Domanda su articolo trovato in rete
Salve,
ho trovato questo articolo http://maths-a.com/telecharger/banach-tarski.pdf. Non riesco a capire la definizione di c alla fine di pagina 2. Di sicuro si tratta di un'unione, ma con quella notazione non capisco quali siano gli insiemi dell'unione. Cosa indica n ad apice? Vorrei anche sapere se la espressione "G-set" che compare all'inizio dell'articolo ha qualche significato particolare o indica semplicemente un sottinsieme di G. Grazie.
ho trovato questo articolo http://maths-a.com/telecharger/banach-tarski.pdf. Non riesco a capire la definizione di c alla fine di pagina 2. Di sicuro si tratta di un'unione, ma con quella notazione non capisco quali siano gli insiemi dell'unione. Cosa indica n ad apice? Vorrei anche sapere se la espressione "G-set" che compare all'inizio dell'articolo ha qualche significato particolare o indica semplicemente un sottinsieme di G. Grazie.
Risposte
Se [tex]G[/tex] è un gruppo, e [tex]X[/tex] un insieme, dire che [tex]X[/tex] è un [tex]G[/tex]-insieme ([tex]G[/tex]-set) significa che è definita una azione di [tex]G[/tex] su [tex]X[/tex].
Ricordo che un gruppo agisce su un insieme se è definita una sorta di operazione (detta "azione") tra elementi dell'insieme e elementi del gruppo. In altri termini, se [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] appartengono a [tex]X[/tex] e [tex]g[/tex] è un elemento del gruppo [tex]G[/tex], dire che
[tex]g \cdot x = y[/tex]
Significa che l'elemento [tex]g[/tex] del gruppo manda [tex]x[/tex] in [tex]y[/tex]. Una azione deve soddisfare due prerequisiti: l'elemento neutro del gruppo deve comportarsi come l'identità, ossia [tex]1(x) = x[/tex] per ogni [tex]x[/tex], e deve valere una specie di legge associativa: [tex]g(h(x)) = (g*h)(x)[/tex], dove [tex]g[/tex] e [tex]h[/tex] sono elementi del gruppo, e [tex]*[/tex] è l'operazione di [tex]G[/tex].
Esempio: Immagina che [tex]G[/tex] sia il gruppo delle rotazioni dello spazio attorno all'asse z, e che [tex]X[/tex] sia la sfera centrata nell'origine. Un punto [tex]x[/tex] della sfera potrà dunque essere mandato in qualunque altro punto appartenente allo stesso "parallelo". (Si dice che quel parallelo è "l'orbita" di [tex]x[/tex]).
---
Per quanto riguarda la definizione di [tex]c[/tex], in effetti sembra un po' intricata. temo di non averla capita bene neanch'io. So dirti però che quell'[tex]n[/tex] ad apice sta probabilmente ad indicare l'iterata [tex]n[/tex]-esima della funzione. Quello che si sta facendo è prendere la funzione composta [tex]g ° f[/tex] (che va da [tex]a[/tex] in [tex]a'[/tex]), calcolare l'immagine di [tex]a \ a'[/tex] (dove il simbolo \ sta per sottrazione insiemistica, suppongo), fare lo stesso con le iterate successive [tex](g°f)^n[/tex] per ogni [tex]n[/tex], e fare l'unione di tutti i risultati.
Mi deve essere sfuggito qualcosa, perché secondo me già dalla seconda iterata la funzione ha dominio vuoto (visto che [tex]a'[/tex] è sottoinsieme di [tex]a[/tex]). Ammetto di aver sbirciato in fretta la pagina, dunque può darsi che mi sia sfuggito qualcosa. Se ci vengo a capo ti faccio sapere. Spero intanto di esserti stato un po' utile...
ciao!
Ricordo che un gruppo agisce su un insieme se è definita una sorta di operazione (detta "azione") tra elementi dell'insieme e elementi del gruppo. In altri termini, se [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] appartengono a [tex]X[/tex] e [tex]g[/tex] è un elemento del gruppo [tex]G[/tex], dire che
[tex]g \cdot x = y[/tex]
Significa che l'elemento [tex]g[/tex] del gruppo manda [tex]x[/tex] in [tex]y[/tex]. Una azione deve soddisfare due prerequisiti: l'elemento neutro del gruppo deve comportarsi come l'identità, ossia [tex]1(x) = x[/tex] per ogni [tex]x[/tex], e deve valere una specie di legge associativa: [tex]g(h(x)) = (g*h)(x)[/tex], dove [tex]g[/tex] e [tex]h[/tex] sono elementi del gruppo, e [tex]*[/tex] è l'operazione di [tex]G[/tex].
Esempio: Immagina che [tex]G[/tex] sia il gruppo delle rotazioni dello spazio attorno all'asse z, e che [tex]X[/tex] sia la sfera centrata nell'origine. Un punto [tex]x[/tex] della sfera potrà dunque essere mandato in qualunque altro punto appartenente allo stesso "parallelo". (Si dice che quel parallelo è "l'orbita" di [tex]x[/tex]).
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Per quanto riguarda la definizione di [tex]c[/tex], in effetti sembra un po' intricata. temo di non averla capita bene neanch'io. So dirti però che quell'[tex]n[/tex] ad apice sta probabilmente ad indicare l'iterata [tex]n[/tex]-esima della funzione. Quello che si sta facendo è prendere la funzione composta [tex]g ° f[/tex] (che va da [tex]a[/tex] in [tex]a'[/tex]), calcolare l'immagine di [tex]a \ a'[/tex] (dove il simbolo \ sta per sottrazione insiemistica, suppongo), fare lo stesso con le iterate successive [tex](g°f)^n[/tex] per ogni [tex]n[/tex], e fare l'unione di tutti i risultati.
Mi deve essere sfuggito qualcosa, perché secondo me già dalla seconda iterata la funzione ha dominio vuoto (visto che [tex]a'[/tex] è sottoinsieme di [tex]a[/tex]). Ammetto di aver sbirciato in fretta la pagina, dunque può darsi che mi sia sfuggito qualcosa. Se ci vengo a capo ti faccio sapere. Spero intanto di esserti stato un po' utile...
ciao!
Era la prima volta che scrivevo in questo forum e devo dire che la tua risposta ha soddisfatto completamente i dubbi che avevo.
Sembrerà strano, ma quella notazione e il significato annesso di iterata non li avevo mai visti prima d'ora. Dato che quella parte (la definizione di $ c $ ) era quella che mi "sollecitava" maggiormente avevo già rinunciato a risolvere da solo o con l'aiuto di chi usa la rete la questione (in effetti le risposte ottenute in altre pagine, in cui avevo chiesto il significato, non capisco perché, hanno sempre bypassato il discorso dell'iterata), senonché come ultima possibilità mi era venuta l'idea di cercare in rete mettendo come parola chiave "funzione composta" così, fortunatamente, su Wikipedia avevo trovato la tua stessa dritta (ero praticamente certo che l'n avesse un qualche significato a me occulto, tuttavia una cosa è effettuare una ricerca con chiave simbolica, un'altra è farne una in linguaggio puramente naturale: come riprodurre una notazione matematica che non sia una cifra o un $ + $ in un motore di ricerca? attualmente ignoro l'esistenza di qualche motore in grado di accettare formule in entrata) .
Per quanto riguarda il G-set" invece ho usato il tuo suggerimento or ora. Purtroppo ho letto un libro di algebra in cui quel concetto non compare. Avevo anche guardato su un altro testo (nell'indice analitico) ma niente; grazie al tuo suggerimento ho riguardato meglio e in effetti l'argomento è trattato nel capitolo sui gruppi (parla proprio di "G-insieme" ma - chissà perché? - non lo evidenzia nell'indice).
Il discorso che hai fatto sulla seconda iterata (che dovrebbe essere per $ n = 1 $) non mi è ben chiaro dato che il dominio, essendo $ a \\ a' $, risulta essere non vuoto se e solo se $ a' $ è sottoinsieme proprio di $ a $; in caso contrario non dovrebbe cambiare il discorso, in quanto la definizione di $ c $ resterebbe comunque posta (sarebbe l'insieme nullo). (e difatti $ a = a \\ c = g(b \\ f(c)) = g(b \\ O/ ) = g(b) = a' $). Se poi con "seconda iterata" intendevi $ (g @ f)((g @ f)(a \\ a')) $ per ogni $ n >= 2 $ il discorso credo sia analogo.
Ti ringrazio per la risposta e credo proprio che quando avrò nuovamente bisogno di qualche aiuto terrò ben presente le pagine di questo forum.
Sembrerà strano, ma quella notazione e il significato annesso di iterata non li avevo mai visti prima d'ora. Dato che quella parte (la definizione di $ c $ ) era quella che mi "sollecitava" maggiormente avevo già rinunciato a risolvere da solo o con l'aiuto di chi usa la rete la questione (in effetti le risposte ottenute in altre pagine, in cui avevo chiesto il significato, non capisco perché, hanno sempre bypassato il discorso dell'iterata), senonché come ultima possibilità mi era venuta l'idea di cercare in rete mettendo come parola chiave "funzione composta" così, fortunatamente, su Wikipedia avevo trovato la tua stessa dritta (ero praticamente certo che l'n avesse un qualche significato a me occulto, tuttavia una cosa è effettuare una ricerca con chiave simbolica, un'altra è farne una in linguaggio puramente naturale: come riprodurre una notazione matematica che non sia una cifra o un $ + $ in un motore di ricerca? attualmente ignoro l'esistenza di qualche motore in grado di accettare formule in entrata) .
Per quanto riguarda il G-set" invece ho usato il tuo suggerimento or ora. Purtroppo ho letto un libro di algebra in cui quel concetto non compare. Avevo anche guardato su un altro testo (nell'indice analitico) ma niente; grazie al tuo suggerimento ho riguardato meglio e in effetti l'argomento è trattato nel capitolo sui gruppi (parla proprio di "G-insieme" ma - chissà perché? - non lo evidenzia nell'indice).
Il discorso che hai fatto sulla seconda iterata (che dovrebbe essere per $ n = 1 $) non mi è ben chiaro dato che il dominio, essendo $ a \\ a' $, risulta essere non vuoto se e solo se $ a' $ è sottoinsieme proprio di $ a $; in caso contrario non dovrebbe cambiare il discorso, in quanto la definizione di $ c $ resterebbe comunque posta (sarebbe l'insieme nullo). (e difatti $ a = a \\ c = g(b \\ f(c)) = g(b \\ O/ ) = g(b) = a' $). Se poi con "seconda iterata" intendevi $ (g @ f)((g @ f)(a \\ a')) $ per ogni $ n >= 2 $ il discorso credo sia analogo.
Ti ringrazio per la risposta e credo proprio che quando avrò nuovamente bisogno di qualche aiuto terrò ben presente le pagine di questo forum.
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