Tre quesiti...
1)Sia $XsubRR$ un insieme non vuoto e perfetto. Dimostrare che non è numerabile.
2)Provare che $QQ$ non è completo secondo Cauchy.
3)Calcolare $lim_(ntoinfty)[1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)]$
2)Provare che $QQ$ non è completo secondo Cauchy.
3)Calcolare $lim_(ntoinfty)[1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)]$
Risposte
Per il secondo quesito non basta esibire una successione di Cauchy di soli razionali che tende a un numero irrazionale?
Ce ne sono diverse... ne conosco due semplicissime che tendono rispettivamente a $sqrt(2)$ e $pi$...
Per il primo quesito: cos'è un insieme perfetto?
Ce ne sono diverse... ne conosco due semplicissime che tendono rispettivamente a $sqrt(2)$ e $pi$...
Per il primo quesito: cos'è un insieme perfetto?
"Kroldar":
Per il secondo quesito non basta esibire una successione di Cauchy di soli razionali che tende a un numero irrazionale?
Ce ne sono diverse... ne conosco due semplicissime che tendono rispettivamente a $sqrt(2)$ e $pi$...
Si, il succo di una possibile dimostrazione formale è proprio quello.
Un insieme perfetto è tale che ogni punto di accumulazione appartenga all'insieme.
Dalla definizione che mi hai dato di insieme perfetto, sicuramente un intervallo compatto di $RR$ euclideo è perfetto... mentre un insieme numerabile non ha punti di accumulazione al finito secondo la topologia euclidea...
@giuseppe87x
non mi torna
prendiamo l'insieme che contiene $0$ e tutti i numeri del tipo $1/n$ con $n \in NN$
l'unico suo punto di accumulazione è $0$ e lo contiene
quindi sarebbe perfetto secondo la definizone che hai dato (che non mi pare corretta)
ed è numerabile
non mi torna
prendiamo l'insieme che contiene $0$ e tutti i numeri del tipo $1/n$ con $n \in NN$
l'unico suo punto di accumulazione è $0$ e lo contiene
quindi sarebbe perfetto secondo la definizone che hai dato (che non mi pare corretta)
ed è numerabile
arghhhhh... dal post di Fioravante capisco di aver detto una boiata colossale poc'anzi 
se una successione di razionali distinti ammette limite razionale, allora tale limite è punto di accumulazione per i valori della successione
se una successione di razionali distinti ammette limite razionale, allora tale limite è punto di accumulazione per i valori della successione
@Kroldar
no, un insieme numerabile può avere punti di accumulazione: vedi l'esempio che ho fatto sopra, o $QQ$
mi sa che intendevi riferisti a qualcos'altro
no, un insieme numerabile può avere punti di accumulazione: vedi l'esempio che ho fatto sopra, o $QQ$
mi sa che intendevi riferisti a qualcos'altro
bello questo incrocio!
insonnia?
insonnia?
"Fioravante Patrone":
bello questo incrocio!
insonnia?
si stanno un po' accavallando i post
non è insonnia... per me è pausa da studio di "trasmissione numerica"... per te non so, dimmelo tu, cos'è?
non voglia di fare quello che dovrei fare (incluso dormire)
@Fioravante Patrone
Il mio libro dice: un insieme $A$ è perfetto se $A=DA$, dove con $DA$ si indica il derivato di $A$ cioè l'insieme dei punti di accumulazione di $A$. Forse prima mi sono spiegato male.
Il mio libro dice: un insieme $A$ è perfetto se $A=DA$, dove con $DA$ si indica il derivato di $A$ cioè l'insieme dei punti di accumulazione di $A$. Forse prima mi sono spiegato male.
In altre parole sarebbe un insieme chiuso i cui punti sono tutti di accumulazione.
"giuseppe87x":
@Fioravante Patrone
Il mio libro dice: un insieme $A$ è perfetto se $A=DA$, dove con $DA$ si indica il derivato di $A$ cioè l'insieme dei punti di accumulazione di $A$. Forse prima mi sono spiegato male.
avevi detto:
"Un insieme perfetto è tale che ogni punto di accumulazione appartenga all'insieme."
ovvero, $DA \sube A$
buonanotte
Infatti, mi ero spiegato male.
Chiamo la somma $S_n = 1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(n+n)$, che posso scrivere anche come $S_n = S_1 + sum_(k=1)^(n-1) (S_(k+1)-S_k)$.
Calcolo $S_(n+1) = 1/((n+1)+1)+1/((n+1)+2)+...+1/((n+1)+(n+1)) = S_n + 1/(2n+1) + 1/(2n+2) - 1/(n+1) = S_n + 1/(2n+1) - 1/(2(n+1))$.
Sostituendo si ottiene $S_n = S_1 + sum_(k=1)^(n-1) (S_k + 1/(2k+1) - 1/(2(k+1)) - S_k) = S_1 + sum_(k=1)^(n-1) (1/(2k+1) - 1/(2(k+1))) = S_1 + sum_(k=3)^(n-1) (-1)^(k+1)/k = sum_(k=1)^(n-1) (-1)^(k+1)/k$.
Infine passando al limite $lim_(n->oo) sum_(k=1)^(n-1) (-1)^(k+1)/k = log(2)$.
Calcolo $S_(n+1) = 1/((n+1)+1)+1/((n+1)+2)+...+1/((n+1)+(n+1)) = S_n + 1/(2n+1) + 1/(2n+2) - 1/(n+1) = S_n + 1/(2n+1) - 1/(2(n+1))$.
Sostituendo si ottiene $S_n = S_1 + sum_(k=1)^(n-1) (S_k + 1/(2k+1) - 1/(2(k+1)) - S_k) = S_1 + sum_(k=1)^(n-1) (1/(2k+1) - 1/(2(k+1))) = S_1 + sum_(k=3)^(n-1) (-1)^(k+1)/k = sum_(k=1)^(n-1) (-1)^(k+1)/k$.
Infine passando al limite $lim_(n->oo) sum_(k=1)^(n-1) (-1)^(k+1)/k = log(2)$.
"Eredir":
....= log(2)$.
Non mi torna.
Sia $S_n=lim_(ntoinfty)[1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)]$
Posso magiorare ogni membro con $ 1/n$ per cui verrebbe $S_n=(2n)*(1/n)=2$
Posso minorare ogni membro con $ 1/(2n)$ per cui verrebbe $S_n=(2n)*(1/(2n))=1$
In definitiva $S_n$ dovrebbe essere un numero compreso tra 1 e 2, cosa che $log(2)$ non è.
Il risultato di Eredir è giusto.
@ Pachito: il numero dei termini è n per cui, per il tuo ragionamento, la somma deve essere compresa tra 1 e 1/2 come in effetti è.
@ Pachito: il numero dei termini è n per cui, per il tuo ragionamento, la somma deve essere compresa tra 1 e 1/2 come in effetti è.
Confermo il risultato di Eredir e quanto detto da MaMo.
forse mi sbaglio, ma mi sembra che per il primo quesito si possa mostrare che non è sempre vero. Mi viene in mente l'insieme $QQsubRR$ che se non sbaglio è perfetto, ma è anche numerabile.
E' così?
E' così?
Le mie memorabili sviste....
@ Kinder
Sei proprio sicuro che si verifica $QQ=DQQ$?
Pensa a come sono definiti i numeri reali e in particolar modo i numeri irrazionali...
Sei proprio sicuro che si verifica $QQ=DQQ$?
Pensa a come sono definiti i numeri reali e in particolar modo i numeri irrazionali...
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