Un giardino da innaffiare
In attesa dell'inizio della gara propongo un altro problema geometrico.
Un giardino ha la forma di un settore circolare di ampiezza 90° e raggio 10 m. Per innaffiarlo dobbiamo usare due innaffiatori circolari. Trovare il raggio minimo degli innaffiatori.
Un giardino ha la forma di un settore circolare di ampiezza 90° e raggio 10 m. Per innaffiarlo dobbiamo usare due innaffiatori circolari. Trovare il raggio minimo degli innaffiatori.
Risposte
Do' la mia soluzione, un po' di corsa non avendo molto tempo,
non so se e' la minima assoluta, diciamo che e' la mia minima.
Ho diviso il giardino in due con una bisettrice, ho preso in considerazione i due triangoli inscritti ai settori cosi' ottenuti
e calcolato il raggio del circonferenza circoscritta:
R = sqrt( (r/2)^2 + (r/2 * cos(pg/8) )^2 ) = 6.81 metri (circa)
Gli innaffiatoio messi nei circocentri dovrebbero coprire l'intero
settore di competenza essendo il raggio R minore di quello del
giardino e quindi con una curvatura piu' accentuata.
Drake53
non so se e' la minima assoluta, diciamo che e' la mia minima.
Ho diviso il giardino in due con una bisettrice, ho preso in considerazione i due triangoli inscritti ai settori cosi' ottenuti
e calcolato il raggio del circonferenza circoscritta:
R = sqrt( (r/2)^2 + (r/2 * cos(pg/8) )^2 ) = 6.81 metri (circa)
Gli innaffiatoio messi nei circocentri dovrebbero coprire l'intero
settore di competenza essendo il raggio R minore di quello del
giardino e quindi con una curvatura piu' accentuata.
Drake53
r=10/sqrt(2+sqrt(2))
Non ho però provato che sia la soluzione minima.
Ciao a tutti.
Non ho però provato che sia la soluzione minima.
Ciao a tutti.
Scusa matrix, potresti dire dove li hai messi ?
drake
drake
Certo.
Considera il segmento che biseca il settore circolare. Imponi 1) che tale segmento sia corda comune ai due cerchi innaffiatoi; 2) che i due cerchi passino per i vertici dei due "semisettori" (un cerchio per ogni vertice che non appartiene alla corda comune). Il raggio r di questi due cerchi è funzione del raggio R del settore : r=(R/2)/cos(pigreco/8))=10/sqrt(2+sqrt(2))=5.412...m.
Ripeto : non ho dimostrato che questo è un valore minimo (ma sono fiducioso nella possibilità di farlo). La simmetria del problema penso -ma posso sbagliarmi- non permetta altre soluzioni.
Ciao.
..:: MatriX ::..
Considera il segmento che biseca il settore circolare. Imponi 1) che tale segmento sia corda comune ai due cerchi innaffiatoi; 2) che i due cerchi passino per i vertici dei due "semisettori" (un cerchio per ogni vertice che non appartiene alla corda comune). Il raggio r di questi due cerchi è funzione del raggio R del settore : r=(R/2)/cos(pigreco/8))=10/sqrt(2+sqrt(2))=5.412...m.
Ripeto : non ho dimostrato che questo è un valore minimo (ma sono fiducioso nella possibilità di farlo). La simmetria del problema penso -ma posso sbagliarmi- non permetta altre soluzioni.
Ciao.
..:: MatriX ::..
drake53, la tua soluzione geometrica coincide con quella di matrix, solo che nella tua formula
c'è un lapsus: avresti dovuto scrivere *tan(pg/8) invece di *cos(pg/8)
e, a questo punto sei all' (r/2)/cos(pg/8) di matrix.
tony
*quote:
R = sqrt( (r/2)^2 + (r/2 * cos(pg/8) )^2 )
c'è un lapsus: avresti dovuto scrivere *tan(pg/8) invece di *cos(pg/8)
e, a questo punto sei all' (r/2)/cos(pg/8) di matrix.
tony
La soluzione trovata da drake 53 e matrix non è la migliore.
Ho migliorato la mia soluzione:
r=(R/2)/cos(pi/12)=2*R/(sqrt(6)+sqrt(2))=5.176...m
Qualche indicazione:
Fissiamo un sistema Oxy nel centro del settore circolare, orientando gli assi come i lati del settore.
Indichiamo con R il raggio del settore e con r il raggio degli innaffiatoi.
Il centro I del 1° innaffiatoio ha coord. [(R/2)*tg(pi/12);5]
Il centro I' del 2° innaffiatoio ha coord. [R*tg(pi/12)+r/sqrt(2);r/sqrt(2)]
I centri I e I' dei due innaffiatoi distano II'=r=5.176...m
..:: MatriX ::..
r=(R/2)/cos(pi/12)=2*R/(sqrt(6)+sqrt(2))=5.176...m
Qualche indicazione:
Fissiamo un sistema Oxy nel centro del settore circolare, orientando gli assi come i lati del settore.
Indichiamo con R il raggio del settore e con r il raggio degli innaffiatoi.
Il centro I del 1° innaffiatoio ha coord. [(R/2)*tg(pi/12);5]
Il centro I' del 2° innaffiatoio ha coord. [R*tg(pi/12)+r/sqrt(2);r/sqrt(2)]
I centri I e I' dei due innaffiatoi distano II'=r=5.176...m
..:: MatriX ::..
vedo che arrivo in ritardo, ma, visto che l'avevo preparata, la spedisco lo stesso.
Ciao a tutti.
Io trovo una soluz. con raggio 5.17638, ammettendo che i due irrigatori debbano essere identici.
La pianta è analoga a quella di matrix e drake53, ma il primo cerchio è posto più in basso, evitando sprechi sul lato diritto.
Le posizioni dei centri sono circa: C1(5, 1.34) , C2(3.66, 6.34); C1 è posto su una retta a 15 gradi (Pi/12) dal lato 'orizzontale' del giardino, invece dei 22.5 (Pi/8) di matrix e drake53.
L?intersez. col cerchio è a 30 gradi invece dei loro 45, e col lato 'verticale' a 2.68 m dall'angolo.
Chissà se è la soluzione minima.
La simmetria è una cattiva consigliera, come lo è stata (per me) nel gioco 'la vena d'oro'.
Tony
*Edited by - tony on 13/11/2003 06:48:24
Ciao a tutti.
Io trovo una soluz. con raggio 5.17638, ammettendo che i due irrigatori debbano essere identici.
La pianta è analoga a quella di matrix e drake53, ma il primo cerchio è posto più in basso, evitando sprechi sul lato diritto.
Le posizioni dei centri sono circa: C1(5, 1.34) , C2(3.66, 6.34); C1 è posto su una retta a 15 gradi (Pi/12) dal lato 'orizzontale' del giardino, invece dei 22.5 (Pi/8) di matrix e drake53.
L?intersez. col cerchio è a 30 gradi invece dei loro 45, e col lato 'verticale' a 2.68 m dall'angolo.
Chissà se è la soluzione minima.
La simmetria è una cattiva consigliera, come lo è stata (per me) nel gioco 'la vena d'oro'.
Tony
*Edited by - tony on 13/11/2003 06:48:24
Concordo con Tony circa la simmetria .... in ogni caso aspettiamo il parere di MaMo.
Ciao a tutti.
..:: MatriX ::..
Ciao a tutti.
..:: MatriX ::..
La risposta di matrix e tony è uguale a quella da me trovata anche se non posso dimostrare che sia la migliore.
Per mettere ulteriormente alla prova la vostra abilità propongo la seguente variante del problema:
Un giardino ha la forma di un semicerchio di raggio 10 m. Per innaffiarlo dobbiamo usare tre innaffiatori circolari uguali.
Trovare il raggio minimo degli innaffiatori.
Per mettere ulteriormente alla prova la vostra abilità propongo la seguente variante del problema:
Un giardino ha la forma di un semicerchio di raggio 10 m. Per innaffiarlo dobbiamo usare tre innaffiatori circolari uguali.
Trovare il raggio minimo degli innaffiatori.
La mia soluzione:
r=R/[sen(pi/8)+2sen(pi/4)]=5.565...m
dove R è il raggio del settore ed r il raggio degli innaffiatoi
Qualche indicazione:
Fissiamo un sistema Oxy nel centro del settore circolare in modo che l'asse y sia di simmetria.
Il centro I del 1° innaffiatoio si trova sull'asse y ed ha coord. [0;r*cos(pi/8)]
Il centro I' del 2° innaffiatoio ha coord. [r(sen(pi/8)+sen(pi/4));r*sen(pi/4)]
Il 3° innaffiatoio è il simmetrico del 2° rispetto all'asse y.
..:: MatriX ::..
r=R/[sen(pi/8)+2sen(pi/4)]=5.565...m
dove R è il raggio del settore ed r il raggio degli innaffiatoi
Qualche indicazione:
Fissiamo un sistema Oxy nel centro del settore circolare in modo che l'asse y sia di simmetria.
Il centro I del 1° innaffiatoio si trova sull'asse y ed ha coord. [0;r*cos(pi/8)]
Il centro I' del 2° innaffiatoio ha coord. [r(sen(pi/8)+sen(pi/4));r*sen(pi/4)]
Il 3° innaffiatoio è il simmetrico del 2° rispetto all'asse y.
..:: MatriX ::..
Per matrix.
La tua soluzione è sbagliata in quanto i tre cerchi così disposti non coprono completamente il semicerchio. Per verificarlo puoi rappresentare graficamente le tre circonferenze e il semicerchio con un programma computer grafica.
La tua soluzione è sbagliata in quanto i tre cerchi così disposti non coprono completamente il semicerchio. Per verificarlo puoi rappresentare graficamente le tre circonferenze e il semicerchio con un programma computer grafica.
Ciao a tutti.
Se il proprietario del fondo confinante a nord mi consente di piazzare il secondo innaffiatore nel suo terreno, sulla mezzeria del mio semicerchio, a circa 1.54 dal confine (cioè a 2r dalla base), peggioro l'offerta di matrix con:
r = R/(2*cos(pi/6)) = 5.7735...
Il centro del primo è a (R/2, R/(2*tan(pi/6)) = 2.886...)
quello del terzo è simmetrico.
La tassellatura è quella a triangoli equilateri, con un lato parallelo all'asse y; lo spreco d'acqua è enorme.
Se invece il vicino fa il duro, per ora non so che pesci pigliare.
tony
Se il proprietario del fondo confinante a nord mi consente di piazzare il secondo innaffiatore nel suo terreno, sulla mezzeria del mio semicerchio, a circa 1.54 dal confine (cioè a 2r dalla base), peggioro l'offerta di matrix con:
r = R/(2*cos(pi/6)) = 5.7735...
Il centro del primo è a (R/2, R/(2*tan(pi/6)) = 2.886...)
quello del terzo è simmetrico.
La tassellatura è quella a triangoli equilateri, con un lato parallelo all'asse y; lo spreco d'acqua è enorme.
Se invece il vicino fa il duro, per ora non so che pesci pigliare.
tony
Il proprietario consente .... ma la tua soluzione non è la migliore.
Inattendibile quel proprietario!
Diceva di consentire, ma, quando ha visto l'aggeggio e tutta l'acqua che ne usciva, ha torto il muso; e io ho ritirato l'innaffiatore 2 ponendolo proprio sul confine.
Ma è stato un bene: mi sono accorto che c'era parecchia sovrapposizione tra le aree dei due innaffiatori, e allora ne ho pian piano ridotto il raggio, regolando anche la posiz. del primo.
Morale: raggio 5.689 m; posiz. primo innaff. (5, 2.711); posiz. secondo (0, 10); terzo simmetrico al primo.
Ho trovato la soluz. con tentativi sistematici, come per il quesito omonimo della gara; chissà se l'ho azzeccata.
tony
*Edited by - tony on 15/11/2003 12:36:18
Diceva di consentire, ma, quando ha visto l'aggeggio e tutta l'acqua che ne usciva, ha torto il muso; e io ho ritirato l'innaffiatore 2 ponendolo proprio sul confine.
Ma è stato un bene: mi sono accorto che c'era parecchia sovrapposizione tra le aree dei due innaffiatori, e allora ne ho pian piano ridotto il raggio, regolando anche la posiz. del primo.
Morale: raggio 5.689 m; posiz. primo innaff. (5, 2.711); posiz. secondo (0, 10); terzo simmetrico al primo.
Ho trovato la soluz. con tentativi sistematici, come per il quesito omonimo della gara; chissà se l'ho azzeccata.
tony
*Edited by - tony on 15/11/2003 12:36:18
Per tony.
Vi è ancora un certo margine di miglioramento.
Indizio: abbassa ancora il centro del cerchio centrale.
Esiste comunque una soluzione analitica che ti permette di determinare il raggio minimo.
Vi è ancora un certo margine di miglioramento.
Indizio: abbassa ancora il centro del cerchio centrale.
Esiste comunque una soluzione analitica che ti permette di determinare il raggio minimo.
Ho cannato ancora!
Grazie dell'indizio.
con questo terzo tentativo trovo un r=5.679969 con xC1=5, yC1=2.69482, xC2=0, yC2=9.77879
Ma:
1 - non son sicuro che sia ottima
2 - non c'è gusto col mio barbaro sistema brutale, specie da quando hai detto che c'è una via analitica.
Sotto, allora, per il prossimo tentativo! (sono molto arrugginito, con tutta quest'umidità)
tony
Grazie dell'indizio.
con questo terzo tentativo trovo un r=5.679969 con xC1=5, yC1=2.69482, xC2=0, yC2=9.77879
Ma:
1 - non son sicuro che sia ottima
2 - non c'è gusto col mio barbaro sistema brutale, specie da quando hai detto che c'è una via analitica.
Sotto, allora, per il prossimo tentativo! (sono molto arrugginito, con tutta quest'umidità)
tony
Ecco la mia soluz. analitica, che migliora di un po? quella empirica già inviata:
siano:
O centro del campo; R raggio del campo
C1 centro del primo innaffiatore [per intenderci, quello circa a (5, 2.7)]
alfa anomalia di C1
P2 intersez. tra la circonf. del cerchio 1 e il confine del campo [quella circa a (5.5, 8.5)]
C2 centro del secondo innaffiatore [quello circa a (0, 10)]
r raggio degli innaffiatori = R/(2*cos(alfa))
schizzando una soluz. si nota che:
xP2 = R*cos(alfa)+cos(3*alfa))/(2*cos(alfa))
yP2 = R*(sin(alfa)+sin(3*alfa))/(2*cos(alfa))
imponendo che la circonf. del cerchio 2 passi per P2 e che yC2 = yP2
si ha
xP2=r ==> R*(cos(alfa)+cos(3*alfa))/(2*cos(alfa)) = R/(2*cos(alfa))
cioè
cos(alfa)+cos(3*alfa)=1 ==> 4*cos(alfa)^3-2*cos(alfa)-1=0
equaz. di terzo grado che, risolta, dà
cos(alfa) = [1/8 + sqr(1/64 - 1/216)]^(1/3) + [1/8 - sqr(1/64 - 1/216)]^(1/3)
da cui:
alfa = 27.79... gradi
yC1= 2.635... m
r = 5.652... m
yC2 = 8.249...m
tony
siano:
O centro del campo; R raggio del campo
C1 centro del primo innaffiatore [per intenderci, quello circa a (5, 2.7)]
alfa anomalia di C1
P2 intersez. tra la circonf. del cerchio 1 e il confine del campo [quella circa a (5.5, 8.5)]
C2 centro del secondo innaffiatore [quello circa a (0, 10)]
r raggio degli innaffiatori = R/(2*cos(alfa))
schizzando una soluz. si nota che:
xP2 = R*cos(alfa)+cos(3*alfa))/(2*cos(alfa))
yP2 = R*(sin(alfa)+sin(3*alfa))/(2*cos(alfa))
imponendo che la circonf. del cerchio 2 passi per P2 e che yC2 = yP2
si ha
xP2=r ==> R*(cos(alfa)+cos(3*alfa))/(2*cos(alfa)) = R/(2*cos(alfa))
cioè
cos(alfa)+cos(3*alfa)=1 ==> 4*cos(alfa)^3-2*cos(alfa)-1=0
equaz. di terzo grado che, risolta, dà
cos(alfa) = [1/8 + sqr(1/64 - 1/216)]^(1/3) + [1/8 - sqr(1/64 - 1/216)]^(1/3)
da cui:
alfa = 27.79... gradi
yC1= 2.635... m
r = 5.652... m
yC2 = 8.249...m
tony
Per Tony.
Quello che tu hai trovato è il raggio minimo dei cerchi nel caso che solo due di essi coprano la base del semicerchio....ma essa non è la soluzione migliore.
Secondo indizio: adesso ti aspetta la parte più impegnativa perchè devi trovare il raggio minimo dei cerchi nel caso che la base del semicerchio sia coperta dai tre cerchi.
Buon lavoro.
Quello che tu hai trovato è il raggio minimo dei cerchi nel caso che solo due di essi coprano la base del semicerchio....ma essa non è la soluzione migliore.
Secondo indizio: adesso ti aspetta la parte più impegnativa perchè devi trovare il raggio minimo dei cerchi nel caso che la base del semicerchio sia coperta dai tre cerchi.
Buon lavoro.
Sono stato fuori qualche giorno e mi sono perso questo problema, ho provato a risolverlo e a me risulta:
r = 5.601 m
L’innaffiatore centrale ha coordinate (0 ; 5.332) questo interseca il diametro del giardino nel punto B di coordinate ( 1.716 ; 0) ed il semicerchi nel punto A di coordinate (4.142 ; 9.102), gli innaffiatoi laterali intersecano questi due punti e quello più esterno C (10 ; 0) .
Per controllo:
a = angolo di OA rispetto all’orizzontale = 1.144 rad
AB = 9.420 m
Angolo ACB = Pi/2-a/2 (angoli al centro e alla circonferenza)
2r = AB/sen(Pi/2-a/2)
Si può controllare che i conti tornano.
WonderP.
r = 5.601 m
L’innaffiatore centrale ha coordinate (0 ; 5.332) questo interseca il diametro del giardino nel punto B di coordinate ( 1.716 ; 0) ed il semicerchi nel punto A di coordinate (4.142 ; 9.102), gli innaffiatoi laterali intersecano questi due punti e quello più esterno C (10 ; 0) .
Per controllo:
a = angolo di OA rispetto all’orizzontale = 1.144 rad
AB = 9.420 m
Angolo ACB = Pi/2-a/2 (angoli al centro e alla circonferenza)
2r = AB/sen(Pi/2-a/2)
Si può controllare che i conti tornano.
WonderP.
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