Una corda attorno alla Terra

[axpgn]

Un quesito classico è quello della corda avvolta intorno alla Terra (supposta perfettamente sferica e avente una circonferenza equatoriale di 40.000 km); se volessimo alzarla ad un metro da terra (costante) di quanto dovremmo allungarla? La risposta (apparentemente) sorprendente è: solo $2pi$ metri.
Meno inflazionata è la versione dall'altro punto di vista: supposto di avere una corda lunga 40.000 km più un metro e di avvolgerla intorno all'Equatore tenendola ad un'altezza costante dal suolo, sarebbe distante a sufficienza dal terreno perchè ci passi un topo? Sicuramente, dato che sarebbe distante all'incirca 16 cm.
La terza versione è la seguente: avvolgiamo la nostra corda lunga 40.000 km più un metro attorno all'Equatore della nostra Terra perfettamente sferica e in un punto la tiriamo il più possibile verso l'alto (in figura, che non è nelle proporzioni corrette, l'idea di quello che intendo dire).

Quanto sarà distante da terra il punto più alto? Ovvero quanto vale $h$ in figura?
Prima di usare Wolfram per trovare la soluzione, provate a stimarla, a occhio

Cordialmente, Alex

[veciorik]

\(r=20*10^6/\pi \ m \quad \) \(\quad \pi\simeq3\)
\(0.5/r=\tan(\theta)-\theta \simeq\theta ^3 / 3 \quad \rightarrow \quad \theta \simeq .006 \)
\((1+h/r)^2=1^2+\tan(\theta)^2 \quad \rightarrow \quad 1+2h/r \simeq 1+\theta^2 \quad \rightarrow \quad h\simeq r\theta^2/2\simeq 120 \ m\)

[veciorik]

Con Wolfram:

$h=121.43$ metri

[Bokonon]

Senza far conti, 0 Considerando che l'angolo che si forma tirando la corda sarà vicino a $pi$, direi che h sarà un valore assai vicino a zero

P.S. Scordavo il commento pedante...va specificato che la corda non è elastica

[axpgn]

@veciorik

A me viene $121,51\text( m )$ usando Excel come supporto per i calcoli.
Credo di aver seguito una strada simile alla tua anche se non ho capito alcune cose, per esempio da dove viene $theta^3/3$?

@Bokonon

Fai considerazioni corrette ma la conclusione è errata

"Bokonon":P.S. Scordavo il commento pedante...va specificato che la corda non è elastica

Oh, certamente ... e chissà quante altre specificazioni andrebbero fatte ...

Cordialmente, Alex

[veciorik]

Con le stesse formule approssimate, ma con più decimali (calcolatrice di Windows 7):

\(r=20*10^6/\pi \ m \quad \)
\(0.5/r=\tan(\theta)-\theta \simeq\theta ^3 / 3 \quad\) = secondo termine dello sviluppo in serie \(\rightarrow \quad \theta \simeq .0061765.... \)
\((1+h/r)^2=1^2+\tan(\theta)^2 \quad \rightarrow \quad 1+2h/r \simeq 1+\theta^2 \quad \rightarrow \quad h\simeq r\theta^2/2\simeq 121.429.... \ m\)

Con WolframAlpha:

\(0.5/r=t-\arctan(t) \quad \rightarrow \quad t = 0.00617647 \)
\((1+h/r)^2=1^2+t^2 \quad \rightarrow \quad h=r (\sqrt{1+t^2}-1) = 121.43018... \)

[Bokonon]

@axpgn

In effetti il triangolo isoscele di lato 1/2 si solleva...e non poco...grazie al pezzo di circonferenza stesa.
Quindi h diventa piuttosto grande (vista la circonferenza della terra).

Però non mi tornano i vostri conti.


AB è la porzione di circonferenza stesa (l'arco) + mezzo metro e deve essere tangente alla terra.

$R=20000/pi$
$tan(k)=(AB)/(CB)=1/(2R)+k=pi/40000+k$ con $0 Risolvendo si ottiene $k=0,061733$

$cos(k)=(BC)/(AC)=R/(R+h)$ da cui $h=R/cos(k)-R=20000/(picos(k))-20000/k=12,15 km$

Magari oggi è una brutta giornata ma non vedo dove sbaglio.


P.S. Ops non ho convertito in metri, LOL. meglio se continuo a guardarmi la diretta.
Dopo converto in metri...

[axpgn]

@Bokonon

Il problema è che ti sei perso uno zero in $k$ … e in effetti dipende solo dalla mancata conversione in metri …

[Bokonon]

@axpgn
(Calcolo corretto)

In effetti il triangolo isoscele di lato 1/2 si solleva...e non poco...grazie al pezzo di circonferenza stesa.
Quindi h diventa piuttosto grande (vista la circonferenza della terra).


AB è la porzione di circonferenza stesa (l'arco) + mezzo metro e deve essere tangente alla terra.

$R=20000000/pi metri$
$tan(k)=(AB)/(CB)=1/(2R)+k=pi/40000000+k$ con $0 Risolvendo si ottiene $k=0,00618$

$cos(k)=(BC)/(AC)=R/(R+h)$ da cui $h=R/cos(k)-R=20000000/(picos(k))-20000000/k=121,57 m$

[axpgn]

La cosa buffa è che concordiamo sui metri ma i centimetri …

Visto il problema "classico" rimane "sorprendente" la soluzione così "lunga" e pure il fatto che aumentando il raggio, aumenta anche $h$ ... o no ?

Tra l'altro il cateto tangente è lungo quasi $40\text( km)$, non male ...

Cordialmente, Alex

[Bokonon]

@Alex

In effetti non deve sorprendere. All'inizio avevo visualizzato rapidamente solo il triangolino e tenevo il resto del lato costante, quando invece la corda "stesa" contribuisce assai ad accrescere il lato del triangolo e quindi a sollevare il triangolino di lato 1/2.
E il suo contributo cresce proporzionalmente al raggio.

[axpgn]

@Bokonon

"Bokonon":In effetti non deve sorprendere. …

Sì, certo, come d'altronde anche nel problema classico non deve sorprendere che la corda si allunghi così poco, come appunto si dimostra facilmente.
Ma di primo acchito in entrambi i casi la misura della soluzione non è così intuitiva (come d'altra parte hai visto tu stesso )

Cordialmente, Alex

[Bokonon]

@Alex

Oh no, non è intuitivo e mi è piaciuto assai!
Grazie Alex

[veciorik]

"axpgn":La cosa buffa è che concordiamo sui metri ma i centimetri …

Non è buffo se Bokonon ha espresso l'altezza con 5 cifre dopo aver arrotondato l'arco alla terza cifra.
Ho sbagliato anch'io quando ho scritto l'altezza con 8 cifre: dovevo fermarmi alla sesta, o alla quinta per prudenza.
Per curiosità ho rifatto i calcoli con Wolfram in precisione 20: come prevedibile, il mio risultato precedente era corretto fino alla sesta cifra, dopo no.

[axpgn]

Era una battuta

Penso sia normale che ci siano differenze a questo livello di dettaglio se si usano strumenti diversi …

Piuttosto, qualcuno può dimostrare che all'aumentare del raggio, la distanza $h$ aumenti sempre?
Perché il raggio aumenta ma l'angolo tende a zero, mi sembra un caso di "zero x infinito", quindi chi vince?

Cordialmente, Alex

[veciorik]

Usando le formule approssimate si calcola facilmente che l'altezza varia con la radice cubica del raggio: moltiplicando il raggio per 1000 l'altezza decuplica.

[axpgn]

Thank you

[ghira1]

Colin Wright ha fatto un'intera serie di articoli su variazioni su questo problema. Comincia qui https://www.solipsys.co.uk/new/TheOther ... Earth.html

[axpgn]

Ma quando lo hai postato questo che me lo sono perso ? Interessante

[ghira1]

"axpgn":Ma quando lo hai postato questo che me lo sono perso ?

Io? A quanto pare, il 13.

[axpgn]

La data l'ho vista ma a me è comparso giorni dopo … come anche il thread a cui ha risposto superpippone ieri sera … mah …