Tetraedro

[axpgn]

Le quattro facce di un tetraedro regolare sono suddivise in quattro triangoli equilateri.
Lo devo dipingere con quattro colori secondo le seguenti condizioni:
- solo due colori su ogni faccia.
- con ciascuno dei quattro colori devo colorare quattro triangoli.
- due triangoli con un lato in comune devono avere colori diversi.

In quanti modi diversi posso colorare il mio tetraedro?


Cordialmente, Alex

[axpgn]

Sbagliato.

[Drazen77]

Sono 54?

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Non credo...
Dimmi dove sbaglio!

"axpgn":
- solo due colori su ogni faccia.
- con ciascuno dei quattro colori devo colorare quattro triangoli.
- due triangoli con un lato in comune devono avere colori diversi.

In quanti modi diversi posso colorare il mio tetraedro?


Cordialmente, Alex

La condizione 1) + 3) ci dice che ogni faccia è colorata nel seguente modo: triangolo centrale un colore e i 3 triangoli "esterni" un altro colore.

Condizione 2) ci dice che se uso un colore per i triangoli esterni non posso più usarlo per i triangoli esterni di un'altra faccia altrimenti uso un colore per 6 triangoli.

Condizione 2) e quello che precede ci dice che una volta che ho colorato i tre triangoli esterni di una certa faccia quello stesso colore dev'essere usato una volta sola ancora e nel triangolo centrale di una faccia differente.

Quanto precede ci dice che ogni colore è usato su due facce differenti, una volta per colorare i tre triangoli esterni e una volta per colorare il triangolo centrale.

Chiaramente se ho colorato la faccia 1,2 e 3 non ho più nessuna scelta di colori per la faccia 4. Quindi

Numero di tetraedi colorati = numero di faccia 1 colorata + numero di faccia 2 colorata + numero di faccia 3 colorata

Da cui quello che ho detto. Chiama i colori \(c_1,c_2,c_3,c_4 \)
Faccia 1:
Per i triangoli esterni posso scegliere qualsiasi colore -> \( \binom{4}{1} \) scelte. Fissiamolo e diciamo \(c_{1} \). Il triangolo centrale può essere qualunque colore differente da quello già scelto quindi \( \binom{3}{1} \), i.e. qualsiasi colore differente da \(c_{1}\). Fissiamolo e diciamo che è \(c_{2}\).

Faccia 2:
Per i triangoli esterni non posso più usare \(c_1 \) poiché altrimenti userei un colore per 6 triangoli e non è possibile! Ma tra gli altri posso usare qualsiasi altro colore (anche \(c_2\)), quindi \( \binom{3}{1} \) scelte. Fissiamolo \(c_3 \). Per il triangolo centrale non posso usare \(c_3 \) (chiaramente viola la condizione 3)) e neppure \(c_2 \) poiché l'ho già usato per colorare il triangolo centrale della faccia 1. Quindi ho ancora \( \binom{2}{1} \) scelte. Diciamo che lo coloro con \(c_1\).

Faccia 3:
Per i triangoli esterni non posso usare ne \( c_1 \) ne \(c_3 \) altrimenti li uso per 6 triangoli quindi ho \( \binom{2}{1} \) scelte. Diciamo che uso \(c_4 \). Per il triangolo centrale non posso usare ne \(c_4\) (viola condizione 3)) ne posso usare il colore centrale della faccia 1 ne il colore della faccia 2 (quindi non \(c_2\) e non \(c_1\)), quindi ho solo una scelta possibile, i.e. \( c_3 \).

Faccia 4:
Per soddisfare tutte le condizioni richieste mi rimane come unica scelta totalmente determinata dalla colorazione delle facce precedenti -> \(c_2 \) per i triangoli esterni. Mentre per il triangolo centrale mi rimane solamente \(c_4\).

[axpgn]

@Drazen
No!

Ma ammiro tantissimo l'impegno e i colori sgargianti


@3m0o
Fino al "Quindi" mi pare tutto corretto ma il dopo non credo ... penso di sapere quale sia il tuo errore, comunque aspetto ancora un po' prima di dare la soluzione, per la legge dei grandi numeri prima o poi qualcuno ci arriverà

Cordialmente, Alex

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Devo moltiplicarli non sommarli

[Drazen77]

I 18 che ho disegnato sono quelli la cui "faccia anteriore" ha il triangolo blu circondato dai triangoli verdi.
Questi 18 comprendono i 9 "possibili" più i rispettivi speculari.

[axpgn]

@3m0o
Non va bene lo stesso ...

@Drazen77
Non ho capito il tuo messaggio

[Drazen77]

Vanno considerati diversi due teraedri con la configurazione di colori speculare come questi, giusto?

[axpgn]

Certo, son diversi.
Comunque tu li riesca a girare, non puoi "trasformare" l'uno nell'altro.

[Drazen77]

Continuo a vederne 54, non ne trovo altri

[axpgn]

Evidentemente hai bevuto troppo

[Drazen77]

Sto morendo...

[gabriella127]

"Drazen77":Sto morendo...

Drazen, forse non hai indovinato il numero, ma stai facendo disegni bellissimi, l'ultimo è proprio psichedelico.

[axpgn]

@Drazen77

È un lavoro ben fatto, bello da vedere ma lascia perdere i disegni perché ti portano fuori strada, a maggior ragione disegnare in 2D oggetti in 3D.
Te l'ho già detto di non esagerare e non era solo un consiglio

Sul tardi posterò comunque la mia soluzione ...

Cordialmente, Alex

[axpgn]

@gabriella127
Psichedelico mi sembra l'aggettivo giusto

[veciorik]

2*3*(1+2)=18

[axpgn]

Eureka!

Non ho capito perché l'hai scritta così, magari ce lo dirai ...

Intanto pubblico la mia soluzione ...

Su ogni faccia, il triangolo centrale è di un colore e gli altri tre di contorno di un altro colore.
E fin qui siamo tutti d'accordo quindi proseguiamo lasciando vuoto, per il momento, il triangolo centrale.
Abbiamo quattro facce monocolore con l'utilizzo di tutti e quattro i colori prescritti.
Apparentemente una soluzione unica. Invece no.
Supponiamo che i colori siano Rosso, Blu, Giallo e Verde.
Usiamo la faccia Rossa come base.
I restanti tre colori dipingeranno le tre facce di Blu, Giallo e Verde in senso orario o di Blu, Giallo e Verde in senso antiorario.
Due modalità, ok?
Adesso riempiamo il triangolo centrale della base Rossa: tre colori, tre modalità.
Quindi siamo a $2 xx 3$ modi diversi.
Ora, supponiamo che il triangolo centrale della base sia Blu.
Il Rosso della base lo posso, anzi lo devo, utilizzare per colorare il triangolo centrale di una (alla volta) delle tre facce restanti.
Quindi altre tre modalità perciò siamo a $2 xx 3 xx 3 = 18$ modi diversi.
E questi sono tutti.
Sono tutti perché ogni volta che si colora di Rosso il triangolo centrale di una faccia (diversa dalla base Rossa), gli altri due triangoli centrali sono obbligati: se si mette il Rosso nel Blu, il Giallo va nel Verde e il Verde va nel Giallo; se si mette il Rosso nel Giallo, il Giallo va nel Verde e il Verde va nel Blu; se si mette il Rosso nel Verde, il Verde va nel Giallo e il Giallo va nel Blu.
Finito.

Cordialmente, Alex

[veciorik]

immagine speculare: x2
Coppie di colori per prima faccia: x3
Coppie di colori per altre tre facce: x3
Dove 3=1+2: una faccia antisimmetrica con la prima; due facce non antisimmetriche

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

E io mi dimenticavo di dividere per le 8 rotazioni di ordine 3. Quindi

144/8=18

[axpgn]

@veciorik

Un po' stringato detto così , nel senso che, a mio parere, andrebbe aggiunto dopo l'ultima frase la "dimostrazione" che le facce restanti non producono altri casi.

Mi spiego meglio con un esempio:
Se la faccia "principale" è RossoBlu, se ho capito bene, la faccia antisimmetrica sarebbe quella BluRosso e gli altri due casi sarebbero BluGiallo e BluVerde; corretto ma rimane in sospeso il colore delle altre due facce per ognuno di questi tre casi, a priori non è detto che siano "obbligate".
IMHO

Cordialmente, Alex