Un'equazione di grado...2006!!!!

[Piera4]

Per rendere omaggio al nuovo anno che è ormai alle porte
ecco un quesito con una bella equazione di grado 2006 :

dimostrare che l’equazione
x^2006 + 2006 x + 2q = 0 ,con q intero dispari
non ha soluzioni intere.
SUGGERIMENTO :
ragionare per assurdo distinguendo due casi: 1) soluzione dispari, 2) soluzione pari…

L’equazione può ammettere soluzioni razionali?

[carlo232]

"Piera":Per rendere omaggio al nuovo anno che è ormai alle porte
ecco un quesito con una bella equazione di grado 2006 :

dimostrare che l’equazione
x^2006 + 2006 x + 2q = 0 ,con q intero dispari
non ha soluzioni intere.
SUGGERIMENTO :
ragionare per assurdo distinguendo due casi: 1) soluzione dispari, 2) soluzione pari…

L’equazione può ammettere soluzioni razionali?

Abbiamo

$x^2006+2006x=-2q$

quindi il primo membro deve essere pari, se x è dispari allora ciò è impossibile, quindi x è pari

$x=2k$

da cui

$(2)^2005 k^2006+2006k=-q$

ma ciò e impossibile perchè il primo membro è sicuramente pari, metre il secondo è dispari.

Ciao, spero di aver fatto giusto!

[carlo232]

"Piera":Per rendere omaggio al nuovo anno che è ormai alle porte
ecco un quesito con una bella equazione di grado 2006 :

dimostrare che l’equazione
x^2006 + 2006 x + 2q = 0 ,con q intero dispari
non ha soluzioni intere.
SUGGERIMENTO :
ragionare per assurdo distinguendo due casi: 1) soluzione dispari, 2) soluzione pari…

L’equazione può ammettere soluzioni razionali?

Sia $a/b$ con $MCD(a,b)=1$ una soluzione razionale, allora

$(a/b)^2006+2006(a/b)=-2q$

e

$a^2006+2006ab^2005=-2qb^2006$

quindi $a$ e sicuramente pari, $a=2c$

$2^2006c^2006+2006(2)b^2005c=-2qb^2006$

e

$2^2005c^2006+2006b^2005c=-qb^2006$

segue che $b$ è pari. Ma noi avevamo supposto $MCD(a,b)=1$, quindi l'equazione non ha soluzioni razionali.

Ciao, spero di non aver detto castronerie!

[Piera4]

Sia la prima che la seconda parte mi sembra giusta,
complimenti!
La seconda parte poteva essere risolta anche cosi:
è noto che in una equazione di grado n a coefficienti interi,
cioè del tipo an x^n +… + a1 x + a0 = 0,
le eventuali soluzioni razionali sono date dal rapporto
(divisori interi di a0) /( divisori interi di an).
Nel nostro caso an =1, da cui segue che le eventuali soluzioni
razionali sono intere , e dalla prima parte dell’esercizio sappiamo che questo non può accadere.

[carlo232]

"Piera":Sia la prima che la seconda parte mi sembra giusta,
complimenti!
La seconda parte poteva essere risolta anche cosi:
è noto che in una equazione di grado n a coefficienti interi,
cioè del tipo an x^n +… + a1 x + a0 = 0,
le eventuali soluzioni razionali sono date dal rapporto
(divisori interi di a0) /( divisori interi di an).
Nel nostro caso an =1, da cui segue che le eventuali soluzioni
razionali sono intere , e dalla prima parte dell’esercizio sappiamo che questo non può accadere.

Grazie, a volte è bello vedere che un teorema può essere dimostrato in più modi, la mia seconda dimostrazione penso sia molto semplice, un analogo della dimostrazione dell'irrazionalità di $sqrt(2)$.

Ciao, ciao!

[Mistral2]

"carlo23":[quote="Piera"]Sia la prima che la seconda parte mi sembra giusta,
complimenti!
La seconda parte poteva essere risolta anche cosi:
è noto che in una equazione di grado n a coefficienti interi,
cioè del tipo an x^n +… + a1 x + a0 = 0,
le eventuali soluzioni razionali sono date dal rapporto
(divisori interi di a0) /( divisori interi di an).
Nel nostro caso an =1, da cui segue che le eventuali soluzioni
razionali sono intere , e dalla prima parte dell’esercizio sappiamo che questo non può accadere.

Grazie, a volte è bello vedere che un teorema può essere dimostrato in più modi, la mia seconda dimostrazione penso sia molto semplice, un analogo della dimostrazione dell'irrazionalità di $sqrt(2)$.

Ciao, ciao! [/quote]

Le Vs. soluzioni sono perfette, quindi solo come citazione ricordo quanto sotto.

Fra i tanti Lemmi di Gauss che esistono ce ne uno che dice che se un polimonio è irriducibile in $ZZ[X]$, allora lo è anche in $QQ[X]$. Quindi se non ha radici in $ZZ$ non ne ha nemmeno in $QQ$.

Saluti

Mistral

PS il mio problema di Natale non se lo fila nessuno .