Equazioni

[5mrkv]

Mi interessa questa parte link in modo non troppo specializzato. Non so spiegare bene cosa cerco ma sostanzialmente vorrei qualche cosa che riguarda le tecniche di manipolazione delle equazioni e come queste sono legate alle funzioni. Qualcosa di abbastanza generale, ma neppure una dispensa per precorsi su come risolvere le equazioni algebriche di secondo grado.

[giuscri]

"5mrkv":Mi interessa questa parte link in modo non troppo specializzato. Non so spiegare bene cosa cerco ma sostanzialmente vorrei qualche cosa che riguarda le tecniche di manipolazione delle equazioni e come queste sono legate alle funzioni. Qualcosa di abbastanza generale, ma neppure una dispensa per precorsi su come risolvere le equazioni algebriche di secondo grado.

Come t'è venuto in mente? (Magari sapendo la finalità è più facile risponderti).

[5mrkv]

Non posso farti esempi precisi perché le equazioni algebriche che mi capitano sono banali. Il punto è che per risolverle, se non sono sicuro, prendo un eserciziario e vedo come sono risolte le equazioni di quel tipo, non vado a guardare un libro di teoria. Quando invece ho delle regole precise a cui fare riferimento faccio molta meno fatica. So che si possono costruire i numeri reali ipotizzando l'esistenza di un insieme con tali proprietà. Conosco gli assiomi algebrici... beh, esiste un libro di matematica che tratta l'argomento o non c'è niente da dire?

[perplesso1]

Forse fraintendo la domanda, cmq se quello che ti interessa sono le regole formali che si usano per manipolare le ugualianze, allora dai un'occhiata alla Logica Equazionale che è semplicemente un linguaggio del primo ordine il cui unico predicato è appunto $=$ e le regole di inferenza sono descritte nella pagna che ti ho linkato. Di più non so.

[5mrkv]

Ok. Però conosco solamente le tavole di verità e la logica di boole che si usa nel loro studio. Comunque, forse devo solo raccogliere un poco le idee esplicitando degli esempi concreti

[gugo82]

@ 5mrkv: Il problema non è che le equazioni algebriche che ti capitano sono banali, ma è proprio che si possono risolvere esattamente solo pochissime equazioni algebriche.

In particolare, si conoscono formule esplicite per le soluzioni di equazioni "generiche" di primo, secondo, terzo e quarto grado; però non ci sono formule esplicite per equazioni "generiche" di grado superiore le quali non siano riconducibili ad equazioni di grado minore mediante un po' di Algebra. Questo perché tali formule non esistono, nel senso che (è un teorema di Abel) la generica equazione di grado \(\geq 5\) non si può risolvere esplicitamente mediante radicali.

Quel che non capisco è se ti interessi conoscere formule esplicite per le soluzioni o se ti interessano i tucchi per vedere se una certa equazione si può ricondurre ad un'equazione risolubile.

[5mrkv]

Non lo so bene neanch'io. Hai qualche riferimento accessibile che tratti entrambe le cose? Giusto per curiosità.

[gugo82]

Riferimenti no: non sono un esperto in materia.

Tuttavia gli strumenti sono sempre un po' gli stessi, Ruffini ed Eisenstein in testa.
E poi alcuni teoremini simpatici (che si provano anche "a mano") tipo:

Se un'equazione algebrica simmetrica ha una soluzione \(x_0\neq 0\) allora anche \(\frac{1}{x_0}\) è una soluzione della stessa equazione.

Per chi non lo ricordasse, un'equazione è simmetrica se il polinomio \(p(x)=a_Nx^N a_{N-1}x^{N-1}+\cdots +a_1x+a_0\) al primo membro ha coefficienti che soddisfano l'uguaglianza:
\[
a_n=a_{N-n}
\]
per \(n=0,\ldots ,N\) (e.g., \(x^4+2x^3+3x^2+2x+1\) oppure \(\pi x^5+e x^4+\sqrt{117} x^3+\sqrt{117} x^2+ e x +\pi\)).

[5mrkv]

Ok, grazie. Appena ho un po' di voglia ci provo.