Definizione dei radicali alle medie e risvolti inquietanti
Ciao a tutti,
sto aiutando un ragazzino nei compiti.
Nei testi per le scuole medie si trovano due definizioni di radice quadrata:
1) $ \sqrt4=+-2 $
2) $ \sqrt4=+2 $
Io ho sempre usato solo la (2), che mette al riparo da ambiguità.
A scuola solo inizialmente mi avevano introdotto la (1) (radicale algebrico), ma poi non l'ho più vista.
Rileggendo la (1), in un primo momento mi sono detta "il suo senso, comunque, ce l'ha", ma poi mi sono sorti un sacco di dubbi.
a) La proprietà transitiva dell'uguaglianza? Verrebbe -2 = 2.... vabbè, quello non mi sembra un grosso problema, allora lo sarebbe anche per i numeri complessi. Si userebbe il simbolo di uguale per indicare una cosa un po' diversa ed è ok.
b) Che macello appena voglio svolgere un'espressione con più radici:
$ \sqrt4+\sqrt9=\pm2\pm3 $ Che significato ha questa scrittura? Posso prendere tutte le combinazioni dei segni?
Penso di no, altrimenti salterebbe per esempio l'annullamento del prodotto:
$ \sqrt4+\sqrt4=0 $ (se prendo una volta 2 e una volta -2)
$ \2 \sqrt4 = 0$
A questo punto il mistero si infittisce: ma nei numeri complessi quello che ho scritto sopra è vero?
Penso proprio di no... però.... se un numero ha più radici, quando svolgo un'operazione in cui compaiono più radici quale devo prendere?
Votate, votate
sto aiutando un ragazzino nei compiti.
Nei testi per le scuole medie si trovano due definizioni di radice quadrata:
1) $ \sqrt4=+-2 $
2) $ \sqrt4=+2 $
Io ho sempre usato solo la (2), che mette al riparo da ambiguità.
A scuola solo inizialmente mi avevano introdotto la (1) (radicale algebrico), ma poi non l'ho più vista.
Rileggendo la (1), in un primo momento mi sono detta "il suo senso, comunque, ce l'ha", ma poi mi sono sorti un sacco di dubbi.
a) La proprietà transitiva dell'uguaglianza? Verrebbe -2 = 2.... vabbè, quello non mi sembra un grosso problema, allora lo sarebbe anche per i numeri complessi. Si userebbe il simbolo di uguale per indicare una cosa un po' diversa ed è ok.
b) Che macello appena voglio svolgere un'espressione con più radici:
$ \sqrt4+\sqrt9=\pm2\pm3 $ Che significato ha questa scrittura? Posso prendere tutte le combinazioni dei segni?
Penso di no, altrimenti salterebbe per esempio l'annullamento del prodotto:
$ \sqrt4+\sqrt4=0 $ (se prendo una volta 2 e una volta -2)
$ \2 \sqrt4 = 0$
A questo punto il mistero si infittisce: ma nei numeri complessi quello che ho scritto sopra è vero?
Penso proprio di no... però.... se un numero ha più radici, quando svolgo un'operazione in cui compaiono più radici quale devo prendere?
Votate, votate
Risposte
La radice quadrata è una funzione a più valori, ossia una relazione dove ad ogni elemento del dominio "corrisponde" (secondo la regola che vuole una funzione come una legge che associa elementi a elementi) sempre almeno un elemento del codominio, ma possibilmente più d'uno.
Ciò detto, quando "scegli" la radice quadrata di un numero quello che scegli è quale dei valori tenere e quale buttare; per la radice \(\sqrt{\_} : \mathbb R_\ge \to\mathbb R\) quei valori sono esattamente due, prendi il positivo e butti il negativo, o viceversa.
Nei numeri complessi, succede lo stesso: a rigore \(i\) non è "la radice quadrata di -1", piuttosto l'estensione \(\mathbb R(\sqrt{-1})\) consiste della scelta di una delle due radici quadrate di -1. Tanto è vero che quando vuoi che l'identificazione \(\mathbb C\cong \mathbb R^2\) sia "canonica" devi far ricorso ad entrambe le radici: quello che fai infatti è considerare il diagramma
e farne il pullback (\(\sigma\) è la mappa di coniugio); tale pullback \(\mathbb C\times_{\mathbb C}\mathbb C\) è isomorfo a \(\mathbb C\), mediante la mappa \(z\mapsto (z,\bar z)\), e a sua volta, \(\mathbb C\times_{\mathbb C}\mathbb C\) è isomorfo a \(\mathbb R^2\) (stavolta in modo canonico) mediante la mappa \((z,\bar z) \mapsto \left(\frac{z+\bar z}{2},\frac{z-\bar z}{2}\right)\).
Ciò detto, quando "scegli" la radice quadrata di un numero quello che scegli è quale dei valori tenere e quale buttare; per la radice \(\sqrt{\_} : \mathbb R_\ge \to\mathbb R\) quei valori sono esattamente due, prendi il positivo e butti il negativo, o viceversa.
Nei numeri complessi, succede lo stesso: a rigore \(i\) non è "la radice quadrata di -1", piuttosto l'estensione \(\mathbb R(\sqrt{-1})\) consiste della scelta di una delle due radici quadrate di -1. Tanto è vero che quando vuoi che l'identificazione \(\mathbb C\cong \mathbb R^2\) sia "canonica" devi far ricorso ad entrambe le radici: quello che fai infatti è considerare il diagramma
[tex]\xymatrix{
& \mathbb C \ar[d]^\sigma \\
\mathbb C \ar@{=}[r] & \mathbb C
}[/tex]
& \mathbb C \ar[d]^\sigma \\
\mathbb C \ar@{=}[r] & \mathbb C
}[/tex]
e farne il pullback (\(\sigma\) è la mappa di coniugio); tale pullback \(\mathbb C\times_{\mathbb C}\mathbb C\) è isomorfo a \(\mathbb C\), mediante la mappa \(z\mapsto (z,\bar z)\), e a sua volta, \(\mathbb C\times_{\mathbb C}\mathbb C\) è isomorfo a \(\mathbb R^2\) (stavolta in modo canonico) mediante la mappa \((z,\bar z) \mapsto \left(\frac{z+\bar z}{2},\frac{z-\bar z}{2}\right)\).
Il discorso è un po' fuori portata per l'area in cui lo hai inserito. Si parlava della definizione di radice in una scuola media, età degli utenti 10-13 anni, primi cenni ai numeri irrazionali, di numeri complessi nemmeno l'ombra.
In questa situazione direi che $sqrt4=2$ e basta.
In questa situazione direi che $sqrt4=2$ e basta.
La matematica cambia a seconda dell'età delle persone cui la insegni?
Grazie a entrambi per avermi risposto 
@amelia: la domanda, però, l'ho posta a un pubblico adulto. Anche io avrei scelto l'unico risultato positivo " e basta", ma ci tenevo a capire le conseguenze dell'altra definizione, perché mi sembrava "problematica". Se ho chiamato in causa i numeri complessi, è perché me ne sono servita per rifletterci su, per mettere a confronto alcuni concetti. E poi mi sono incuriosita.
@solaal: purtroppo non ho gli strumenti per capire la tua risposta perché non sono una matematica. Ma il poco che ho capito mi è stato davvero utile: diciamo che ero "chiusa" all'unica definizione di funzione che conoscevo e adesso so che ne esiste un'altra... e che le possibilità sono sempre di più di quelle che immagino...
@amelia: la domanda, però, l'ho posta a un pubblico adulto. Anche io avrei scelto l'unico risultato positivo " e basta", ma ci tenevo a capire le conseguenze dell'altra definizione, perché mi sembrava "problematica". Se ho chiamato in causa i numeri complessi, è perché me ne sono servita per rifletterci su, per mettere a confronto alcuni concetti. E poi mi sono incuriosita.
@solaal: purtroppo non ho gli strumenti per capire la tua risposta perché non sono una matematica. Ma il poco che ho capito mi è stato davvero utile: diciamo che ero "chiusa" all'unica definizione di funzione che conoscevo e adesso so che ne esiste un'altra... e che le possibilità sono sempre di più di quelle che immagino...
"solaàl":
La matematica cambia a seconda dell'età delle persone cui la insegni?
Spiritoso!
Non in funzione dell'età, ma in funzione dell'insieme numerico su cui lavori. Credevo che fosse chiaro anche a te (suppongo tu abbia frequentato la scuola regolare) che parlando di bambini delle elementari si parlasse di numeri naturali e, al massimo, di razionali assoluti, mentre parlando di scuola media il riferimento fossero i numeri interi e razionali relativi, con un piccolo excursus sui reali, visti solo intuitivamente. Escluso completamente l'insieme dei complessi che entrano nella scuola non prima della seconda superiore, spesso la terza.
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