Un giardino da innaffiare
In attesa dell'inizio della gara propongo un altro problema geometrico.
Un giardino ha la forma di un settore circolare di ampiezza 90° e raggio 10 m. Per innaffiarlo dobbiamo usare due innaffiatori circolari. Trovare il raggio minimo degli innaffiatori.
Un giardino ha la forma di un settore circolare di ampiezza 90° e raggio 10 m. Per innaffiarlo dobbiamo usare due innaffiatori circolari. Trovare il raggio minimo degli innaffiatori.
Risposte
Bravo WonderP!
La tua soluzione è corretta.
La tua soluzione è corretta.
Per WonderP.
Sono curioso di sapere se hai risolto il problema numericamente o analiticamente, cioè se hai trovato la soluzione reale che è:
r = 10 * sqrt(8*sqrt(2) - 11) = 5,600968....m.
Sono curioso di sapere se hai risolto il problema numericamente o analiticamente, cioè se hai trovato la soluzione reale che è:
r = 10 * sqrt(8*sqrt(2) - 11) = 5,600968....m.
Se è possibile, la mia soluzione è una via di mezzo, cioè prima ho trovato le formule per l’area esplicita secondo due incognite (l’angolo OA rispetto all’orizzontale e l’ordinata del centro dell’innaffiatoio centrale). Ho imposto che il raggio di questo fosse uguale al raggio del cerchio circoscritto al triangolo ABC.
Invece di risolvere il problema analiticamente a questo punto mi sono affidato alla forza bruta del risolutore di Excel.
Non sono bravo a sviluppare i sistemi, ad esempio per il problema dell’auditorium riproposto da shuty ho utilizzato le tue formule.
WonderP.
Invece di risolvere il problema analiticamente a questo punto mi sono affidato alla forza bruta del risolutore di Excel.
Non sono bravo a sviluppare i sistemi, ad esempio per il problema dell’auditorium riproposto da shuty ho utilizzato le tue formule.
WonderP.
Ho trovato la soluzione analitica.
Ho mandato il file ad Antonio perche' non riesco ad "impastarlo" nel forum.
Ho mandato il file ad Antonio perche' non riesco ad "impastarlo" nel forum.
Questo e' il link con la soluzione analitica:
https://www.matematicamente.it/giochi/semic_analit.pdf
https://www.matematicamente.it/giochi/semic_analit.pdf
Per Shuty.
Ho letto la tua soluzione e mi sembra corretta.
Io ho risolto il problema in modo più semplice.
Ho utilizzato il piano cartesiano ponendo il raggio del semicerchio uguale a 1.
Ho scelto come variabile la distanza (d) tra il centro del semicerchio (origine) e il punto di intersezione dei due cerchi sull'asse x.
Ho imposto le condizioni di intersezione tra i due cerchi e il semicerchio e, dopo alcuni passaggi algebrici, ho trovato, in forma esplicita, la relazione che lega il raggio dei cerchi alla variabile d.
Essa è $ r = sqrt((1 - d + 2d^2)/(3 - d))$.
La derivata prima si annulla per $d = 3 - 2*sqrt(2)$ a cui corrisponde il raggio minimo cercato.
Ho letto la tua soluzione e mi sembra corretta.
Io ho risolto il problema in modo più semplice.
Ho utilizzato il piano cartesiano ponendo il raggio del semicerchio uguale a 1.
Ho scelto come variabile la distanza (d) tra il centro del semicerchio (origine) e il punto di intersezione dei due cerchi sull'asse x.
Ho imposto le condizioni di intersezione tra i due cerchi e il semicerchio e, dopo alcuni passaggi algebrici, ho trovato, in forma esplicita, la relazione che lega il raggio dei cerchi alla variabile d.
Essa è $ r = sqrt((1 - d + 2d^2)/(3 - d))$.
La derivata prima si annulla per $d = 3 - 2*sqrt(2)$ a cui corrisponde il raggio minimo cercato.
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