Chi (e/o quando) ha veramente scoperto la "formula di Gauss"?
Se si cerca "formula di Gauss" su Google compaiono risultati come questo sull'aneddoto che riguarda Gauss da bambino che conoscono tutti.
Quello che mi chiedo da tanto è: ma chi (e quando) l'ha scoperta davvero quella formula?
Non c'è verso che prima di Gauss non si conoscesse una cosa così semplice, ma si riesce a risalire più o meno precisamente a quando è stata concepita la prima volta?
Per esempio già Archimede nel problema dei buoi parla di numeri triangolari e credo che i numeri triangolari fossero già stati introdotti da Pitagora o comunque dai pitagorici, ma conoscevano proprio la formula che li genera? Non so...
Ringrazio chiunque vorrà partecipare a questa discussione.
Quello che mi chiedo da tanto è: ma chi (e quando) l'ha scoperta davvero quella formula?
Non c'è verso che prima di Gauss non si conoscesse una cosa così semplice, ma si riesce a risalire più o meno precisamente a quando è stata concepita la prima volta?
Per esempio già Archimede nel problema dei buoi parla di numeri triangolari e credo che i numeri triangolari fossero già stati introdotti da Pitagora o comunque dai pitagorici, ma conoscevano proprio la formula che li genera? Non so...
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Risposte
Premesso che io non credo neanche per un secondo alla storiella su Gauss, penso che quella formula sia stata scoperta e poi dimenticata ciclicamente per secoli fino a che qualcuno non l'abbia scritta o usata da qualche parte. Una domanda a cui forse è possibile rispondere dal punto di vista storico è quale sia il primo documento scritto in cui appare. Alla tua domanda è invece impossibile rispondere. Di sicuro è improbabile che Pitagora o Archimede l'avessero dimostrata per induzione, ma non è così incredibile che ne fossero a conoscenza.
"Ancona":
Premesso che io non credo neanche per un secondo alla storiella su Gauss, …
Perché ?
Perché è palesemente artificiosa e creata ad hoc.
Ma non è vero!
È assodato che ognuno la racconta a modo suo e sicuramente molti la "romanzano" ma la "storiella" è tutt'altro che improbabile.
La "formula di Gauss" come la chiami tu è dimostrabile in tanti modi diversi e non è necessario usare il principio di induzione (anche se è l'esempio più usato quando si introduce questo principio).
Per esempio, un metodo facile, alla portata di bambino (e non necessariamente dotato come Gauss
) è quello di scrivere in riga i numeri e nella riga sotto gli stessi numeri ma in ordine contrario.
È immediato allora riconoscere che la somma delle coppie di numeri "sopra e sotto" è costante, quindi $n$ coppie per la somma costante diviso per due.
Faccio notare che questo procedimento non implica di per sé la costituzione di una formula ma è solo un metodo per trovare quel risultato specifico; per la sua generalizzazione occorre un ulteriore salto logico che nella "storiella" non c'è
È assodato che ognuno la racconta a modo suo e sicuramente molti la "romanzano" ma la "storiella" è tutt'altro che improbabile.
La "formula di Gauss" come la chiami tu è dimostrabile in tanti modi diversi e non è necessario usare il principio di induzione (anche se è l'esempio più usato quando si introduce questo principio).
Per esempio, un metodo facile, alla portata di bambino (e non necessariamente dotato come Gauss
) è quello di scrivere in riga i numeri e nella riga sotto gli stessi numeri ma in ordine contrario.È immediato allora riconoscere che la somma delle coppie di numeri "sopra e sotto" è costante, quindi $n$ coppie per la somma costante diviso per due.
Faccio notare che questo procedimento non implica di per sé la costituzione di una formula ma è solo un metodo per trovare quel risultato specifico; per la sua generalizzazione occorre un ulteriore salto logico che nella "storiella" non c'è
Quel ragionamento elementare è noto a chiunque e questo avvalora ciò che ho scritto sopra: mi pare probabile che chiunque abbia avuto bisogno di fare quella somma nella storia dell'umanità prima o poi ci sia arrivato..... E quindi la formula non è stata "scoperta" da nessuno in particolare.
La storiella di Gauss mi sembra comunque palesemente artificiosa e sicuramente apocrifa. Poi credere si può credere a qualsiasi cosa eh, anche io credo a certe cose assurde...
La storiella di Gauss mi sembra comunque palesemente artificiosa e sicuramente apocrifa. Poi credere si può credere a qualsiasi cosa eh, anche io credo a certe cose assurde...
Io ti contesto il "palesemente" artificiosa e "sicuramente" apocrifa … come ho detto (e come confermi anche tu) è plausibile quindi non vedo come tu possa usare arbitrariamente i termini "palesemente" e "sicuramente" … io non li userei perché non so com'è andata realmente …
Peraltro il fatto che un ragionamento sia "elementare" non implica che sia conosciuto da sempre e nel caso in questione il fatto "sorprendente" non è che Gauss sia stato o meno il primo ma che avesse otto anni (o giù di lì)
Peraltro il fatto che un ragionamento sia "elementare" non implica che sia conosciuto da sempre e nel caso in questione il fatto "sorprendente" non è che Gauss sia stato o meno il primo ma che avesse otto anni (o giù di lì)
Sicuramente a tutti voi è noto che gli Elementi di Euclide sono dei libri di Geometria in cui Euclide ha raccolto tutti i teoremi conosciuti fino ad allora. Meno noto è il fatto che gli ultimi volumi degli Elementi sono libri di Algebra. Nel IX libro degli Elementi Euclide si occupa anche della "matematica additiva" tanto cara a Pitagora. Il testo tratta i numeri figurati: quadrati, triangolari, oblunghi o rettangolari, ... analizzando la matematica additiva con un chiaro omaggio ai pitagorici, visto che l'argomento non permette sbocchi ulteriori oltre a quelli già noti a Pitagora, come la somma dei primi $n$ naturali, la somma dei primi $n$ dispari, la soluzione di equazioni del tipo $x^2+y^2=z^2$ con $x, y, z in NN$, ovvero le famose terne pitagoriche. Si occupa anche della matematica moltiplicativa, che è quella che usiamo noi ora, dove l'operazione principale è la moltiplicazione, ma soprattutto la scomposizione in fattori primi.
Non ricordo molto di più, ho fatto la tesi 37 anni fa su questa cosa.
Non ricordo molto di più, ho fatto la tesi 37 anni fa su questa cosa.
Sicuramente è impossibile che nessun matematico greco, cinese, arabo o indiano non abbia scoperto una identtà così sempliche qualche secolo prima o forse più. Ho sfogliato molto velocemente gli Elementi nei punti in cui pensavo potesse esserci qualcosa di vagamente equivalente in termini geometrici, ma nulla. 
lo farò con più calma prossimamente.
lo farò con più calma prossimamente.
"axpgn":
Ma non è vero!
È assodato che ognuno la racconta a modo suo e sicuramente molti la "romanzano" ma la "storiella" è tutt'altro che improbabile.
Sono d'accordo, anche secondo me la storiella è verosimile. Poi ognuno può tranquillamente decidere se crederci o no.
Comunque a quanto vedo siamo tutti d'accordo nel dire che Gauss non è stato il primo a scoprirla (a volte arrivano pure a dire questa cosa!), almeno questo… Mi rendo conto della difficoltà di risalire alla prima persona che l'ha scoperta, infatti non speravo di raggiungere questa cosa ma per lo meno di trovare qualcuno che la sapesse più remoto possibile.
Io azzarderei sull'aritmetica egizia, o sui problemi cinesi/indiani sulle progressioni. Ma non ho fonti decenti da fornirti, sono per lo più "sbrigative".[nota]Il che è comprensibile, data la lontananza temporale...[/nota]
Il noto libro di Eric Bell, I grandi matematici, dà per vero l'episodio, e dice che Gauss si divertiva verso la fine della sua vita a raccontare questa storia. E anche un altro libro che ho su Gauss lo dà per vero.
Bell dice che il suo insegnante, un certo Buttner, era un bruto che terrorizzava gli studenti, l'altro libro dice che era un insegnante di eccezionale competenza, boh, forse sono vere entrambe le cose. Comunque, anche in seguito a questo episodio, ebbe il merito di riconoscere il genio di Gauss e gli dedicò particolari attenzioni.
Però non è che Gauss bambino avesse scritto la formula, era nella versione che dice axpgn, di mettere in due righe i numeri da 1 a 100, prima in ordine crescente e poi in ordine decrescente.
Bell dice che il suo insegnante, un certo Buttner, era un bruto che terrorizzava gli studenti, l'altro libro dice che era un insegnante di eccezionale competenza, boh, forse sono vere entrambe le cose. Comunque, anche in seguito a questo episodio, ebbe il merito di riconoscere il genio di Gauss e gli dedicò particolari attenzioni.
Però non è che Gauss bambino avesse scritto la formula, era nella versione che dice axpgn, di mettere in due righe i numeri da 1 a 100, prima in ordine crescente e poi in ordine decrescente.
Beh, ma non ottieni la scritta $5050$
Devi dividere a metà 10100.
Sommando quelli di sopra e quelli di sotto delle due righe ottieni il doppio della somma dei primi cento naturali
Sommando quelli di sopra e quelli di sotto delle due righe ottieni il doppio della somma dei primi cento naturali
Cioè la formula.
Non proprio ... nel senso che Gauss avrebbe usato questo procedimento e non applicato una (la) formula ... è una differenza (più o meno) sottile ma è una differenza ... capire che il procedimento utilizzato generi una formula generale necessità di una "presa di coscienza" che non sappiamo se effettivamente Gauss realizzò ... forse sì, forse no, forse c'era già arrivato precedentemente, chi lo sa, questo la "storiella" non lo dice ... 
@otta non è la formula, quella è la formula della progressione aritmetica, se scrivi i numeri in righe è un procedimento euristico per trovare la somma di numeri specifici (come dire, la formula deve essere scritta con una formula...).
Certo, hai ragione però che da lì alla formula il passo è breve.
Se l'episodio è vero mi sembra impossibile che un bambino di nove anni, per quanto sia Gauss, trovi la formula in tre minuti. Ma poi i libri dicono di no.
Certo, hai ragione però che da lì alla formula il passo è breve.
Se l'episodio è vero mi sembra impossibile che un bambino di nove anni, per quanto sia Gauss, trovi la formula in tre minuti. Ma poi i libri dicono di no.
Comunque la formula era allora stranota, il professore semisadico di Gauss dava queste somme chilometriche ben sapendo che lui ci metteva pochissimo conoscendo la formula, e godeva delle fatiche degli studenti, che non conoscevano la formula, per sommare cento numeri.
"axpgn":
Non proprio ... nel senso che Gauss avrebbe usato questo procedimento e non applicato una (la) formula ...
Non capisco perché dici questo, in pratica lui ha applicato la formula per un caso specifico ($n=100$).
No, non è detto ... Probabilmente non riesco a spiegarmi ... Prova a dimenticarti che esiste una formula ...
Gauss scrive i numeri in fila $1, 2, 3, ...$, probabile che non li scriva tutti, poi, esattamente sotto questi, li scrive in ordine inverso (magari per caso, per gioco) ed è qui che nota che la somma in colonna è sempre la stessa: $101$; il passo successivo è facile, ci sono cento somme uguali che forniscono il doppio del totale. Risolto il problema dato dal maestro.
Questo però non implica che abbia riconosciuto subito che $(100*101)/2$ fosse generalizzabile a $(n(n+1))/2$ dove $n$ è il numero degli interi consecutivi da $1$ a $n$; per te che sei un matematico è una conseguenza ovvia ma per un bambino di otto anni è un passaggio logico per niente scontato.
Gauss scrive i numeri in fila $1, 2, 3, ...$, probabile che non li scriva tutti, poi, esattamente sotto questi, li scrive in ordine inverso (magari per caso, per gioco) ed è qui che nota che la somma in colonna è sempre la stessa: $101$; il passo successivo è facile, ci sono cento somme uguali che forniscono il doppio del totale. Risolto il problema dato dal maestro.
Questo però non implica che abbia riconosciuto subito che $(100*101)/2$ fosse generalizzabile a $(n(n+1))/2$ dove $n$ è il numero degli interi consecutivi da $1$ a $n$; per te che sei un matematico è una conseguenza ovvia ma per un bambino di otto anni è un passaggio logico per niente scontato.
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