Unavoltaemmezzo

[axpgn]

Trovare il più piccolo numero naturale $N$ tale che se sposto la prima cifra in ultima posizione, il nuovo numero naturale $N'$ è pari ad una volta e mezzo il numero originale $N$.

(Es. se $N=1234$ allora $N'=2341$ ... ma non è questa la soluzione )


Cordialmente, Alex

[al_berto]

Bongiorno,
io direi che come esempio dovresti scrivere un numero (non il più piccolo) che moltiplicato per 1,5 sia uguale al secondo.
grazie.
aldo

[axpgn]

Beh, no ... non so neanche se ne esiste un altro ...

L'esempio era solo per chiarire (casomai ce ne fosse bisogno) il significato di spostare la prima cifra in fondo.

[Super Squirrel]

Ovviamente $n$ non può iniziare con $0$ ed inoltre dal momento che $n$ e $n'$ devono avere lo stesso numero di cifre, detta $n_1$ la prima cifra di $n$, si deduce che

$(3*n_1)/2<10=>n_1<20/3=>n_1<7$

Per trovare un eventuale $n$ che iniziasse con $1$, ho sviluppato (questa volta con carta e penna ) la seguente procedura: https://i.postimg.cc/npQ7cxVW/123456.png
Gli elementi in colonna rappresentano le cifre di $n+n/2=n'$, in rosso sono evidenziati i casi impossibili e in azzurro le cifre consecutive della probabile soluzione, la cui ricerca sarebbe terminata nel caso in cui avessi trovato una cifra di $n'$ uguale ad $1$ abbinata ad una cifra di $n$ pari. La soluzione è costituita quindi da $16$ cifre, le quali inoltre si ripetono ciclicamente.
A quel punto non restava che applicare lo stesso procedimento anche per $n$ che iniziasse con le altre cifre possibili, ma mi sono accorto che i punti di partenza (evidenziati dalle caselle azzurre) erano già presenti (escluso quello del $6$) nella sequenza appena trovata.
Applicando poi la stessa procedura anche con il $6$, si ricava immediatamente che $n$ non può iniziare con tale cifra.

Quindi la soluzione, dove ho evidenziato anche i punti di partenza per le altre cifre, dovrebbe essere:

[size=140]$ul(1).176.ul(4)70.ul(5)88.ul(2)ul(3)5.294$[/size]

Spero di non aver scritto troppe sciocchezze!

[axpgn]

@Super Squirrel

Non ho capito la tua procedura
Ovviamente è chiara nella tua testa ma non nella mia

Cordialmente, Alex

[Super Squirrel]

Domani con calma cerco di spiegarmi meglio, ma la soluzione è corretta?

[axpgn]

[veciorik]

[size=130]
$3 \ (p*10^n+x) \ = \ 2 \ (10x+p)$

$(3*10^n-2) \ p \ = \ 17x$

$p=1 \quad , \quad 3*10^n-2 equiv 0 \ mod 17$

$n=15$

$x=(3*10^15-2)/17=176470588235294$

$N=1.176.470.588.235.294$
[/size]

[axpgn]

Bravo!

Sostanzialmente è come la mia soluzione (ne conosco un'altra forse anche più carina ), però direi che $n=15$ viene dopo $x=(3*10^15-2)/17$
È la parte più lunga e "faticosa" trovare $n$

Cordialmente, Alex

P.S.: Bravo anche a Super Squirrel però mi deve spiegare il suo ragionamento

[Super Squirrel]

"axpgn":Non ho capito la tua procedura
Ovviamente è chiara nella tua testa ma non nella mia

n... = ABCD +
n/2 = EFGH =
----------------
n'.. = BCDA

Dove, per quanto detto prima, valori plausibili di $A$ sono $1,2,3,4,5,6$ e $D$ ovviamente deve essere pari.
La procedura si limita a ricostruire la suddetta addizione in colonna partendo da sinistra. Per esempio per $A=5$ si comincia da

5 +
2 =
----
7,8

dove $2=[5/2]$ e $7,8$ sono i due possibili risultati che tengono conto anche di un eventuale riporto proveniente da destra. Vado quindi a sviluppare i due casi

5 7 +
2 8 =
------
7 15,16

5 8 +
2 9 =
------
8 17,18

Dove ai secondi addendi $8=[17/2]$ e $9=[18/2]$ ($17$ e $18$ e non $7$ e $8$ perché $5$ è dispari). Facendo poi la somma, e tenendo conto dell'eventuale riporto, si deduce che il primo caso è impossibile. Si continua quindi con

8 +
9 =
----
7,8

e così via finché non non trovo una cifra di $n'$ pari a $5$ abbinata ad una cifra di $n$ pari.


Le soluzioni con il minor numero di cifre ($16$) sono quindi le seguenti

1.176.470.588.235.294
2.352.941.176.470.588
3.529.411.764.705.882
4.705.882.352.941.176
5.882.352.941.176.470

altre si possono ottenere affiancando più volte la stessa soluzione.

Spero sia chiaro adesso!

[veciorik]

"axpgn":

... però direi che $n=15$ viene dopo $x=(3*10^15-2)/17$ [highlight]... non capisco[/highlight]
È la parte più lunga e "faticosa" trovare $n$ [highlight]... "noiosa" se non usi strumenti quali WolframAlfa[/highlight]

per calcolare $n$ si divide per 17, con resto zero, da destra, un numero con una sequenza ignota di cifre $9$:

[tt]2999...9998/17 = .........4
-........68
........93./17 = ........9.
-......153.
.......84../17 = .......2..
-......34..
......95.../17 = ......5...
-.....85...
.....91..../17 = .....3....
-....51....
....94...../17 = ....2.....[/tt]

... eccetera ...

[axpgn]

Voglio dire che a priori non sai quanto vale $n$, che valga $15$ lo sai dopo aver fatto le divisioni, $28/17, 298/17, 2998/17, ...$ che si possono fare tranquillamente a mano senza scomodare Wolfram Alpha

Cordialmente, Alex

[Super Squirrel]

@axpgn

Non so se l'hai letto, ma nel precedente messaggio, visto che lo chiedevi, ho riportato un tentativo di spiegazione del ragionamento adottato.

[axpgn]

Sì, sì, l'ho visto (credevo di aver già commentato ), grazie per la spiegazione.
Più o meno ho capito, soprattutto concettualmente, tecnicamente faccio un po' più fatica a seguire gli "schemini"

Cordialmente, Alex