Didattica: la decomposizione di Hermite
Salve a tutti,
oggi mi sono ritrovato a dover spiegare la decomposizione di Hermite per la soluzione di integrali di funzioni razionali fratte ad un ragazzo che digerisce poca matematica. Ho avuto particolari problemi nel farlo perché non trovavo alcun modo di rendere "edibile" l'argomento. Qualcuno ha qualche suggerimento in merito?
Grazie anticipatamente!
oggi mi sono ritrovato a dover spiegare la decomposizione di Hermite per la soluzione di integrali di funzioni razionali fratte ad un ragazzo che digerisce poca matematica. Ho avuto particolari problemi nel farlo perché non trovavo alcun modo di rendere "edibile" l'argomento. Qualcuno ha qualche suggerimento in merito?
Grazie anticipatamente!
Risposte
Intendi la scomposizione in fratti semplici?
Esattamente!
È un po' difficile risponderti perché il processo è meccanico. L'unica semplificazione che ti posso offrire è sulla soluzione del sistema finale, puoi portare
$(P(x))/((x-x_1)*(x-x_2)*...) = A/(x-x_1)+B/(x-x_2)+...$ nella forma
$P(x)=A(x-x_2)(x-x_3)...+B(x-x_1)(x-x_3)...+...$ e poi, invece di fare tutti i calcoli per utilizzare il principio di identità dei polinomi, puoi assegnare alla $x$ prima il valore $x_1$, che ti permette di trovare subito $A$, poi $x_2$ per trovare $B$ eccetera.
È vero che nelle condizioni di esistenza hai $x!=x_1 ^^ x!=x_2 ^^ ...$, ma i numeratori non lo sanno e danno la soluzione esatta.
$(P(x))/((x-x_1)*(x-x_2)*...) = A/(x-x_1)+B/(x-x_2)+...$ nella forma
$P(x)=A(x-x_2)(x-x_3)...+B(x-x_1)(x-x_3)...+...$ e poi, invece di fare tutti i calcoli per utilizzare il principio di identità dei polinomi, puoi assegnare alla $x$ prima il valore $x_1$, che ti permette di trovare subito $A$, poi $x_2$ per trovare $B$ eccetera.
È vero che nelle condizioni di esistenza hai $x!=x_1 ^^ x!=x_2 ^^ ...$, ma i numeratori non lo sanno e danno la soluzione esatta.
Ti ringrazio per il suggerimento! A dire il vero, però, io ho delle difficoltà nel comunicare come il polinomio possa essere scritto in quella maniera. Tirare in ballo il Teorema di Hermite sulla scomposizione e la relativa dimostrazione mi sembrava eccessivo, ma non riesco a trovare un modo per semplificare l'argomento...
"jakojako":
Tirare in ballo il Teorema di Hermite sulla scomposizione e la relativa dimostrazione mi sembrava eccessivo...
Esatto. Se il ragazzo ha delle difficoltà, forse gli bastano un po' di esempi, o la dimostrazione con solo due fattori.
"@melia":
È un po' difficile risponderti perché il processo è meccanico. L'unica semplificazione che ti posso offrire è sulla soluzione del sistema finale, puoi portare
$(P(x))/((x-x_1)*(x-x_2)*...) = A/(x-x_1)+B/(x-x_2)+...$ nella forma
$P(x)=A(x-x_2)(x-x_3)...+B(x-x_1)(x-x_3)...+...$ e poi, invece di fare tutti i calcoli per utilizzare il principio di identità dei polinomi, puoi assegnare alla $x$ prima il valore $x_1$, che ti permette di trovare subito $A$, poi $x_2$ per trovare $B$ eccetera.
È vero che nelle condizioni di esistenza hai $x!=x_1 ^^ x!=x_2 ^^ ...$, ma i numeratori non lo sanno e danno la soluzione esatta.
Oppure, il che è equivalente e consente di fare meno calcoli letterali, quando il numeratore ha zeri solo del primo ordine si possono determinare i coefficienti $A,B,...$ liberando $(P(x))/((x-x_1)*(x-x_2)*...) = A/(x-x_1)+B/(x-x_2)+...$ da un denominatore alla volta e poi assegnando $x=text(zero del denominatore eliminato)$.
Ad esempio, nel caso di soli due zeri, hai $(P(x))/((x-x_1)*(x-x_2)) = A/(x-x_1)+B/(x-x_2)$ e per il calcolo di $A$ puoi moltiplicare membro a membro per $x-x_1$, ottenendo $(P(x))/(x-x_2) = A +B(x-x_1)/(x-x_2)$, e poi ponendo $x=x_1$; similmente fai il calcolo di $B$.
Ma a che gli servirà sapere la decomposizione di Hermite?
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