Tris
Faccio una partita tris (o Tic Tac Toe) contro un avversario sprovveduto, cioè con poca tattica. L'unica che applica è quella di mettere il suo segno dove ce ne sono due in fila dell'avversario, altrimenti lo mette a caso. Io che gioco coscienziosamente, quante possibilità ho di vincere?
Risposte
se cominci te hai una tattica "non perdente", ovvero, se metti la tua prima croce in uno degli angoli non puoi perdere, e pareggi solo se l'avversario mette la sua prima pallina al centro. poichè la prima mossa dell'avversario è casuale, la possibilità che metta la pallina al centro è 1/8, ne consegue che tu hai una probabilità di 7/8 = 87,5% di vincere.
se comincia lui, al momento non so rispondere, mi prendo un po per rifletterci.
fammi sapere se la mia soluzione parziale è esatta.
ciao, ubermensch
se comincia lui, al momento non so rispondere, mi prendo un po per rifletterci.
fammi sapere se la mia soluzione parziale è esatta.
ciao, ubermensch
Per ora comincio io, poi vedremo di estendere il problema. La tua soluzione non è del tutto corretta, infatti se l'avversario mette il suo segno al centro posso ancora vincere, ma sei sulla strada giusta.
WonderP.
WonderP.
In effetti il quesito è complicato dal gran numero di possibilità offerte dall'albero del gioco (una parte di esso si può trovare sul libro "Di duelli, scacchi e dilemmi" alle pagine 46 e 47).
Se comincio io con la croce in un angolo e lo "sprovveduto" mette la pallina al centro ho ancora 1/3 di probabilità di vincere se inserisco la croce nell'angolo opposto alla prima.
La mia probabilità totale di vittoria, in questo caso, diventa:
7/8 + (1/8)*(1/3) = 11/12 = 91.6666.
Se comincio io con la croce in un angolo e lo "sprovveduto" mette la pallina al centro ho ancora 1/3 di probabilità di vincere se inserisco la croce nell'angolo opposto alla prima.
La mia probabilità totale di vittoria, in questo caso, diventa:
7/8 + (1/8)*(1/3) = 11/12 = 91.6666.
Giusto, e mi sa che lunedì sera faccio un salto in libreria
.
WonderP.
.WonderP.
forse ho trovato la soluzione, ma non sono capace di svilupparla matematicamente: ancora devo studiare calcolo delle probabilità!
siamo nel caso in cui io abbia scelto un angolo e l'altro abbia scelto il centro. a questo punto se io scelgo un altro angolo, che non sia quello opposto a quello precedentemente scelto, il mio avversario sarà costretto a tappare il buco, e si verifica facilmente che va a finire in pareggio; la stessa cosa avviene se scelgo una casella adiacente a quella che ho già scelto.
supponendo che abbia io scelto la casella in alto a sinistra, rimangono i seguenti casi:
1) scelgo la casella centrale della riga di fondo
2) scelgo la casella all'angolo opposto, ovvero in fondo a destra
3) scelgo la casella centrale della colonna a destra
in tutti e tre i casi potrei vincere, li analizzo separatemente:
1) ho solo due possibilità su 6 di vincere, che si hanno qualora il mio avversario scegliesse le due caselle della riga superiore rimaste libere
2) ho due possibiltà su 6 di vincere, che corrispondono ai casi in cui l'avversario sceglie una delle due caselle all'angolo ancora libere.
a questo punto, ammesso che il mio ragionamento sia giusto, lascio a te l'onere di svilupparlo matematicamente.
intuitivamente posso dire questo:
nell'1/8 di possibilità che rimangono ho 1/3 di vittoria, qualunque sia la tattica intelligente che uso, quindi ho 1/24 di possibilità di vittoria, se riferito al gioco. in totale ho quindi 7/8 + 1/24 = 91,6666...% di possibilità di vittoria.
ti ricordo che non conosco il calocolo delle probabilità, quindi s eho detto una marea di fesserie, non farci troppo caso!
ciao, ubermensch
3) è esattamente uguale al primo.
siamo nel caso in cui io abbia scelto un angolo e l'altro abbia scelto il centro. a questo punto se io scelgo un altro angolo, che non sia quello opposto a quello precedentemente scelto, il mio avversario sarà costretto a tappare il buco, e si verifica facilmente che va a finire in pareggio; la stessa cosa avviene se scelgo una casella adiacente a quella che ho già scelto.
supponendo che abbia io scelto la casella in alto a sinistra, rimangono i seguenti casi:
1) scelgo la casella centrale della riga di fondo
2) scelgo la casella all'angolo opposto, ovvero in fondo a destra
3) scelgo la casella centrale della colonna a destra
in tutti e tre i casi potrei vincere, li analizzo separatemente:
1) ho solo due possibilità su 6 di vincere, che si hanno qualora il mio avversario scegliesse le due caselle della riga superiore rimaste libere
2) ho due possibiltà su 6 di vincere, che corrispondono ai casi in cui l'avversario sceglie una delle due caselle all'angolo ancora libere.
a questo punto, ammesso che il mio ragionamento sia giusto, lascio a te l'onere di svilupparlo matematicamente.
intuitivamente posso dire questo:
nell'1/8 di possibilità che rimangono ho 1/3 di vittoria, qualunque sia la tattica intelligente che uso, quindi ho 1/24 di possibilità di vittoria, se riferito al gioco. in totale ho quindi 7/8 + 1/24 = 91,6666...% di possibilità di vittoria.
ti ricordo che non conosco il calocolo delle probabilità, quindi s eho detto una marea di fesserie, non farci troppo caso!
ciao, ubermensch
3) è esattamente uguale al primo.
Complimenti, bel ragionamento ma soprattutto corretto, anche più di quello che avevo pensato io (simile a quello di MaMo).
WonderP.
WonderP.
La soluzione trovata funziona se l'avversario, oltre a parare quando vede due miei segni allineati, ha anche la scaltrezza di concludere il tris quando ne ha la possibilità.
Dal testo del quesito si potrebbe invece supporre che anche con la vittoria a portata di mano giochi a caso, e se è così e lo so, posso adattare conseguentemente la mia strategia, scegliendo (in alcuni casi già contati come "patta") di rischiare una vittoria al 50% contro una sconfitta al 50%.
In particolare: inizio (ovviamente) con croce in alto a sinistra, risponde (fortunello, probabilità 1/8) con pallino al centro, proseguo (ovviamente) con croce in basso a destra, risponde (fortunello, probabilità 2/3) con pallino al centro a destra. A "gioco corretto" ciò porta ad una patta (rispondo croce al centro a sinistra... e così via per mosse forzate) in 1/12 dei casi, ma potrei forzare con croce in basso a sinistra (?!). A questo punto il mio avversario ha due minacce di tris da parare, una vincendo, una perdendo. Se la scelta tra di esse è casuale ed il mio scopo è solo vincere posso optare per tale strategia (perdente con un avversario scaltro) portando a 0,958333 le mie probabilità di vittoria (a fronte del fatto che nei casi residui, di probabilità 1/24, invece di pattare perdo).
E se inizia l'altro? Se oltre a parare le minacce è in grado di chiudere la vittoria appena ne ha la possibilità, ed io gioco "in difesa", senza sapere della sua strategia generalmente casuale o comunque per evitare la sconfitta, l'esito è quasi sempre una patta.
Il tutto, ovviamente, con beneficio di verifica.
Sapendo della sua strategia, però, posso scegliere di prendermi dei rischi, adottando strategie perdenti contro un avversario scaltro, ma potenzialmente vincenti contro l'avversario randomico, aumentando le probabilità di vittoria (ma anche quelle di sconfitta, che altrimenti sono zero)
Dal testo del quesito si potrebbe invece supporre che anche con la vittoria a portata di mano giochi a caso, e se è così e lo so, posso adattare conseguentemente la mia strategia, scegliendo (in alcuni casi già contati come "patta") di rischiare una vittoria al 50% contro una sconfitta al 50%.
In particolare: inizio (ovviamente) con croce in alto a sinistra, risponde (fortunello, probabilità 1/8) con pallino al centro, proseguo (ovviamente) con croce in basso a destra, risponde (fortunello, probabilità 2/3) con pallino al centro a destra. A "gioco corretto" ciò porta ad una patta (rispondo croce al centro a sinistra... e così via per mosse forzate) in 1/12 dei casi, ma potrei forzare con croce in basso a sinistra (?!). A questo punto il mio avversario ha due minacce di tris da parare, una vincendo, una perdendo. Se la scelta tra di esse è casuale ed il mio scopo è solo vincere posso optare per tale strategia (perdente con un avversario scaltro) portando a 0,958333 le mie probabilità di vittoria (a fronte del fatto che nei casi residui, di probabilità 1/24, invece di pattare perdo).
"Valerio Capraro":
se comincia lui, al momento non so rispondere, mi prendo un po per rifletterci.
fammi sapere se la mia soluzione parziale è esatta.
ciao, ubermensch
E se inizia l'altro? Se oltre a parare le minacce è in grado di chiudere la vittoria appena ne ha la possibilità, ed io gioco "in difesa", senza sapere della sua strategia generalmente casuale o comunque per evitare la sconfitta, l'esito è quasi sempre una patta.
Il tutto, ovviamente, con beneficio di verifica.
Sapendo della sua strategia, però, posso scegliere di prendermi dei rischi, adottando strategie perdenti contro un avversario scaltro, ma potenzialmente vincenti contro l'avversario randomico, aumentando le probabilità di vittoria (ma anche quelle di sconfitta, che altrimenti sono zero)
Facendo un po' di conti, quando inizia l'avversario posso sperare in una percentuale di vittorie superiore al 50% (51.27%), se accetto in più di metà dei casi rimanenti la sconfitta (invece di cercare una sicura patta).
Evito di sciorinare la casistica perché mi pare noiosa.
Dunque, a integrazione della domanda iniziale (oltre alla precisazione di chi inizia) sarebbe il caso di specificare se devo cercare la vittoria a tutti i costi (assumendo rischi di perdere) o no (come noto giocando regolare a tris non si può perdere )
Evito di sciorinare la casistica perché mi pare noiosa.
Dunque, a integrazione della domanda iniziale (oltre alla precisazione di chi inizia) sarebbe il caso di specificare se devo cercare la vittoria a tutti i costi (assumendo rischi di perdere) o no (come noto giocando regolare a tris non si può perdere )
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