Una mano please!
Mi sono imbattuto in questi quesiti di cui non sono riuscito a trovare una risposta di cui sono sicuro al 100% (il primo non so come fare, del secondo ho una mezza idea ma non so come dimostrare che è esatta [:(!] ) eccoli:
1) In un cassetto rettangolare con dimensioni 286x186 mm è possibile collocare 16 lattine cilindriche aventi la stessa altezza del cassetto, ma se si aumenta, anche di poco, il diametro delle lattine, tale collocazionenon si può più fare. Trovare il diametro di base delle lattine.
2)In un campionato calcistico fra 2n squadre, alla fine del girone di andata, una squadra guida da sola la classifica. Quanti incontri può aver perso al massimo (Nota i punti assegnati alle squadre sono 3 in caso di vittoria, 1 in caso di pareggio e 0 in caso di sconfitta)
Grazie per l'aiuto
Ciao HoS-JuzamDjinn
1) In un cassetto rettangolare con dimensioni 286x186 mm è possibile collocare 16 lattine cilindriche aventi la stessa altezza del cassetto, ma se si aumenta, anche di poco, il diametro delle lattine, tale collocazionenon si può più fare. Trovare il diametro di base delle lattine.
2)In un campionato calcistico fra 2n squadre, alla fine del girone di andata, una squadra guida da sola la classifica. Quanti incontri può aver perso al massimo (Nota i punti assegnati alle squadre sono 3 in caso di vittoria, 1 in caso di pareggio e 0 in caso di sconfitta)
Grazie per l'aiuto
Ciao HoS-JuzamDjinn
Risposte
2) Provo il secondo ma nn sono sicuro...
Per massimizzare il numero di sconfitte, bisogna vincere tutte le altre partite. Ammettiamo quindi che la prima squadra A abbia vinto k partite e quindi ne abbia perso 2n-k-1. A possiede 3k punti.
Ammettiamo per ora che le partite tra le altre squadre si risolvano tutte in pareggio. Ogni squadra quindi prende (2n-2) punti, e contando le partite fatte prima abbiamo:
* (2n-1-k) squadre con 2n+1 punti;
* (k) squadre con 2n-2 punti;
se k >(2n+1)/3 siamo a posto quindi.
se invece fosse 2n+1>=3k delle squadre avrebbero punteggi maggiori di A e dobbiamo cambiare i risultati delle partite in cui A nn giocava che abbiamo supposto essere pareggi. Cambiare un pareggio in una vittoria (o sconfitta!) equivale a togliere un punto ad 1 ed a darne 2 ad un'altra. Per forza dobbiamo togliere i punti in eccesso alle (2n-1-k) squadre e giungere ad una situazione con tutti i punteggi =2n e qualche 2n+1 rimasto intatto (si osservi che
2n-k-2>k--> k < n-1/2 sempre verificata in questo caso!). Ora si vede che pure spostando qualche punteggio, esisterà sempre una squadra con punteggio maggiore di 2n+1 e quindi, nelle ipotesi, di 3k...[se qualcuno vuole formalizzare, nn me ne avrò a male!]. Quindi la risposta è (forse):
max sconfitte = 2n-[(2n+1)/3]..
dove con [x] si intende la parte intera di x..
Per massimizzare il numero di sconfitte, bisogna vincere tutte le altre partite. Ammettiamo quindi che la prima squadra A abbia vinto k partite e quindi ne abbia perso 2n-k-1. A possiede 3k punti.
Ammettiamo per ora che le partite tra le altre squadre si risolvano tutte in pareggio. Ogni squadra quindi prende (2n-2) punti, e contando le partite fatte prima abbiamo:
* (2n-1-k) squadre con 2n+1 punti;
* (k) squadre con 2n-2 punti;
se k >(2n+1)/3 siamo a posto quindi.
se invece fosse 2n+1>=3k delle squadre avrebbero punteggi maggiori di A e dobbiamo cambiare i risultati delle partite in cui A nn giocava che abbiamo supposto essere pareggi. Cambiare un pareggio in una vittoria (o sconfitta!) equivale a togliere un punto ad 1 ed a darne 2 ad un'altra. Per forza dobbiamo togliere i punti in eccesso alle (2n-1-k) squadre e giungere ad una situazione con tutti i punteggi =2n e qualche 2n+1 rimasto intatto (si osservi che
2n-k-2>k--> k < n-1/2 sempre verificata in questo caso!). Ora si vede che pure spostando qualche punteggio, esisterà sempre una squadra con punteggio maggiore di 2n+1 e quindi, nelle ipotesi, di 3k...[se qualcuno vuole formalizzare, nn me ne avrò a male!]. Quindi la risposta è (forse):
max sconfitte = 2n-[(2n+1)/3]..
dove con [x] si intende la parte intera di x..
Per il primo, prova a guardare nei quesiti delle vecchie gare di matematicamente...qualcosa di simile lo trovi di sicuro!
C'è qualcosa che non va nei tuoi conti.
max sconfitte = 2n-[(2n+1)/3]
prendo n=4 (8 squadre) allora max sconfitte=5 cioè vinco 2 partite k=2 con 3k=6 punti
supponendo che le altre squadre abbiano pareggiato le 2n-2=6 partite...
max sconfitte = 2n-[(2n+1)/3]
prendo n=4 (8 squadre) allora max sconfitte=5 cioè vinco 2 partite k=2 con 3k=6 punti
supponendo che le altre squadre abbiano pareggiato le 2n-2=6 partite...
Non solo nei conti, ma anche la sol nn è ben formalizzata (e ciò lascia spazio ad errori ed incertezze)... Grazie cmq per averlo notato. Così ad occhio,rivedendo cosa ho scritto, sembra manchi un (-2):
max sconfitte= 2n -[(2n+1)/3]- 2
ps: stò aspettando il Feynman: forse mi arriva lunedì in prestito da un amico!
ps2: la formula nn funzia per il caso n=1.
max sconfitte= 2n -[(2n+1)/3]- 2
ps: stò aspettando il Feynman: forse mi arriva lunedì in prestito da un amico!
ps2: la formula nn funzia per il caso n=1.
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