Tre quesiti...
1)Sia $XsubRR$ un insieme non vuoto e perfetto. Dimostrare che non è numerabile.
2)Provare che $QQ$ non è completo secondo Cauchy.
3)Calcolare $lim_(ntoinfty)[1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)]$
2)Provare che $QQ$ non è completo secondo Cauchy.
3)Calcolare $lim_(ntoinfty)[1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)]$
Risposte
dopo una citazione nientemeno che di Cantor, mi sento inibito a proporre una mia argomentazione per il quesito 1. Però, non ho una reputazione da matematico da difendere (giacché non lo sono), allora oso.
Dato un sottoinsieme proprio X di R perfetto: X è non numerabile.
Supponiamo di avere un insieme X denso in se e numerabile.
Consideriamo l’intorno sinistro di un suo punto x, se x è punto di accumulazione per tale intorno sinistro (altrimenti si considera l’intorno destro). Poiché X è numerabile, allora vuol dire che tale intorno contiene anche punti del complementare A di X che, data la densità di X, non possono essere punti interni di A. Poiché non possono essere neanche punti isolati di A (altrimenti X avrebbe potenza del continuo) sono punti di accumulazione di X e di A, che appartengono ad A. Sono allora punti di frontiera per X, il quale non contiene interamente la sua frontiera, quindi non è chiuso, e non è perfetto.
Dato un sottoinsieme proprio X di R perfetto: X è non numerabile.
Supponiamo di avere un insieme X denso in se e numerabile.
Consideriamo l’intorno sinistro di un suo punto x, se x è punto di accumulazione per tale intorno sinistro (altrimenti si considera l’intorno destro). Poiché X è numerabile, allora vuol dire che tale intorno contiene anche punti del complementare A di X che, data la densità di X, non possono essere punti interni di A. Poiché non possono essere neanche punti isolati di A (altrimenti X avrebbe potenza del continuo) sono punti di accumulazione di X e di A, che appartengono ad A. Sono allora punti di frontiera per X, il quale non contiene interamente la sua frontiera, quindi non è chiuso, e non è perfetto.
"Crook":
Riscrivendo $lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n 1/i = gamma+ \ln(n)$, [...]
Crook, scrivere qualcosa del genere non ha proprio nessun senso. Ad ogni modo, dico la mia: per ogni intero $n > 0$, vale $\ln(2) = \int_0^n \frac{dx}{n+x} < \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} < \int_1^{n+1} \frac{dx}{n+x} = \ln(2 - \frac{1}{n+1})$. Dunque $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} = \ln(2)$, per il teorema dei due carabinieri (aka squeeze principle).
Chiaramente $lim_(ntoinfty)sum_(i=1)^n1/i=+infty$. Intendevo un'altra cosa, cioè:
$sum_(i=1)^n1/i =gamma+lnn+f(n)$, e per $n$ che tende all'infinito, $f(n)$ tende a zero..
$sum_(i=1)^n1/i =gamma+lnn+f(n)$, e per $n$ che tende all'infinito, $f(n)$ tende a zero..
"Crook":
Intendevo un'altra cosa, cioè: $sum_(i=1)^n1/i =gamma+lnn+f(n)$, e per $n$ che tende all'infinito, $f(n)$ tende a zero..
Ecco, questo è esatto.
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