Tennis

[axpgn]

Al primo turno di un torneo di tennis partecipano $10$ giocatori: $2$ femmine e $8$ maschi.
Gli accoppiamenti dei cinque incontri vengono formati estraendo casualmente da un'urna uno dopo l'altro i nomi dei partecipanti (senza reimmissione): il primo estratto contro il secondo estratto, il terzo contro il quarto e così via.
Qual è la probabilità che nessuna delle cinque partite metta di fronte le due donne?
Questa probabilità è minore, maggiore o uguale a quella che si avrebbe nel caso di $100$ giocatori di cui $20$ femmine (ovvero la probabilità che su $50$ incontri nessuno sia composto da sole femmine)?
Volendo generalizzare il caso a $2n$ giocatori di cui $k$ femmine ($2<=k<=n$), qual è la probabilità $p(k,n)$ che su $n$ partite, nessuna veda scontrarsi due donne?

Cordialmente, Alex

[andomito]

direi 1- 35,746 % =64,254 %

ognuna delle cinque coppie, ove non siano già state estratte donne, ha probabilità crescenti di essere monocolore rosa, di cui la probabilità è 1/5 * (1/9+1/7+1/5+1/3+1)

nel caso di 100 tennisti la cosa si complica… ma certamente è più probabile avere almeno una coppia rosa.

Vado a fare i conti e continuo

[axpgn]

E dici male

Non ho capito perché hai messo sotto spoiler solo una parte della risposta …

Cordialmente, Alex

[andomito]

ci riprovo facendo tutta la casistica

che la prima estrazione dia donna ha una probabilità 2/10
--- in tal caso la probabilità che anche la seconda estrazione dia donna è 1/9 * 2/10 (e c'è una coppia di donne)
----- la probabilità che invece dia uomo è 8/9 * 2/10 (e non ci sarà alcuna coppia di donne)
---in caso contrario (con probabilità 8/10) restano 2 donne e sei uomini
a questo punto che la terza estrazione dia donna ha una probabilità 2/8 * 8/10
--- in tal caso la probabilità che anche la quarta estrazione dia donna è 1/7 * 2/8 * 8/10 (e c'è una coppia di donne)
----- la probabilità che invece dia uomo è 6/7 * 2/8 * 8/10 (e non ci sarà alcuna coppia di donne)
--- in caso contrario (con probabilità 6/8 *8/10) restano 2 donne e quattro uomini
a questo punto che la quinta estrazione dia donna ha una probabilità 2/6 - 6/8 * 8/10
--- in tal caso la probabilità che anche la sesta estrazione dia donna è di 1/5 * 2/6 *6/8 * 8/10 (e c'è una coppia di donne)
---- la probabilità che invece dia uomo è 4/5 * 2/6 * 6/8 * 8/10 (e non ci sarà alcuna coppia di donne)
--- in caso contrario (con probabilità 4/6*6/8*8/10) restano due donne e due uomini
a questo punto che la settima estrazione dia donna ha probabilità 2/4 * 4/6 * 6/8 * 8/10
--- in tal caso la probabilità che anche la ottava dia donna è 1/3 * 2/4 * 4/6 * 6/8 * 8/10 (e c'è una coppia di donne)
----- la probabilità che invece dia uomo è 2/3 * 2/4 * 4/6 * 6/8 * 8/10 (e non ci sarà alcuna coppia di donne)
--- in caso contrario (con probabilità 2/4 * 4/6 * 6/8 * 8/10) restano due donne, che non possono che fare coppia.

Ricapitolando, che la prima coppia estratta sia di donne ha probabilità 1/9 * 2/10 = 1/5 * 1/9
che la seconda coppia estratta sia di donne ha probabilità 1/7 * 2/8 * 8/10 = 1/5 * 1/7
che la terza coppia estratta sia di donne ha probabilità 1/5 * 2/6 * 6/8 * 8/10 = 1/5 * 1/5
che la quarta coppia estratta sia di donne ha probabilità 1/3 * 2/4 * 4/6 * 6/8 * 8/10 = 1/5 * 1/3
che la quinta coppia estratta sia di donne ha probabilità 2/4 * 4/6 * 6/8 * 8/10 = 1/5 * 1

sommando, la probabilità che una delle cinque coppie sia di donne è 1/5 * (1/9 + 1/7 + 1/5 + 1/3 + 1) = 0.35746
e conseguentemente quella che ci sia sempre almeno un uomo nelle coppie è 0,64254

Dove sbaglio?

[axpgn]

Mi hai fatto fare la fatica di pensare … al tuo errore

Comunque penso sia già qua …

"andomito": ---in caso contrario (con probabilità 8/10) restano 2 donne e sei uomini

La probabilità che il primo estratto sia maschio è $8/10$ ma la probabilità che anche il secondo sia maschio è $7/9$ e quindi la probabilità che la prima sia una coppia di uomini è $8/10*7/9$ …
Anche non volendo utilizzare la soluzione generale, io farei un'altra strada; così mi pare complicato e facile perdersi …

Cordialmente, Alex

[andomito]

Penso di aver capito l'errore

che la prima estratta sia una donna ha una probabilità 2/10
--- in tal caso la probabilità che anche la seconda estrazione dia donna è 1/9 * 2/10 (e c'è una coppia di donne)
----- la probabilità che invece dia uomo è 8/9 * 2/10 (e non ci sarà alcuna coppia di donne)
---in caso contrario (con probabilità 8/10) restano 2 donne e sette uomini per la seconda estrazione
------- che tale seconda estrazione dia donna ha probabilità 2/9 * 8/10 (e non ci sarà alcuna coppia di donne)
-------- che dia uomo ha probabilità 7/9 * 8/10 e da luogo alla successiva casistica
a questo punto che la terza estrazione dia donna ha una probabilità 2/8 * 8/10 * 7/9
--- in tal caso la probabilità che anche la quarta estrazione dia donna è 1/7 * 2/8 * 8/10 * 7/9 (e c'è una coppia di donne)
----- la probabilità che invece dia uomo è 6/7 * 2/8 * 8/10 * 7/9 (e non ci sarà alcuna coppia di donne)
--- in caso contrario (con probabilità 6/8 *8/10 * 7/9) restano 2 donne e cinque uomini per la quarta estrazione
----------- che tale quarta estrazione dia donna ha probabilità 2/7 * 6/8 * 8/10 * 7/9 (e non ci sarà alcuna coppia di donne)
----------- che sia uomo ha probabilità 5/7 * 6/8 * 8/10 * 7/9 e da luogo alla successiva casistica
a questo punto che la quinta estrazione dia donna ha una probabilità 2/6 * 5/7 * 6/8 * 8/10 * 7/9
--- in tal caso la probabilità che anche la sesta estrazione dia donna è di 1/5 * 2/6 * 5/7 * 6/8 * 8/10 * 7/9 (coppia donne)
---- la probabilità che invece dia uomo è 4/5 * 2/6 * 5/7 * 6/8 * 8/10 * 7/9 (e non ci sarà alcuna coppia di donne)
--- in caso contrario (con probabilità 4/6*5/7 * 6/8 * 8/10 * 7/9) restano due donne e tre uomini per la sesta estrazione
------------che tale sesta estrazione dia donna ha probabilità 2/5 * 4/6 * 5/7 * 6/8 * 8/10 * 7/9 (no coppia donne)
------------che dia uomo ha probabilità 3/5 * 4/6 * 5/7 * 6/8 * 8/10 * 7/9 e si prosegue
a questo punto che la settima estrazione dia donna ha probabilità 2/4 * 3/5 * 4/6* 5/7 * 6/8 * 8/10 * 7/9
--- in tal caso la probabilità che anche la ottava dia donna è 1/3 * 2/4 * 3/5 * 4/6* 5/7 * 6/8 * 8/10 * 7/9 (e c'è una coppia di donne)
----- la probabilità che invece dia uomo è 2/3 * 2/4 * 3/5 * 4/6* 5/7 * 6/8 * 8/10 * 7/9 (e non ci sarà alcuna coppia di donne)
--- in caso contrario (con probabilità 2/4 * 3/5 * 4/6* 5/7 * 6/8 * 8/10 * 7/9) restano due donne, e un uomo per la ottava ed ultima estrazione
-------------- che tale ottava estrazione dia donna ha probabilità 2/3 * 2/4 * 3/5 * 4/6* 5/7 * 6/8 * 8/10 * 7/9 (no coppia donne)
------------ che dia uomo ha probabilità 1/3 * 2/4 * 3/5 * 4/6* 5/7 * 6/8 * 8/10 * 7/9 e determina un'ultima coppia tutta femminile.

Facendo i conti la somma delle probabilità di coppie femminili è
1/9 * 2/10 +1/7 * 2/8 * 8/10 * 7/9+ 1/5 * 2/6 * 5/7 * 6/8 * 8/10 * 7/9 + 1/3 * 2/4 * 3/5 * 4/6* 5/7 * 6/8 * 8/10 * 7/9 + 1/3 * 2/4 * 3/5 * 4/6* 5/7 * 6/8 * 8/10 * 7/9 = 1/5 (1/9 + 1/9 + 1/9 + 1/9 + 1/9) = 1/9 = 11%
Conseguentemente la probabilità che non ci siano coppie femminili è 88,9%

ci sono?

[andomito]

E facendo qualche conto sui 100 tennisti

mi verrebbe che le percentuali si invertono, diventando l'88,9% probabile che ci sia almeno una coppia tutta femminile

[axpgn]

Il numero finale è giusto ma non ho avuto la forza di leggere tutto e quindi non saprei dirti se il procedimento è completamente corretto (anche perché hai lasciato lo stesso errore di prima … )
C'è una strada più semplice (e ancor meglio la soluzione generale … anche perché voglio vederti con cento giocatori )

Cordialmente, Alex

P.S.: non è quella la percentuale per il caso $20/100$

[superpippone]

Per i 10 tennisti

La probabilità che la prima coppia sia di donne è $2/10*1/9=1/45$ però le coppie sono 5. Perciò $1/45*5=1/9$ di conseguenza la possibilità che non venga sorteggiata la coppia di donne è $1-1/9=8/9$ altro metodo $1-2/10*1/9*(5!)/(4!*1!)=8/9$ oppure molto più semplicemente, data una donna, la possibilità che non peschi l'altra donna è $8/9$

[superpippone]

Per i 100 tennisti.

$(20!*80!*60!)/(100!*60!)*2^20*(50!)/(30!*20!)$

Che ovviamente non so quanto fa........

[superpippone]

Formula generale.

$(k!*(2n-k)!)/((2n)!)*2^k*(n!)/((n-k)!*k!)$

Sperando di non incorrere negli strali di Alberto..........

[axpgn]

Bravissimo! Tutto perfetto!





Per i dettagli, a più tardi …

[axpgn]

Ecco …

La soluzione generale proviene da questo ragionamento …

Diciamo che un giocatore è nella posizione $s$ se viene estratto per $s\text(-esimo)$.
Il numero di modi diversi in cui distribuire $k$ femmine tra $2n$ posizioni è $((2n),(k))$
Ovviamente non tutte queste sequenze sono "buone". Quante sono quest'ultime?
Supponiamo di raggruppare le posizioni a coppie ovvero $(1,2),(3,4),...,(2n-1,2n)$.
Se associamo ognuna delle $k$ femmine ad una coppia diversa abbiamo raggiunto il nostro scopo.
I modi diversi di fare questo sono $((n),(k))$
Però, siccome in ogni incontro la donna può essere scelta per prima o per seconda, il tutto va moltiplicato per $2^k$.

In conclusione avremo $p(k,n)=[((n),(k))]/[((2n),(k))]*2^k$ che può essere riscritto anche così $p(k,n)=[((2n-k),(n))]/[((2n),(n))]*2^k$

Tra l'altro è una formula che funziona anche per $k=0,1$

Per il caso $20/100$ è $p(k,n)~=9.2%$

@superpippone
La tua terza risposta al primo caso ($2/10$) è fantastica (mentre non mi è chiaro il perché della prima).

Io, in prima battuta, avevo fatto così:
Ci sono $10!$ sequenze di estrazione possibili.
Quando le due donne sono le prime due estratte abbiamo $8!$ sequenze possibili (permutazioni degli uomini), da moltiplicare per due per l'intercambiabilità delle donne e poi moltiplicare per $5$ perché gli incontri sono cinque.

Quindi $(8!*10)/(10!)=1/9$

Cordialmente, Alex

[superpippone]

Alex

Intendevo dire che la probabilità cle prime due estratte siano donne è $2/10*1/9=1/45$ Però potrebbero essere la terza e la quarta, la quinta e la sesta, la settima e l'ottava, la nona e la decima. Perciò ho moltiplicato per $5$ e $1/45*5=1/9$

[andomito]

io ho usato un altro metodo, inducendo la soluzione da quella del primo caso, e mi viene una probabilità del 77,9% che ci sia almeno una coppia di donne.
Prima di fare figuracce ad esporre il metodo usato, però, vado a fare la verifica con la formula generale che avete trovato voi.

[andomito]

"andomito":io ho usato un altro metodo, inducendo la soluzione da quella del primo caso, e mi viene una probabilità del 77,9% che ci sia almeno una coppia di donne.
Prima di fare figuracce ad esporre il metodo usato, però, vado a fare la verifica con la formula generale che avete trovato voi.

Rettifico, anche con il mio metodo il risultato viene giusto (avevo fatto male il conto di una probabilità cumulata)

Dalla risoluzione del primo quesito ricavo che se k = 2 la probabilità di avere una coppia di donne è 1/(2n-1) [nel caso specifico 1/99]
A questo punto nel caso generale fisso l'attenzione su una coppia di donne (D1 e D2)
la probabilità che risulti accoppiata è 1/(2n-1)
Ne deduco che la probabilità che D1 sia accoppiata con una qualunque delle compagne è (k-1)/(2n-1)[nel caso specifico 19/99]
Esclusi tali casi, rimane la probabilità 1-(k-1)/(2n-1) [nel caso specifico 80/99] che rimangano 2n-2 tennisti da accoppiare di cui k-1 donne.
A questo punto la signora D2 ha probabilità (k-2)/(2n-3) * (2n-k)/(2n-1) [nel caso specifico 80/99 * 18/97] di essere accoppiata con una compagna.
Esclusi tali casi, rimane la probabilità 1-(k-1)/(2n-1)-(k-2)/(2n-3) * (2n-k)/(2n-1) che rimangano 2n-4 tennisti da accoppiare di cui k-2 donne. [ps è qui che avevo fatto l'errore nel precedente post]
E via così, con una tabellina 20 x 5 del buon Excel si ricava che la probabilità residua che nessuna delle signore sia accoppiata con una compagna è proprio 9,2 %

Giusto per dimostrare a axpgn che anche il caso 20/100 può risolversi con l'approccio muscolare dell'esame di tutta la casistica

[axpgn]

@superpippone

Questo l'avevo capito però c'è qualcosa che mi sfugge: $2/10*1/9=1/45$ è la probabilità che le prime due estrazioni siano femmine ma, a priori, non è detto che sia la stessa probabilità che la quinta e la sesta siano femmine; che funzioni è evidente ma io rimango con questo dubbio …
Peraltro la semplicità della tua terza soluzione è fantastica
Invidio la capacità che hai di "vedere" le cose ...

@andomito
Mai avuto dubbi che l'approccio "muscolare" funzioni (soprattutto in quest'epoca di "forza bruta" ), volevo solo evidenziare come così facendo si fa molta più fatica, aumenta la probabilità di commettere errori ( ) ed è più difficile da comprendere/valutare.

IMHO

Cordialmente, Alex

[superpippone]

axpgn

La mia prima soluzione è parente della soluzione "muscolare" di andomito. La probablità che la la coppia di donne si trovi in prima-seconda posizione è palese $2/10*1/9=1/45$. Che si trovi in terza-quarta posizione, è $8/10*7/9*2/8*1/7=1/45$

Che si trovi in quinta e sesta posizione, è $8/10*7/9*6/8*5/7*2/6*1/5=1/45$ etc. etc. Ho dato per scontato qualche passaggio.......

Una diversa interpretazione della mia terza soluzione. Pensa di avere 10 carte: 8 rosse e 2 nere. Le metti in un'unica fila , coperte, sul tavolo. E le dividi in 5 sottogruppi di 2. A questo punto è lapalissiano che in qualunque posizione si trovi la prima carta nere, la seconda ha a disposizione un solo "posto" su 9 per fare coppia.

andomito

La tua soluzione "muscolare" è certamente corretta. Però bisogna sempre cercare di semplificare il procedimento. E non è detto che sempre si abbia la possibilità di utilizzare excel, PC, calcolatrici, testi, tabelle, tavole, etc. etc.

[axpgn]

@superpippone

"superpippone":Ho dato per scontato qualche passaggio.......

Non sono mica tommik

"superpippone": A questo punto è lapalissiano che in qualunque posizione si trovi la prima carta nere, la seconda ha a disposizione un solo "posto" su 9 per fare coppia.

Oh, ma questa è chiarissima ed è bellissima proprio per la semplicità

Cordialmente, Alex

[andomito]

"superpippone":

andomito
La tua soluzione "muscolare" è certamente corretta. Però bisogna sempre cercare di semplificare il procedimento. E non è detto che sempre si abbia la possibilità di utilizzare excel, PC, calcolatrici, testi, tabelle, tavole, etc. etc.[/spoiler]

Perché invece strumenti per calcolare 100! li hai sempre in tasca…
Volendo risolvere con carta e penna bisognerebbe sviluppare o i fattoriali, o la serie che risulta dal mio metodo, e alla fine i conti da fare sarebbero sostanzialmente gli stessi, anche se magari organizzati concettualmente in maniera diversa.
Semplicemente non avendo più tanta dimestichezza con il calcolo combinatorio (visti i decenni passati dagli esami di analisi) "vedo" più immediatamente l'analisi bruta della casistica.

[axpgn]

"andomito":Perché invece strumenti per calcolare 100! li hai sempre in tasca…

Sì, ma se vuoi fare i conti a mano, prima semplifichi tutto il possibile non calcoli $100!$

Per esempio questa …

$(20!*80!*60!)/(100!*60!)*2^20*(50!)/(30!*20!)$ semplificando diventa $(37*2^22)/(29*83*89*97*3^4)$ e non è certo un'impresa calcolarla … e la calcolatrice di superpippone funziona benissimo

Cordialmente, Alex