Dubbio sul motivo storico delle definizioni legate all'ordine e alla topologia
Salve. Trattando alcuni argomenti a lezione (analisi 1), mi sto accorgendo di quante cose abbiano una "doppia" definizione che per i numeri reali sono equivalenti, ma appena si esce dai reali, tale equivalenza si perde. Ciò che volevo chiedervi, è : dal punto di vista storico, il motivo di tale fatto è che in primis si provò a caratterizzare i reali e poi si vide che era utile estendere alcune proprietà di questo insieme e nel momento che si faceva ciò si vedeva che le generalizzazioni non erano equivalenti, oppure ci sono altri motivi?
Per fare degli esempi sia la completezza che la densità hanno definizioni che fanno riferimento all'ordine, ma anche definizioni che fanno riferimento alla topologia.
p.s: il legame tra nozioni topologiche e d'ordine, dal punto di vista concettuale si deve al fatto che l'ordine può indurre una topologia?
Per fare degli esempi sia la completezza che la densità hanno definizioni che fanno riferimento all'ordine, ma anche definizioni che fanno riferimento alla topologia.
p.s: il legame tra nozioni topologiche e d'ordine, dal punto di vista concettuale si deve al fatto che l'ordine può indurre una topologia?
Risposte
Completezza, densità, chiusura, estensione... hanno molti usi in matematica. Settori diversi usano gli stessi termini con significati diversi. Dopo un po' non ci fai più troppo caso. Penso che si sia fatto perché sono termini evocativi.
Grazie per la risposta.
Cosa intendi precisamente per evocativi? Cioè sono stati dati nomi simili perché intuitivamente richiamavano le stesse idee pur essendo concetti diversi?
Cosa intendi precisamente per evocativi? Cioè sono stati dati nomi simili perché intuitivamente richiamavano le stesse idee pur essendo concetti diversi?
Dico evocativi nel senso che il concetto matematico può richiamare il concetto di uso comune. È una cosa comune nella creazione di nuovi termini. In assenza di un termine preciso viene più facile riutilizzarne uno vecchio con significato nuovo piuttosto che inventare un termine di sana pianta. Ricordare un termine che già si conosce penso sia più facile che memorizzarne uno nuovo. Penso si debba parlare di una estensione per metafora, o forse è catacresi, non sono un esperto.
Insomma molto termini matematici hanno significati di uso comune oppure lo avevano nella loro lingua di origine.
Insomma molto termini matematici hanno significati di uso comune oppure lo avevano nella loro lingua di origine.
Ah, ok.
Comunque, tra l'uso topologico e quello legato all'ordine, sai quale è stato usato prima? Oppure sono nati praticamente contemporaneamente?
Sto adorando questa parte di analisi, io avevo sempre visto le cose dal punto di vista del Pagani-Salsa (con le successioni e quindi nozioni "più metriche") ora, invece le sto vedendo dal punto di vista assiomatico e mettere a paragone questi punti è meraviglioso.
Comunque, tra l'uso topologico e quello legato all'ordine, sai quale è stato usato prima? Oppure sono nati praticamente contemporaneamente?
Sto adorando questa parte di analisi, io avevo sempre visto le cose dal punto di vista del Pagani-Salsa (con le successioni e quindi nozioni "più metriche") ora, invece le sto vedendo dal punto di vista assiomatico e mettere a paragone questi punti è meraviglioso.
Il concetto di spazio topologico è del 1914, quindi penso che i termini della topologia sia probabilmente più recenti di quelli sugli insiemi ordinati.
Grazie della risposta e scusa le tante domande.
"vict85":
Completezza, densità, chiusura, estensione... hanno molti usi in matematica. Settori diversi usano gli stessi termini con significati diversi. Dopo un po' non ci fai più troppo caso. Penso che si sia fatto perché sono termini evocativi.
Penso lo stesso, ma non ho approfondito la questione.
Inoltre, tenete presente che l'astrazione delle proprietà minimali utili ad ottenere certi risultati piuttosto di altri è, essenzialmente, conquista degli ultimi 90 anni (se proprio devo dare una data d'inizio, dico 1932, alla pubblicazione di Théorie des Opérations Linéaires di Banach).
Ciao mkplo.
Dal punto di vista del working mathematician hanno perfettamente ragione vict85 e gugo: certi termini finisci per usarli in ambiti diversi, e al significato in altri ambiti nemmeno ci pensi. Come si è visto nel thread da te introdotto sulla completezza in Analisi di base, la completezza nel senso dell'ordine e la completezza nel senso degli spazi metrici tramite le successioni di Cauchy sono cose diverse, che coincidono in $mathbb(R)$.
Dal punto di vista storico le cose sono più sfumate. Il problema della completezza di $mathbb(R)$ e dell'ordinamento appartengono a epoche diverse rispetto agli spazi metrici (e alla topologia).
Il problema della costruzione dei numeri reali e della loro completezza (o continuità della retta reale) come oggi lo conosciamo trova la sua sistemazione nella seconda metà dell'ottocento: l'anno cruciale è il 1872, in cui, sorprendentemente vengono pubblicati quasi contemporaneamente due lavori fondamentali sui reali, uno di Dedekind e uno di Cantor.
La definizione degli spazi metrici è invece posteriore, inizio '900, attribuita a Fréchet, in un suo lavoro, credo la sua tesi di dottorato, non ricordo il nome e la data precisa, poi la cerco, ma tipo 1904-1906, in tutto altro ambito, siamo ai primordi dell'analisi funzionale[nota]M.Frechét, Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rend. Circ. Mat. Palermo 22 (1906), 1-74.[/nota].
I lavori di Dedekind e di Cantor rappresentano due delle costruzioni moderne dei numeri reali: quella di Dedekind tramite i tagli o sezioni, e quella di Cantor, che definisce i numeri reali come le classi di equivalenza di successioni di Cauchy. (La terza costruzione dei numeri reali è quella assiomatica, che costruisce $mathbb(R)$ come campo ordinato completo, e introduce la completezza come assioma dell'estremo superiore).
Qui siamo nell'ambito della cosiddetta 'aritmetizzazione dell'analisi', ossia l'esigenza di fondare l'analisi sui numeri e svincolarla da costruzioni geometriche. Qui il problema di una definizione rigorosa della continuità (ossia dell' assenza di 'buchi') della retta reale è centrale alla 'rigorizzazione' dell'analisi: se i numeri reali avessero 'buchi', ad esempio non sarebbe vero il teorema dei valori intermedi. E in questo ambito non è un caso che si usi la stessa parola, completezza.
Poi nel novecento si è andati verso generalizzazioni del concetto di convergenza, negli spazi metrici (e poi negli spazi topologici) e qui la nozione di ordinamento si è persa, non quella di successione di Cauchy, e la nozione di completezza di uno spazio si è divaricata da quella di insieme ordinato.
La definizione di spazi metrici e spazi topologici rispondevano a problematiche diverse da quelle ottocentesche sui numeri reali, ad esempio all'inizio del '900 c'è tutto un fiorire di lavori che costituisce il terreno su cui nasce l'analisi funzionale, che porta alla consideraione di nuovi spazi, in particolare a spazi vettoriali di dimensione infinita (e successivamente agli spazi vettoriali topologici).
Questo è quello che so dirti sulla completezza, credo che per quanto riguarda il termine 'densità' possa valere un discorso analogo, il passaggio da $mathbb(R)$ a spazi più generali, ma questo dovrei approfondirlo.
Dal punto di vista del working mathematician hanno perfettamente ragione vict85 e gugo: certi termini finisci per usarli in ambiti diversi, e al significato in altri ambiti nemmeno ci pensi. Come si è visto nel thread da te introdotto sulla completezza in Analisi di base, la completezza nel senso dell'ordine e la completezza nel senso degli spazi metrici tramite le successioni di Cauchy sono cose diverse, che coincidono in $mathbb(R)$.
Dal punto di vista storico le cose sono più sfumate. Il problema della completezza di $mathbb(R)$ e dell'ordinamento appartengono a epoche diverse rispetto agli spazi metrici (e alla topologia).
Il problema della costruzione dei numeri reali e della loro completezza (o continuità della retta reale) come oggi lo conosciamo trova la sua sistemazione nella seconda metà dell'ottocento: l'anno cruciale è il 1872, in cui, sorprendentemente vengono pubblicati quasi contemporaneamente due lavori fondamentali sui reali, uno di Dedekind e uno di Cantor.
La definizione degli spazi metrici è invece posteriore, inizio '900, attribuita a Fréchet, in un suo lavoro, credo la sua tesi di dottorato, non ricordo il nome e la data precisa, poi la cerco, ma tipo 1904-1906, in tutto altro ambito, siamo ai primordi dell'analisi funzionale[nota]M.Frechét, Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rend. Circ. Mat. Palermo 22 (1906), 1-74.[/nota].
I lavori di Dedekind e di Cantor rappresentano due delle costruzioni moderne dei numeri reali: quella di Dedekind tramite i tagli o sezioni, e quella di Cantor, che definisce i numeri reali come le classi di equivalenza di successioni di Cauchy. (La terza costruzione dei numeri reali è quella assiomatica, che costruisce $mathbb(R)$ come campo ordinato completo, e introduce la completezza come assioma dell'estremo superiore).
Qui siamo nell'ambito della cosiddetta 'aritmetizzazione dell'analisi', ossia l'esigenza di fondare l'analisi sui numeri e svincolarla da costruzioni geometriche. Qui il problema di una definizione rigorosa della continuità (ossia dell' assenza di 'buchi') della retta reale è centrale alla 'rigorizzazione' dell'analisi: se i numeri reali avessero 'buchi', ad esempio non sarebbe vero il teorema dei valori intermedi. E in questo ambito non è un caso che si usi la stessa parola, completezza.
Poi nel novecento si è andati verso generalizzazioni del concetto di convergenza, negli spazi metrici (e poi negli spazi topologici) e qui la nozione di ordinamento si è persa, non quella di successione di Cauchy, e la nozione di completezza di uno spazio si è divaricata da quella di insieme ordinato.
La definizione di spazi metrici e spazi topologici rispondevano a problematiche diverse da quelle ottocentesche sui numeri reali, ad esempio all'inizio del '900 c'è tutto un fiorire di lavori che costituisce il terreno su cui nasce l'analisi funzionale, che porta alla consideraione di nuovi spazi, in particolare a spazi vettoriali di dimensione infinita (e successivamente agli spazi vettoriali topologici).
Questo è quello che so dirti sulla completezza, credo che per quanto riguarda il termine 'densità' possa valere un discorso analogo, il passaggio da $mathbb(R)$ a spazi più generali, ma questo dovrei approfondirlo.
Grazie nuovamente a tutti per le risposte.
@gugo82:non sapevo che Banach fosse stato così importante, io lo conoscevo solo per il nome degli spazi di Banch, il teorema delle contrazioni e per il paradosso. Grazie per il nome del testo, è sempre bello sapere in quale opera si è avuto un primo accenno di un modo nuovo di "lavorare".
@gabriella127: grazie per il tuo intervento molto completo, e ricco di informazioni interessanti. A quanto pare la similitudine fra concetti non implica una vicinanza storica, ma è veramente bello vedere come si sono evolute le linee di pensiero, come siano cambiati gli approcci e come nel generalizzare si è preferito andare per una strada piuttosto che un'altra.
@gugo82:non sapevo che Banach fosse stato così importante, io lo conoscevo solo per il nome degli spazi di Banch, il teorema delle contrazioni e per il paradosso. Grazie per il nome del testo, è sempre bello sapere in quale opera si è avuto un primo accenno di un modo nuovo di "lavorare".
@gabriella127: grazie per il tuo intervento molto completo, e ricco di informazioni interessanti. A quanto pare la similitudine fra concetti non implica una vicinanza storica, ma è veramente bello vedere come si sono evolute le linee di pensiero, come siano cambiati gli approcci e come nel generalizzare si è preferito andare per una strada piuttosto che un'altra.
[ot]Banach è uno dei più grandi matematici del '900. Ma qui lo dico perché la sua biografia è un esempio degli orrori perpretati dal nazismo, anche nei confronti dei matematici. Non so se sapete come Banach dovette procurarsi da vivere dopo l'invasione nazista della Polonia, non potendo più insegnare. Non lo scrivo qui perché mi fa orrore solo scriverlo...[/ot]
Banach ha anche una storia familiare "nebulosa"...
[ot]Cito da Pietsch, History of Banach Spaces and Linear Operators, pp. 638-639:
@ mklplo: Il testo di Banach è importante perché, detto in maniera semplice, lì è nata l'Analisi Funzionale.
[ot]Cito da Pietsch, History of Banach Spaces and Linear Operators, pp. 638-639:
8.3.3.1 Stefan Banach was born in Krakow on March 30, 1892. His parents, Stefan Greczek and Katarzyna Banach, were not married. It is said that Banach spent some years of his childhood under the wings of his grandmother in Ostrowsko, the birthplace of his father. However, he was mainly brought up in Krakow by a foster-mother, Franziszka Płowa.[/ot]
After the matura in 1910, Banach enrolled at the Faculty of Engineering of the Polytechnical Institute in Lwow. Due to the outbreak of World War I, he was not able to finish his studies.
A well-known story spread among mathematicians says that sometime in 1916, Steinhaus (then assistant at the University of Lwow) walked through a park in Krakow. Suddenly, he overheard the words Lebesgue integral; the youngsters who were discussing this unusual matter were Stefan Banach and Otton Nikodym; see [...]. This encounter was the beginning of a lifelong collaboration and the big bang of the famous Lwow school. Steinhaus always claimed that Banach was his greatest mathematical discovery.
In 1920, Banach became an assistant of A. Łomnicki (1881–1941) at the Lwow Polytechnical Institute. This was his first paid academic job. In June of the same year, he submitted his thesis Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application aux equations integrales at the Jan Kazimierz University. His habilitation followed in April 1922, and subsequently, in July 1922, he was appointed professor extraordinarius.
Banach stayed in Lwow throughout the rest of his life. During the Soviet occupation from September 1939 to June 1941 he was made dean of the PhysicalMathematical Faculty and head of the Department of Mathematical Analysis. Most horrible was the period from June 1941 to July 1944. Banach survived the Nazi pogrom thanks to the fact that he had an identity card as an employee of the Rudolf Weigl Bacteriological Institute. However, his job was embarrassing. He had to carry lice in a box that was placed on the back of his hands. These lice were used for producing anti-typhoid vaccines; additional information can be found in Alexander’s review [...].
After the end of the war, Banach immediately resumed his academic duties. However, all of his plans for the future were stopped by a serious illness, lung cancer. Banach died in Lwow on August 31, 1945. Pictures of Banach’s grave can be found in an article of Ciesielski [...].
8.3.3.2 A mysterious story about the origin of Stefan Banach reads as follows:
In Tel Aviv, V. Milman [...] met an old lady whose maiden name was Banach. She told him that her grandmother (Netl Banach married to a cousin, by the name of Moshe Banach) had a younger brother who became a famous mathematician in Lwow. Since the boy did not like to live according to the orthodox Jewish tradition, he went away at the age of about fifteen and converted to catholicism.
As a consequence, nobody from his former family was allowed to remember this black sheep, and therefore no further information is available.
@ mklplo: Il testo di Banach è importante perché, detto in maniera semplice, lì è nata l'Analisi Funzionale.
Grazie di nuovo per aver risposto,è sempre bello scoprire qualche cosa di nuovo.
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