Un'altra diseguaglianza...

[vittorino70]

Siano \(\displaystyle x, y, z \) variabili positive tali che \(\displaystyle xyz=1 \)
Dimostrare che si ha:
\(\displaystyle (x+1)^2(y+1)^3(z+1)^4>4^4 \)

[Gaussman]

la generalizzazione di questo problema è l'imo 2 di quest'anno...l'idea è

$(x+1)^n=(x+1/(n-1)...+1/(n-1))^n\ge xn^n/((n-1)^(n-1))$ per la disuguaglianza tra media aritmetica e geometrica

[UmbertoM1]

Provo ad abbozzare un'inizio di soluzione, anche se non sono esperto di medie aritmetiche geometriche ed altri tipi di media.
Tu sai che $xyz=1$
$(x+1)(y+1)(z+1)=xyz+xy+xz+yz+x+y+z+1$
Dall'uguaglianza precedente ne ricavi che $(x+1)(y+1)(z+1)=1+1/x+1/y+1/z+x+y+z+1$
La somma $(x+1/x)$ è minimizzata (se $x>0$) quando $x=1$. Con lo stesso ragionamento deve essere $y=1$ e $z=1$ affinchè $(x+1)(y+1)(z+1)$ assuma il valore minimo, che in questo caso è $8$, cioè $2^3$
Perciò puoi scrivere $(x+1)(y+1)(z+1)>=2^3$

[Kashaman]

Carino.
Mmh vediamo, provo un'abbozzo , sicuramente errato ma va be

Direi innanzi tutto che ,
possiamo dire che $x^2y^3z^4=xyzxyzyz^2=yz^2<=(x+1)^2(y+3)^3(z+1)^4$(1)
Voglio ora dimostrare $2^4 < (x+1)^2(y+3)^3(z+1)^4$ (2)
Dalla uno e dalla due si evince che $yz^2<=2^4<(x+1)^2(y+3)^3(z+1)^4$.
Supponiamo che $yz^2=2^4 => z=4/(sqrty) (3)$
Poiché deve valere la relazione $xyz=1$ si verifica allora che tale relazione viene soddisfatta scegliendo $x=1/4 , y=1 ,z=4$.
Si vede allora facilmente che la disuguaglianza è provata

[UmbertoM1]

Ma così hai dimostrato solamente il caso in cui $x=1/4$; $y=1$ e $z=4$

[Kashaman]

Forse hai ragione chiedo venia.
Umberto, però nel tuo tentativo noto una certa imprecisione
Quando dici $(x+1/x)$ viene minimizzata se ($x>0$) da $x=1$ se $x in RR$ è falso.
Non esiste un valore minimo.
posso porre anche $x=0.00000000............................................01$ e mi rimane che sempre che $(x+1/x)>0$
Se invece si prendono $x,y,z$ in $ZZ^+\\{0}$ allora quello che hai scritto ha senso ed è giustificabile.
Dato che ci siamo
Ci riprovo, mi limito a considerare $x,y,z$ interi.

Supponiamo che $x,y,z in ZZ$, per ipotesi abbiamo che $xyz=x(yz)=1$ allora si deduce che $x^-1=yz$ ma allora $x$ è invertibile e poiché $x>0$ e gli unici elementi invertibili in $ZZ$ sono $1^^-1$ segue che $x=x^-1=1$.
Allo stesso modo abbiamo che $yz=1$ e si deduce che anche in questo caso $y=z=1$
Pertanto con le ipotesi date esiste un'unica terna papabile in $ZZ$ tale che quell'uguaglianza possa avere un senso è data da $(x,y,z)=(1,1,1)$
e poiché $(2)^2(2)^3(2)^4=2^9>4^4 =2^8$ la disuguaglianza risulta essere provata.

Per il caso generale allora coglierei al volo il suggerimento di Gaussmann
e farei così

Sappiamo che $AA k $ $(k+1)^n>=k(n^n/(n-1)^(n-1))$
Quindi , si ha che $(x+1)^2>=x(2^2/(2-1)^(2-1))$
$(y+1)^3>=y(3^3/(3-1)^(3-1))$
e $(z+1)>=z(4^4/(4-1)^(4-1)) $
supponiamo che in tutti e tre i casi vale l'uguaglianza allora
$(x+1)^2(y+1)^3(z+1)^4= xyz(4*(3^3)/4*4^4/3^3) =4^4$ (ove l'ultima uguaglianza è dovuta al fatto che $xyz=1$ per ipotesi), pertanto in generale si ha che
$(x+1)^2(y+1)^3(z+1)^4>=4^4$ (bel problema , complimenti a gaussman, non ci sarei arrivato,alla fine se si conosceva quella disuguaglianza era abbastanza semplice) Tuttavia continuerò a pensare ad una alternativa..

[UmbertoM1]

"Kashaman":
Quando dici $(x+1/x)$ viene minimizzata se ($x>0$) da $x=1$ se $x in RR$ è falso.
Non esiste un valore minimo.
posso porre anche $x=0.00000000............................................01$ e mi rimane che sempre che $(x+1/x)>0$

Invece è vero (e dimostrabile)

considera $f(x)=x+1/x$, la derivata prima si annulla in $x=1$, che è un punto di minimo locale.

Al contrario se $x$ tende a $0$ $(x+1/x)$ tende a $infty$

[UmbertoM1]

Io avevo pensato che quando $z>=x$, cioè $z+1>=x+1$
è facile verificare che $(x+1)^3(y+1)^3(z+1)^3*(z+1)>=2^9*(x+1)$ e quindi $(x+1)^2(y+1)^3(z+1)^4>=2^9>2^8$
Tuttavia è fin troppo evidente che l'espressione $(x+1)^2(y+1)^3(z+1)^4$ è minimizzata se $z

Cita

Segnala

[Kashaman]

hai ragione, sarà stata la stanchezza ieri, effettivamente c'è un minimo in $x=1$. Scusami.

[totissimus]

Si può fare anche cosi:

\( \displaystyle (1-x)^2=x^2-2x+1 \geq 0\) da cui \( \displaystyle x^2+1 \geq 2x\)

1) \( \displaystyle (x+1)^2=x^2+2x+1 \geq 2x+2x=4x\)

2) \( \displaystyle (y+1)^3 \geq (y+1)^2 \geq 4y\)

\( \displaystyle (z-1)^4=z^4-4z^3+6z^2-4z+1 \geq 0\) da cui \( \displaystyle z^4+6z^2+1 \geq 4z^3+4z=4z(z^2+1)\geq 4z(2z)=8z\)

3) \( \displaystyle (z+1)^4=z^4+4z^3+6z^2+4z+1 \geq 2(4z^3+4z)\geq 2(8z)=16z\)

adesso:

\( \displaystyle (x+1)^2(y+1)^3(z+1)^4 \geq (4x)(4y)(16z)=4^4 xyz=4^4\)

[UmbertoM1]

"totissimus":da cui \( \displaystyle z^4+6z^2+1 \geq 4z^3+4z=4z(z^2+1)\geq 4z(2z)=8z\)

Le tue intuizioni mi sembrano ottime, ma $4z(2z)=8z^2$. E se $z<1$ non è dimostrato che vale $(z+1)^4>=16z$

[totissimus]

Hai ragione: ho commesso un errore clamoroso. Capita. Rimedio con una soluzione alternativa:

\( \displaystyle f(y)=\frac{(1+y)^3}{y}\)

\( \displaystyle f'(y)=3 \frac{(1+y)^2}{y}-\frac{(1+y)^3}{y^2}=0\) per \( y=\frac{1}{2}\) e si tratta di un minimo assoluto per \( y>0\)

\(\displaystyle \frac{(1+y)^3}{y}=f(y) \leq 2 \left(1+\frac{1}{2}\right)^3=\frac{27}{4}\)

\( \displaystyle g(z)=\frac{(1+z)^4}{z}\)

\( \displaystyle g'(z)=4\frac{(1+z)^3}{z}-\frac{(1+z)^4}{z^2}=0\) per \( z=\frac{1}{3}\) e si tratta di un minimo assoluto per \( z>0\)

\( \displaystyle \frac{(1+z)^4}{z}=g(z) \leq 3 \left( 1+\frac{1}{3}\right)^4=\frac{4^4}{27}\)

\(\displaystyle (1+x)^2(1+y)^3(1+z)^4=\frac{(1+x)^2}{x}\frac{(1+y)^3}{y}\frac{(1+z)^4}{z}\leq 4 \frac{27}{4}\frac{4^4}{27}=4^4\).

Probabilmente si può ottenere il risultato in modo elementare.

[UmbertoM1]

Soluzione semplice e geniale, congratulazioni. Peccato che hai invertito $>=$ con $<=$
Tra l'altro con questo metodo si dimostra il caso generale proposto da Gaussman

[totissimus]

Correggo la svista

\( \displaystyle f(y)=\frac{(1+y)^3}{y}\)

\( \displaystyle f'(y)=3 \frac{(1+y)^2}{y}-\frac{(1+y)^3}{y^2}=0\) per \( y=\frac{1}{2}\) e si tratta di un minimo assoluto per \( y>0\)

\(\displaystyle \frac{(1+y)^3}{y}=f(y) \geq 2 \left(1+\frac{1}{2}\right)^3=\frac{27}{4}\)

\( \displaystyle g(z)=\frac{(1+z)^4}{z}\)

\( \displaystyle g'(z)=4\frac{(1+z)^3}{z}-\frac{(1+z)^4}{z^2}=0\) per \( z=\frac{1}{3}\) e si tratta di un minimo assoluto per \( z>0\)

\( \displaystyle \frac{(1+z)^4}{z}=g(z) \geq 3 \left( 1+\frac{1}{3}\right)^4=\frac{4^4}{27}\)

\(\displaystyle (1+x)^2(1+y)^3(1+z)^4=\frac{(1+x)^2}{x}\frac{(1+y)^3}{y}\frac{(1+z)^4}{z}\geq 4 \frac{27}{4}\frac{4^4}{27}=4^4\).