Tetraedro

[axpgn]

Le quattro facce di un tetraedro regolare sono suddivise in quattro triangoli equilateri.
Lo devo dipingere con quattro colori secondo le seguenti condizioni:
- solo due colori su ogni faccia.
- con ciascuno dei quattro colori devo colorare quattro triangoli.
- due triangoli con un lato in comune devono avere colori diversi.

In quanti modi diversi posso colorare il mio tetraedro?


Cordialmente, Alex

[Drazen77]

6?

[axpgn]

No. Perché quella risposta (mi incuriosisce)?

[Drazen77]

Pensavo fosse così:
A1, A2, B3, B4, C5 e C6.

[axpgn]

C'è un piccolo problema: quello non è un tetraedro regolare.

[Drazen77]

Certo che è un tertraedro regolare, non far caso al mio disegno approssimativo che lo fa sembrare una piramide.
Lo ridisegno visto dall'alto:



Comunque mi sta andando insieme il cervello a contare tutte le configurazioni possibili...

[axpgn]

Disegni una piramide e dici che è un tetraedro ma io non l'avrei capito?

Non è così complicato, dai ...

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

Sono 120?

[axpgn]

No.

[Drazen77]

Rilancio

Sono arrivato a 132

[axpgn]

È meglio non rilanciare ...

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

48?

[axpgn]

None


[ot]Il bello è che mi sembrava facile ... [/ot]

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Io non sto contando le rotazioni.

[axpgn]

Neanch'io

Solo tetraedri diversi ovvero un tetraedro rimane sempre lo stesso in qualsiasi modo lo si guardi o lo si posizioni.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Vabbe ho capito dove sta il mio errore
Ma non ho voglia ora di mettermi a contare, magari domani. Ad ogni modo ho pensato considerando gli "esagoni" che formano dei triangoli adiacenti di due facce del tetraedo. Fissando la colorazione di quella determini (non unicamente) la colorazione del tetraedo. Ho fatto 2 errori, il primo mi son dimenticato di contare tutte le possibili colorazioni del esagono. Lo coloravo solo con 4 colori differenti, in questo caso comunque fissata questa colorazione con 4 colori differenti ho \(96 \) (non 48 perché mi sono dimenticato di moltiplicare per 2 siccome il colore del triangolo centrale nella terza faccia è indipendente). Ma potrei colorare l'esagono iniziale anche solo con 2 colori e penso ma non sono sicuro forse anche con 3.

[Drazen77]

Mi si incasina il cervello a mischiare i colori.
Adesso ne conto 108.

[axpgn]

No.

Vi incasinate perché esagerate

[veciorik]

12

[axpgn]

No.

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Numeriamo le facce del tetraedo con \(1,2,3,4\). Siccome ogni faccia può essere colorata con solo 2 colori, abbiamo che il triangolo centrale è di un colore e gli altri tre di un altro. Inoltre ciascun colore dev'essere per forza usato su due facce differenti. Una volta per colorare il triangolo centrale e una volta per colorare i tre triangoli non centrali. Chiaramente una volta che abbiamo colorato 3 facce la quarta è determinata univocamente.
Per la prima faccia abbiamo che possiamo scegliere liberamente \( \binom{4}{1} \) colori per colorare i tre triangoli non centrali. Dopodiché possiamo scegliere \( \binom{3}{1} \) colori per colorare il triangolo centrale.
Per la seconda faccia abbiamo che poiché possiamo usare un colore solo per 4 triangoli allora possiamo scegliere \( \binom{3}{1} \) colori per i tre triangoli non centrali e \( \binom{2}{1} \) per il triangolo centrale. E così via otteniamo
\[ \binom{4}{1} \binom{3}{1} + \binom{3}{1} \binom{2}{1} + \binom{2}{1} \binom{1}{1} = 20 \]