Una frazione

[axpgn]

Al fine di tenere occupata la classe per un po' di tempo, il maestro ha scritto una frazione sulla lavagna, chiedendo loro di ridurla ai minimi termini.
Nel costruire la frazione, egli ha seguito un certo schema, che gli permette di farla lunga quanto vuole e nel caso specifico si è fermato a dieci cifre al numeratore e altrettante al denominatore; sia l'uno che l'altro non terminanti con lo zero.
Dopo poco, mentre l'intera classe sta ancora lavorando, Pierino annuncia di aver già finito.
L'insegnante guarda il foglio e vede che la soluzione di Pierino è corretta.
Comunque, il maestro rimane "demoralizzato" nel notare che Pierino è arrivato alla soluzione semplicemente cancellando le cifre che comparivano sia al numeratore che al denominatore; ma non solo, l'alunno sarebbe arrivato alla risposta corretta con tale metodo anche se l'insegnante avesse continuato col suo schema nel costruire la sua frazione, aggiungendo altre cifre.

Qual è la frazione?


Cordialmente, Alex

[Folpo13]

$1111111111/1111111111$ vale?

[axpgn]

Premessa: spoiler, please

Eh, no ... se cancelli tutte le coppie "sopra/sotto" uguali ti rimane $0/0$ che non è una frazione valida

Cordialmente, Alex

[Folpo13]

Avevo capito male la domanda...

$
1/4=1/4$
$16/64=1/4$
$166/664=1/4$
$1666/6664=1/4$
$...
$

Ogni volta che aggiungo le cifre $6$ alla fine del numeratore e all'inizio del denominatore è come moltiplicare per $10$ e aggiungere $6$ al numeratore e moltiplicare per $10$ e aggiungere $24$ al denominatore:
$
1/4=(1\cdot10+6)/(4\cdot10+24)=1/4\cdot (10+6)/(10+6)
$

ogni "aggiunta" di $6$ fatta in questo modo è dunque moltiplicare per $(10+6)/(10+6)$ ossia per $1$

Il numero scritto dal professore è quindi

$1666666666/6666666664$ che è uguale a $1/4$

[Folpo13]

Ho trovato altri valori con cui funziona:
$2/5$
$26/65$
$266/665$
$...$

Dimostrazione: $2/5=(2\cdot10+6)/(5\cdot10+15)=2/5\cdot (10+3)/(10+3)$

$1/5$
$19/95$
$199/995$
$...$

Dimostrazione: $1/5=(1\cdot10+9)/(5\cdot10+45)=1/5\cdot (10+9)/(10+9)$

Edit:

I possibili risultati sono i 3 che ho trovato. Dimostrazione:

Supponiamo che la nostra frazione sia del tipo $text{abb...b}/text{bb...bc}=a/c$ (con $a$, $b$, $c$ diversi tra loro). Perché si verifichi la proprietà allora
$\{(a/c=(10a+b)/(10c+10(b-c)+c)),(a/c=b/(10(b-c)+c)):}$

Risolvendo il sistema si ottiene $c=(10ab)/(9a+b)$

Poi ho fatto un piccolo programma python (probabilmente si sarebbe potuto fare a mano con un po' di pazienza, ma mi è mancata la voglia), e ho trovato le soluzioni:
$(1, 6, 4)$, $(1, 9, 5)$, $(2, 6, 5)$ e $(4, 9, 8)$ che però dobbiamo escludere perché darebbe la funzione $4/8$ che è riducibile. Le possibili frazioni danno quindi $1/4$, $1/5$ e $2/5$ quindi le possibili risposte al quesito originale sono:

$1666666666/6666666664$, $1999999999/9999999995$ e $2666666666/6666666665$

[axpgn]

Perfetto!