Tom's House

[axpgn]

John sta tentando di indovinare dove vive Tom; tutto quello che sa è che Tom vive in una strada le cui case sono numerate da $8$ a $100$ compresi.

John chiede: "È maggiore di $50$?"
E Tom risponde.
Mentendo.
Ma John non lo sa e prende per buone tutte le risposte .
John chiede di nuovo: "È un multiplo di $4$?"
Tom risponde di nuovo e di nuovo mente.
John chiede ancora: "È un quadrato perfetto?"
Tom stavolta risponde sinceramente.
Infine John chiede: "È un multiplo di $3$?"
Dopo che Tom ha risposto (non sappiamo se in modo sincero oppure no), John gli dice qual è il numero di casa sua.
Sbagliando.

Qual è il numero della casa di Tom?


Cordialmente, Alex

[Studente Anonimo]

Risposta (parziale):

La risposta che tu vuoi credo sia \(81\)
Ma attualmente riesco solo a dedurre che può essere solo \(64,81,100\).

Soluzione (parziale perché non vedo come escludere un caso):

Premessa: Suppongo che John sia un logico e indovina solo quando è certo (rispetto alle sue assunzioni) che ha la risposta esatta.

Se a John, che parte dal presupposto che le risposte siano tutte giuste, bastano queste domande per pensare di sapere la risposta (con le informazione che ha lui) significa che alla domanda "E' un quadrato perfetto" Tom ha risposto di "sì" dicendo il vero, altrimenti non avrebbe abbastanza informazione per determinare qual è il numero. Pertanto il numero è un quadrato perfetto.

Ora se il numero della casa di Tom è maggiore di 50, i quadrati sono \(64,81,100\) per cui le reali risposte alla domanda "E' un multiplo di 4?" e "E' un multiplo di 3?" non possono essere concordi, ovvero non possono essere entrambi sì oppure entrambe no. Pertanto se John sentisse "Sì" sia alla prima che alla terza domanda, gli basterebbe la risposta della seconda domanda (se questa è "No") per determinare il numero della casa (ovvero 81), oppure (se la risposta alla seconda domanda è anch'essa "Sì") avrebbe fatto una domanda diversa al ultima per distinguere il caso \(64,100\) perché entrambi non sono multipli di 3. Pertanto possiamo assumere che la prima risposta data da Tom sia "No", che vuol dire "Sì" poiché mente!
Ora se avesse ottenuto come risposte
1) No
2) No
3) Si
4) No
John penserebbe che il numero sia o 25 oppure 49, e quindi non indovinerebbe.
Se avesse ottenuto come risposte
1) No
2) No
3) Si
4) Si
John penserebbe che il numero è 9 e direbbe 9 sbagliando (questo è il caso C).
Rimangono come possibilità
Caso A)
1) No
2) Si
3) Si
4) No
e John pensa che sia il numero 16, e sbaglia.
Caso B)
1) No
2) Si
3) Si
4) Si
e John pensa che è il numero 36, e sbaglia

Nel primo caso A le reali risposte sono
1) Si
2) No
3) Si
4) Si
poiché non possiamo avere che la 2 e la 4 sono concordi nel caso in cui 1 e 3 siano entrambe Sì. Pertanto il numero è 81 e Tom ha mentito alla risposta 4), nel caso B) le reali risposte sono
1) Si
2) No
3) Si
4) Si
Che è la stessa cosa del caso A soltanto che Tom ha detto la verità alla risposta 4). Quindi Tom abita nella casa numero 81.

Nel caso C)... che mi sono scordato abbiamo che le reali risposte sono
1) Si
2) Si
3) Si
4) No
E in questo caso noi non sappiamo qual è il numero...

[axpgn]

Appena riesco a leggere tutto con calma, ti rispondo, adesso mangio
Comunque la premessa è corretta

[Studente Anonimo]

L'unico modo che vedo per escludere il caso C che mi crea problemi è il seguente ma non mi convince per niente

Dopo due No No non è conveniente chiedere se il numero è un quadrato perfetto perché in media fai 0.28 domande in meno che rispetto al non chiederlo, mentre se se ottieni No Sì allora in media fai 0.54 domande in meno rispetto al non chiederlo. Però non mi convince.

[axpgn]

"3m0o":... altrimenti non avrebbe abbastanza informazione per determinare qual è il numero. ...

Non è così.

[Studente Anonimo]

"axpgn":

[quote="3m0o"]... altrimenti non avrebbe abbastanza informazione per determinare qual è il numero. ...

Non è così.

[axpgn]

Hint fondamentale:

John risponde in modo logicamente corretto sia che l'ultima risposta di Tom sia sincera oppure sia falsa.
Ovvero, detto in modo più esplicito: perché chiede se è un multiplo di tre?

[Studente Anonimo]

"3m0o":[quote="axpgn"]

[quote="3m0o"]... altrimenti non avrebbe abbastanza informazione per determinare qual è il numero. ...

Non è così.

[axpgn]

Per forza, perché è superato da quello che ho scritto ... è inutile che io lo commenti perché il punto dirimente è un altro ... e nel mio hint è anche piuttosto evidente ... IMHO

[Studente Anonimo]

Siccome, a me sembra, che la mia analisi di ogni caso in cui Tom risponde "no" alla terza domanda di John porta ad avere almeno due scelte, sono abbastanza convinto che Tom non possa aver risposto "no", e ho aggiunto "abbastanza" solo perché sei tu! Quindi io non vedo dove sta l'errore nella mia analisi! Sono abbastanza sicuro non ci sia, per questo penso che magari non hai capito cosa intendevo perché non mi spiego un gran che bene!

[axpgn]

John dopo la quarta risposta sa qual è il numero della casa di Tom; è sbagliato solo perché Tom non risponde sempre sinceramente ma logicamente è giusto.
Ovvero è possibile identificare qual è la successione esatta delle risposte senza doverle ipotizzare.
Più di così ... c'è la soluzione

Cordialmente, Alex

[Studente Anonimo]

Ripeto: non mi stai capendo!

Rispondi alla domanda senza darmi hint non richiesti: è giusta la mia giustificazione del fatto che la terza risposta di Tom è "sì"? Se non è corretta, dove non è corretta?

[axpgn]

Io non sto capendo dove vuoi arrivare o cosa vuoi dimostrare ...

Hai determinato qual è il numero della casa di Tom? Oppure ritieni di non avere sufficienti informazioni per farlo, come dicevi nel primo post?
Supponiamo pure che la terza risposta di Tom sia "sì", hai sufficienti elementi in tal caso per determinarlo?
Dal canto mio ti posso dire che non è necessario fare tutte le considerazioni che fai, ne basta una.

Ciao, Alex

[axpgn]

Per concludere ...

John non propone un numero a caso, lui sa qual è il numero di Tom ma perché? Perché prima dell'ultima domanda, in base alle risposte precedenti di Tom, erano rimasti "in lizza" solo due numeri di cui uno multiplo di tre e l'altro no; è per questo che John è sicuro di indovinare quale che sia la risposta di Tom.
E l'unico caso del genere si verifica con $16, 36$ che corrispondo alle risposte di Tom "No, Sì, Sì" e dato che le prime due sono sbagliate quelle corrette sono "Sì, No, Sì" che portano all'unico numero $81$.

Cordialmente, Alex

[Studente Anonimo]

"axpgn":Per concludere ...

John non propone un numero a caso, lui sa qual è il numero di Tom ma perché? Perché prima dell'ultima domanda, in base alle risposte precedenti di Tom, erano rimasti "in lizza" solo due numeri di cui uno multiplo di tre e l'altro no; è per questo che John è sicuro di indovinare quale che sia la risposta di Tom.
E l'unico caso del genere si verifica con $16, 36$ che corrispondo alle risposte di Tom "No, Sì, Sì" e dato che le prime due sono sbagliate quelle corrette sono "Sì, No, Sì" che portano all'unico numero $81$.

Cordialmente, Alex

Fin qui era chiaro! Tu mi hai detto che avevo sbagliato a dire che la prima risposta (ovvero la risposta alla domanda è un numero maggiore di 50) era

No

Mentre io ti dicevo che il mio ragionamento per questa risposta alla prima domanda era corretto! E infatti lo è!! Come sospettavo non ci eravamo capiti! Ma non è questo il problema Quello che non mi è chiaro invece è come escludi il caso seguente?

1) No
2) No
3) Si
4) Si
Che porta John a pensare che la casa abbia il numero 9 ma non permette a noi di dedurre il reale numero della casa di Tom??
Scriviti tutti i numeri da 8 a 100 e vedrai che con queste risposte se prese per buone rimane solo il numero 9. Non capisco come fai a dire che prima della quarta domanda rimanevano solo il 16 e il 36, potevano anche rimanere 9,25,49 e John in questo caso con al più due domande sarebbe arrivato a determinare con certezza la risposta e a posteriori gli è bastata una domanda in base alla risposta di Tom!

[axpgn]

Mai detto che hai sbagliato a dire quello (rileggi e vedrai che ho scritto altro )

Quel caso non è possibile perché l'unica possibilità è $16, 36$.
Con $9, 25, 49$ ti occorrono ancora DUE domande non una sola ma a John ne basta una (nel caso $16, 36$) sia se Tom dice sì sia se Tom dice no.
A me sembra chiaro, no?

[Studente Anonimo]

"axpgn":Mai detto che hai sbagliato a dire quello (rileggi e vedrai che ho scritto altro )

Scusa ci sono rimasto, intendevo alla terza domanda non alla prima (ovvero è un quadrato perfetto?), mi ero dimenticato qual era l'incomprensione

E tu mi dicevi che non rispondeva Sì e che il mio ragionamento non è corretto invece è corrett!

"axpgn":

[quote="3m0o"]... altrimenti non avrebbe abbastanza informazione per determinare qual è il numero. ...

Non è così.

[axpgn]

"3m0o":E tu mi dicevi che non rispondeva Sì e che il mio ragionamento non è corretto invece è corrett!

Non è così.
Io ho risposto "No" alla tua affermazione "... altrimenti non ho informazioni ...", difatti non è necessario indagare su quale sia stata la risposta di Tom per risolvere il quesito.
Non ho scritto che "Sì" fosse sbagliato.

E sulle due domande non fare il furbo
NON puoi dire che una ti basta: nel tuo caso può essere una o possono essere due ma noi sappiamo che a John ne è bastata una sola QUALUNQUE sia stata la risposta di Tom quindi la sola possibilità è $16, 36$

[Studente Anonimo]

"axpgn":

E sulle due domande non fare il furbo
NON puoi dire che una ti basta: nel tuo caso può essere una o possono essere due ma noi sappiamo che a John ne è bastata una sola QUALUNQUE sia stata la risposta di Tom quindi la sola possibilità è $16, 36$

Invece no

Noi sappiamo che a John è bastata la risposta che Tom ha dato (dopo che ha risposto, vuol dire questo), e da questo fatto deduciamo che ha risposto Si all'ultima domanda dal fatto che John ha saputo indovinare il numero (in questo caso specifico ovviamente, non negli altri due)

[axpgn]

No, noi deduciamo che qualsiasi sia stata la risposta di Tom, per John questa era sufficiente; quindi UNA sola domanda ... non fare il furbetto

[Studente Anonimo]

"axpgn":

No, noi deduciamo che qualsiasi sia stata la risposta di Tom, per John questa era sufficiente; quindi UNA sola domanda ... non fare il furbetto

Noooo