Triangoli, altezze & co

[davi241]

Siano J, K, L i piedi delle altezze di un triangolo acutangolo ABC.
Dimostrare che l’incentro del triangolo JKL coincide con l’ortocentro del triangolo
ABC.

UFFA! Non ci riesco, deve esserci qualche osservazione stupida che mi sfugge. Grazie a tutti

[iteuler]

Notiamo che il quadrilatero AJOL è inscrivibile in una circonferenza dato che gli angoli opposti AJO e ALO sono entrambi retti, gli angoli CAK e OJL sono uguali perchè insistono sulla stessa corda OL, ripetendo il ragionamento con il quadrilatero BJOK si arriva a stabilire che CBL=OJK.
Consideriamo ora i due triangoli rettangoli ACK e BCL, poiché questi hanno l' angolo ACB in comune possiamo scrivere che CAK=CBL, ma CAK=OJL e CBL=OJK quindi OJL=OJK, l' altezza CJ è dunque bisettrice dell' angolo LJK. Per gli altri angoli basta fare un ragionamento analogo e si ottiene la tesi.

[davi241]

Grazie mille! Io invece ragionavo sui quadrilateri AKJB, CKLB e ALJC senza riuscire a concludere nulla [:D] Ancora grazie, ciao!