $x^2-5x+9$ quindi:
$x^2-5x+\frac{25}{4}-\frac{25}{4}+9=(x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}$( infatti se sviluppi questa quantità ottieni di nuovo $x^2-5x+9$)scritto in questa forma si ottieni un integrale immediato della forma:
$\int \frac{1}{m^2+(x+k)^2}dx=\frac{1}{m}\arctan\frac{x+k}{m}$
nel nostro caso $m^2=\frac{11}{4}$ quindi $m=\frac{\sqrt{11}}{2}$ mentre $k=-\frac{5}{2}$ abbiamo quindi:
$-3\int\frac{1}{(x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}} dx=-\frac{3}{\frac{\sqrt{11}}{2}}\arctan(\frac{(x-\frac{5}{2})}{\frac{\sqrt{11}}{2}})$ eseguendo le operazione e razionalizzando si ottiene il risutato finale:
$int((x^2-5x+6)/(x^2-5x+9))dx=x-\frac{6\sqrt{11}}{11}\arctan( \frac{\sqrt{11}(2x-5)}{11})+C$
splendida spiegazione apocalisse86, l'unica cosaa è il fatto che devii ricordare tutti gli integrali fondamentali a memoria....per lee divisioni fratte usoo la calcolatrice, ma quando mi esce un solo numero al numeratore e più di uno al denominatore sotto iniziano i problemi....
$int1/(x+1)$ cosìì daa avere un $ln x+1$
$int1/(x^2-x+3)$ allorano iniziano i problemi....quando cii sono due o tre sottooo
ciààààààààààààààààààààààààààààààààààà
$int1/(x+1)$ cosìì daa avere un $ln x+1$
$int1/(x^2-x+3)$ allorano iniziano i problemi....quando cii sono due o tre sottooo
ciààààààààààààààààààààààààààààààààààà
$ intdx/(x+1) = ln(x+1) +k $ e non $lnx +1 $
si camillo quello si....ma quando ce ne sono tre sotto sono guai.....almeno che facendo laa divisione polinomiale si arriva aa due sotto....
ciààààààààààààààààààààààààààààààààààààà
ciààààààààààààààààààààààààààààààààààààà
"Springer87":
si camillo quello si....ma quando ce ne sono tre sotto sono guai.....almeno che facendo laa divisione polinomiale si arriva aa due sotto....
ciààààààààààààààààààààààààààààààààààààà
Hai guardato il metodo del completamento dei quadrati di cui ti abbiamo parlato sia io che apocalisse86 ? Se "ce ne sono due o tre sotto" basta usare tale metodo riducendoti così, se al denominatore c'è un polinomio di secondo grado con delta negativo, alla derivata dell'arcotangente. Se invece il delta è positivo devi scrivere la frazione come somma di frazioni a denominatore di grado 1 arrivando a due "derivate di logaritmi", e se il delta è zero, l'integrale è immediato.
Per quanto riguarda "impararsi a memoria gli integrali fondamentali", io credo piuttosto che a forza di usarli e apprezzarne la potenza non possano che rimanerti in mente, come la tua lingua madre.
"Springer87":
ma cosaa devo rivedermi, come sii chiama questa roba????
porca miseria ma è molto difficile, bisogna essere troppo esperti....
datemi qualche consiglioo
ciàààààààààààààààààà
Non si deve essere troppo esperti per aprire un libro e cercare un argomento.Trovo più difficile la strada che stai seguendo tu.
lo sòòò ma qui si tratta di esercitarsi...e qualche buon consiglio...quando si hanno due, tre oo quattro al denominatore....
ciààààà
ciààààà
Se ti vuoi esercitare bene e vuoi capire come integrare una vasta tipologia di funzioni ti consiglio un libricino della Collana Esami della TECNOS, è il 6 Volume si chiama proprio: INTEGRALI(274 esercizi svolti), è molto utile e costa pochissimo non ricordo se 6 o 7Euro!!
Per ora cercherò comunque di venire il più possibile incontro alle tue esigenze...o almeno ci provo. Per prima cosa gli integrali immediati vanno ricordati a memoria..purtroppo!!Non sono tanti e poi molta pratica aiuta!!Passiamo all'integrazione delle funzioni razionali fratte.
Premettiamo che ogni funzione razionale fratte può essere integrata esprimendo le sue primitive come una funzione razionale,un logaritmo, un'arcotangente o una somma di queste.
Per facilità consideriamo diversi casi:
$\int \frac{N(x)}{D(x)}dx$ se il numeratore è di grado minore del denominatore possiamo avere
1)il numeratore è la derivata del denominatore $\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=ln|f(x)|+c$
2)il denominatore è di primo grado $\int \frac{1}{ax+b}dx=\frac{1}{a}ln|ax+b|+c$
3)D(x) ha radici reali semplici(nell'equazione di secondo grado corrisponde al caso del DELTA>0)
esempio:
$\int \frac{dx}{x^2-1}$
si pone $\frac{1}{x^2-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}$ cioè si scompone la frazione in fratti semplici e si determinano A e B utilizzando il principio d'identità dei polinomi*
4)D(x) ha radici reali e multiple(nell'equazione di secondo grado corrisponde al caso del DELTA=0)
esempio:
$\int \frac{x+2}{x^2(x-2)}dx$
si pone $\frac{x+2}{x^2(x-2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-2}$ cioè si scompone la frazione in fratti semplici, in questo caso $x^2$ presenta una molteplicità algebrica pari a 2 cioè ha come soluzione 0 ma questa soluzione è doppia quindi nella scomposizione in fratti semplici il fattore x viene ripetuto due volte una volta con grado 1 e una volta con grado 2; A B e C si ricavano sempre col principio d'identità dei polinomi
5)D(x) è un trinomio di secondo grado a radici complesse semplici(DELTA<0)
5a)Il numeratore è una costante:
esempio
$\int \frac{1}{x^2-x+1}dx$ siamo nel caso dell'esercizio che ti ho risolto prima infatti $x^2-x+1$ ha il delta<0 ora o applichi il metodo del completamente del quadrato** come ti ho mostrato in precedenza oppure puoi porre D'(x)=t cioè la derivata del denominatore=t e questa sostituzione ti permette di scrivere(come d'altronde il metodo del completamente del quadrato) in una forma che tira fuori un'arcotangente.
5b)Il numeratore è un polinomio di primo grado
esempio
$\int \frac{x-1}{x^2-4x+5}dx$ in questo caso si fa in modo da trasformare il numeratore nella derivata del denominatore $D(x^2-4x+5)=2x-4$ affinché il coefficiente della x al numeratore sia due, moltiplichiamo e dividiamo per tale valore:
$\frac{1}{2}\int\frac{2x-2}{x^2-4x+5}dx$ora aggiungiamo e togliamo al numeratore 4 e scriviamo la frazione come somma di due frazioni: $\frac{1}{2}\int\frac{2x-4+4-2}{x^2-4x+5}dx=\frac{1}{2}(\int\frac{2x-4}{x^2-4x+5}dx+\int \frac{2}{x^2-4x+5}dx)$ ora il primo di questi integrali ha al numeratore la derivata del denominatore quindi sarà un logaritmo cioè ricadiamo nel caso 1) mentre il secondo avendo al denominatore un trinomio di secondo grado con il delta<0 si svolge col completamento del quadrato cioè siamo nel caso 5a)
6)D(x) ha radici semplici sia reali che complesse
esempio:
$\int \frac{2x^2+7}{(x+1)(x^2-x+1)dx}$ ora si procede alla scomposizione in fratti semplici solo che il trinomio di secondo grado ha radici complesse(delta<0) e nella scomposizione al numeratore invece che di una costante presenterà un polinomio di primo grado:
si pone cioé: $\frac{2x^2+7}{(x+1)(x^2-x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}$ e le costanti A, B, e C si determinano sempre col solito principio d'identità dei polinimi
7)D(x) ha radici complesse multiple
esempio:
$\int \frac{x^2+x}{(x^2+4)^2}dx$ $x^2+4$ ha radici complesse con moltelplicità due (infatti è eleveto al quadrato) la scomposizione sarà:
$\frac{x^2+x}{(x^2+4)^2}=\frac{Ax+B}{x^2+4}+\frac{Cx+D}{(x^2+4)^2}$ con le costanti da determinarsi al solito modo
Se invece dato $\int \frac{N(x)}{D(x)}dx$ il numeratore N(x) è di grado maggiore rispetto al denominatore:
Si esegue la divisione polinomiale o si utilizza la regola di Ruffini e si scrive la frazione come $\frac{N(x)}{D(x)}=Q(x)+\frac{R(x)}{D(x)}$ ricadendo in uno dei caso precendentemente descritti perché, dopo la divisione, di sicuro R(x) sarà di grado inferiore a D(x)
spero di non aver commesso errori!!
Se hai bisogno ancora di aiuto chiedi!!
NOTE
*
Il principio d'identità dei polinomi afferma:due polinomi sono identici se sono uguali i coefficienti dei termini dello stesso grado.
$\frac{1}{x^2-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}$fai il minimo comune multiplo $\frac{A(x+1)+B(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{(A+B)x+(A-B)}{(x-1)(x+1)}$ quindi visto che il termine in x manca $A+B=0$ mentre il termine noto vale 1 cioè $(A-B)=1$ risolvi il sistema di queste due condizione e ottieni $A=\frac{1}{2}$ e $B=-\frac{1}{2}$ sostituendo all'inizio $\frac{1}{x^2-1}=\frac{\frac{1}{2}}{x-1}+\frac{-\frac{1}{2}}{x+1}$ questi due fratti semplici sono di facile integrazione! infatti:
$\frac{1}{x^2-1}\frac{1}{2}\int\frac{1}{x-1}dx-\frac{1}{2}\int\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2}ln|x-1|-\frac{1}{2}ln|x+1|$
**
Il metodo del completamento del quadrato
$ax^2+bx+c=a(x^2+\frac{b}{a}+\frac{c}{a})$nella parentesi aggiungo e tolgo il termine $\frac{b^2}{4a^2}$
$a(x^2+\frac{b}{a}+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a})=$
$a[(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2}]$
Per ora cercherò comunque di venire il più possibile incontro alle tue esigenze...o almeno ci provo. Per prima cosa gli integrali immediati vanno ricordati a memoria..purtroppo!!Non sono tanti e poi molta pratica aiuta!!Passiamo all'integrazione delle funzioni razionali fratte.
Premettiamo che ogni funzione razionale fratte può essere integrata esprimendo le sue primitive come una funzione razionale,un logaritmo, un'arcotangente o una somma di queste.
Per facilità consideriamo diversi casi:
$\int \frac{N(x)}{D(x)}dx$ se il numeratore è di grado minore del denominatore possiamo avere
1)il numeratore è la derivata del denominatore $\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=ln|f(x)|+c$
2)il denominatore è di primo grado $\int \frac{1}{ax+b}dx=\frac{1}{a}ln|ax+b|+c$
3)D(x) ha radici reali semplici(nell'equazione di secondo grado corrisponde al caso del DELTA>0)
esempio:
$\int \frac{dx}{x^2-1}$
si pone $\frac{1}{x^2-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}$ cioè si scompone la frazione in fratti semplici e si determinano A e B utilizzando il principio d'identità dei polinomi*
4)D(x) ha radici reali e multiple(nell'equazione di secondo grado corrisponde al caso del DELTA=0)
esempio:
$\int \frac{x+2}{x^2(x-2)}dx$
si pone $\frac{x+2}{x^2(x-2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-2}$ cioè si scompone la frazione in fratti semplici, in questo caso $x^2$ presenta una molteplicità algebrica pari a 2 cioè ha come soluzione 0 ma questa soluzione è doppia quindi nella scomposizione in fratti semplici il fattore x viene ripetuto due volte una volta con grado 1 e una volta con grado 2; A B e C si ricavano sempre col principio d'identità dei polinomi
5)D(x) è un trinomio di secondo grado a radici complesse semplici(DELTA<0)
5a)Il numeratore è una costante:
esempio
$\int \frac{1}{x^2-x+1}dx$ siamo nel caso dell'esercizio che ti ho risolto prima infatti $x^2-x+1$ ha il delta<0 ora o applichi il metodo del completamente del quadrato** come ti ho mostrato in precedenza oppure puoi porre D'(x)=t cioè la derivata del denominatore=t e questa sostituzione ti permette di scrivere(come d'altronde il metodo del completamente del quadrato) in una forma che tira fuori un'arcotangente.
5b)Il numeratore è un polinomio di primo grado
esempio
$\int \frac{x-1}{x^2-4x+5}dx$ in questo caso si fa in modo da trasformare il numeratore nella derivata del denominatore $D(x^2-4x+5)=2x-4$ affinché il coefficiente della x al numeratore sia due, moltiplichiamo e dividiamo per tale valore:
$\frac{1}{2}\int\frac{2x-2}{x^2-4x+5}dx$ora aggiungiamo e togliamo al numeratore 4 e scriviamo la frazione come somma di due frazioni: $\frac{1}{2}\int\frac{2x-4+4-2}{x^2-4x+5}dx=\frac{1}{2}(\int\frac{2x-4}{x^2-4x+5}dx+\int \frac{2}{x^2-4x+5}dx)$ ora il primo di questi integrali ha al numeratore la derivata del denominatore quindi sarà un logaritmo cioè ricadiamo nel caso 1) mentre il secondo avendo al denominatore un trinomio di secondo grado con il delta<0 si svolge col completamento del quadrato cioè siamo nel caso 5a)
6)D(x) ha radici semplici sia reali che complesse
esempio:
$\int \frac{2x^2+7}{(x+1)(x^2-x+1)dx}$ ora si procede alla scomposizione in fratti semplici solo che il trinomio di secondo grado ha radici complesse(delta<0) e nella scomposizione al numeratore invece che di una costante presenterà un polinomio di primo grado:
si pone cioé: $\frac{2x^2+7}{(x+1)(x^2-x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}$ e le costanti A, B, e C si determinano sempre col solito principio d'identità dei polinimi
7)D(x) ha radici complesse multiple
esempio:
$\int \frac{x^2+x}{(x^2+4)^2}dx$ $x^2+4$ ha radici complesse con moltelplicità due (infatti è eleveto al quadrato) la scomposizione sarà:
$\frac{x^2+x}{(x^2+4)^2}=\frac{Ax+B}{x^2+4}+\frac{Cx+D}{(x^2+4)^2}$ con le costanti da determinarsi al solito modo
Se invece dato $\int \frac{N(x)}{D(x)}dx$ il numeratore N(x) è di grado maggiore rispetto al denominatore:
Si esegue la divisione polinomiale o si utilizza la regola di Ruffini e si scrive la frazione come $\frac{N(x)}{D(x)}=Q(x)+\frac{R(x)}{D(x)}$ ricadendo in uno dei caso precendentemente descritti perché, dopo la divisione, di sicuro R(x) sarà di grado inferiore a D(x)
spero di non aver commesso errori!!
Se hai bisogno ancora di aiuto chiedi!!
NOTE
*
Il principio d'identità dei polinomi afferma:due polinomi sono identici se sono uguali i coefficienti dei termini dello stesso grado.
$\frac{1}{x^2-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}$fai il minimo comune multiplo $\frac{A(x+1)+B(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{(A+B)x+(A-B)}{(x-1)(x+1)}$ quindi visto che il termine in x manca $A+B=0$ mentre il termine noto vale 1 cioè $(A-B)=1$ risolvi il sistema di queste due condizione e ottieni $A=\frac{1}{2}$ e $B=-\frac{1}{2}$ sostituendo all'inizio $\frac{1}{x^2-1}=\frac{\frac{1}{2}}{x-1}+\frac{-\frac{1}{2}}{x+1}$ questi due fratti semplici sono di facile integrazione! infatti:
$\frac{1}{x^2-1}\frac{1}{2}\int\frac{1}{x-1}dx-\frac{1}{2}\int\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2}ln|x-1|-\frac{1}{2}ln|x+1|$
**
Il metodo del completamento del quadrato
$ax^2+bx+c=a(x^2+\frac{b}{a}+\frac{c}{a})$nella parentesi aggiungo e tolgo il termine $\frac{b^2}{4a^2}$
$a(x^2+\frac{b}{a}+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a})=$
$a[(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2}]$
apocalisse86 non ho parole....che possoo dire....ti ringrazio di cuore.....
ciàààààààààààààààààààà
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