Sviluppo in serie
Per $0 < r < 1$, trovare lo sviluppo in serie di Fourier, rispetto al sistema trigonometrico, della funzione
$x(t) = log(1-2rcos(t)+r^2)$
$x(t) = log(1-2rcos(t)+r^2)$
Risposte
Il kernel di Poisson $ccP_r(t)$ è una famiglia di funzioni che dipende dal parametro $0
$ccP_r(t)=sum_(n=-oo)^(oo)r^(|n|)e^(jnt)=(1-r^2)/(1-2r cost +r^2)$.
Il kernel coniugato di $ccP_r(t)$ è
$bar(ccP)_r(t)=-lim_(eta to 0) 1/(2pi)int_eta ^ pi [ccP_r(t+u)-ccP_r(t-u)]cot(u/2)du=-j sum_(n=-oo)^(oo) "sgn"(n) r^(|n|)e^(jnt)=(2r sint)/(1-2rcost+r^2)$.
In questo caso siamo alla ricerca di una serie di Fourier per
$x(t)=log(1-2rcost+r^2)=int(2r sint)/(1-2rcost+r^2)dt=int bar(ccP)_r(t)dt$,
dunque
$x(t)=-j int sum_(n=-oo)^(oo) "sgn"(n) r^(|n|)e^(jnt)dt=int sum_(n=1)^(oo)2r^n sin(nt)=sum_(n=1)^(oo) 2r^n int sin(nt)dt
$" "" "=$$-sum_(n=1)^(oo) (2r^n)/n cos(nx)$.
$ccP_r(t)=sum_(n=-oo)^(oo)r^(|n|)e^(jnt)=(1-r^2)/(1-2r cost +r^2)$.
Il kernel coniugato di $ccP_r(t)$ è
$bar(ccP)_r(t)=-lim_(eta to 0) 1/(2pi)int_eta ^ pi [ccP_r(t+u)-ccP_r(t-u)]cot(u/2)du=-j sum_(n=-oo)^(oo) "sgn"(n) r^(|n|)e^(jnt)=(2r sint)/(1-2rcost+r^2)$.
In questo caso siamo alla ricerca di una serie di Fourier per
$x(t)=log(1-2rcost+r^2)=int(2r sint)/(1-2rcost+r^2)dt=int bar(ccP)_r(t)dt$,
dunque
$x(t)=-j int sum_(n=-oo)^(oo) "sgn"(n) r^(|n|)e^(jnt)dt=int sum_(n=1)^(oo)2r^n sin(nt)=sum_(n=1)^(oo) 2r^n int sin(nt)dt
$" "" "=$$-sum_(n=1)^(oo) (2r^n)/n cos(nx)$.
Faccio innanzitutto i miei complimenti a elgiovo, poiché l'esercizio non è affatto immediato. Premetto che il risultato trovato è giusto. Il procedimento seguito è diverso da quello che conosco io e proprio sul procedimento avrei qualche piccola "obiezione"... in particolare sono un po' scettico sulla presenza di integrali con estremi non specificati e inoltre lo scambio tra sommatoria e integrale credo andrebbe giustificato.
Rispondo alle lecite "obiezioni" mosse da Kroldar:
- l'integrale senza estremi sta per "primitiva a costante nulla". Per evitare fraintendimenti, sostituire il simbolo $int$ con $int_0^x$;
- quanto allo scambio, la questione è delicata, perchè sarebbe necessario verificare la convergenza uniforme della serie di Fourier di $barccP_r(t)$ allo stesso $barccP_r(t)$.
Per ora mi limito a verificare un'altra proprietà di tale serie di Fourier, ovvero la sua sommabilità; nell'ipotesi $0
$K_N(barccP_r;t)=1/N sum_(n=1)^N S_n(barccP_r;t)$
converge uniformemente a $barccP_r(t)$, dove $S_n(barccP_r;t)$ è la somma (parziale) dei primi $n$ termini della serie.
Ciò è dovuto al fatto che
$K_N(barccP_r;t)=barccP_r(t)oxF_N(t)=barccP_r(t)ox1/n[(sin ((nt)/2))/(sin ((t)/(2)))]^2$,
dove $ox$ sta per prodotto di convoluzione e $F_N(t)$ è il kernel di Fejér.
- l'integrale senza estremi sta per "primitiva a costante nulla". Per evitare fraintendimenti, sostituire il simbolo $int$ con $int_0^x$;
- quanto allo scambio, la questione è delicata, perchè sarebbe necessario verificare la convergenza uniforme della serie di Fourier di $barccP_r(t)$ allo stesso $barccP_r(t)$.
Per ora mi limito a verificare un'altra proprietà di tale serie di Fourier, ovvero la sua sommabilità; nell'ipotesi $0
$K_N(barccP_r;t)=1/N sum_(n=1)^N S_n(barccP_r;t)$
converge uniformemente a $barccP_r(t)$, dove $S_n(barccP_r;t)$ è la somma (parziale) dei primi $n$ termini della serie.
Ciò è dovuto al fatto che
$K_N(barccP_r;t)=barccP_r(t)oxF_N(t)=barccP_r(t)ox1/n[(sin ((nt)/2))/(sin ((t)/(2)))]^2$,
dove $ox$ sta per prodotto di convoluzione e $F_N(t)$ è il kernel di Fejér.
Molto bene elgiovo. Sul discorso degli estremi dell'integrale, ci siamo.
Per quanto riguarda l'integrazione termine a termine, la soluzione a me nota va in una direzione leggermente diversa.
La serie di partenza, come sicuramente saprai, può essere riscritta considerando solo potenze non negative e trasformando gli esponenziali complessi in coseni. Se poi estrai la componente continua, ottieni una nuova serie magari più semplice da trattare, potendosi eliminare anche il modulo che c'è all'esponente di $r$.
Scrivo i primi passi della soluzione che conosco io...
Si può arrivare a scrivere la serie iniziale, ricordando una formula per la Z-trasformata:
$Z_u[rho^n cos(nt)] = sum_(n=0)^(+oo) (rho^n)/(z^n) cos(nt) = z (z - rho cos(t))/(z^2 - 2 rho z cos(t) + rho^2)$
che vale per $|z| > rho > 0$, dunque in particolare vale anche per $z = 1$.
Ponendo $z = 1$ si ha
$sum_(n=0)^(+oo) rho^n cos(nt) = (1 - rho cos(t))/(1 - 2 rho cos(t) + rho^2)$
Se ora sottraiamo $1$ ad ambo i membri e li dividiamo per $rho$, otteniamo
$sum_(n=1)^(+oo) rho^(n-1) cos(nt) = (cos(t) - rho)/(1 - 2 rho cos(t) + rho^2)$
Lavorando sul risultato ottenuto, forse è più semplice giustificare l'integrazione per serie...
La tua soluzione in ogni caso è molto interessante... è piena di spunti e concetti in parte a me nuovi, come il kernel di Poisson e il kernel di Fejér.
Per quanto riguarda l'integrazione termine a termine, la soluzione a me nota va in una direzione leggermente diversa.
"elgiovo":
$ccP_r(t)=sum_(n=-oo)^(oo)r^(|n|)e^(jnt)=(1-r^2)/(1-2r cost +r^2)$.
La serie di partenza, come sicuramente saprai, può essere riscritta considerando solo potenze non negative e trasformando gli esponenziali complessi in coseni. Se poi estrai la componente continua, ottieni una nuova serie magari più semplice da trattare, potendosi eliminare anche il modulo che c'è all'esponente di $r$.
Scrivo i primi passi della soluzione che conosco io...
Si può arrivare a scrivere la serie iniziale, ricordando una formula per la Z-trasformata:
$Z_u[rho^n cos(nt)] = sum_(n=0)^(+oo) (rho^n)/(z^n) cos(nt) = z (z - rho cos(t))/(z^2 - 2 rho z cos(t) + rho^2)$
che vale per $|z| > rho > 0$, dunque in particolare vale anche per $z = 1$.
Ponendo $z = 1$ si ha
$sum_(n=0)^(+oo) rho^n cos(nt) = (1 - rho cos(t))/(1 - 2 rho cos(t) + rho^2)$
Se ora sottraiamo $1$ ad ambo i membri e li dividiamo per $rho$, otteniamo
$sum_(n=1)^(+oo) rho^(n-1) cos(nt) = (cos(t) - rho)/(1 - 2 rho cos(t) + rho^2)$
Lavorando sul risultato ottenuto, forse è più semplice giustificare l'integrazione per serie...
La tua soluzione in ogni caso è molto interessante... è piena di spunti e concetti in parte a me nuovi, come il kernel di Poisson e il kernel di Fejér.
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