Successione non lineare

[FreddyKruger]

Scusate, non sono riuscito a sciogliere questo dubbio , se io ho una successione del tipo:
$x_{n+1}=\alpha (x_n)^2+\beta$ come faccio a trovarmi una formula chiusa per $x_n$?

[Palliit]

Ciao FreddyKruger.

Temo che non esista un modo per scrivere__$x_n$__in forma chiusa in funzione di__$x_0$. Quello che proponi è un esempio di successioni che si chiamano sistemi dinamici discreti, caratterizzati da una legge del tipo:__$x_(n+1)=f(x_n)$__, $\forall n \in NN$.

Poichè__$x_1=f(x_0)$,__$x_2=f(x_1)=f[f(x_0)]=(f \circ f)(x_0)$__e in generale:__(1) $x_n=(f \circ f \circ ... \circ f)(x_0)$,__dove la composizione di $f$ con se stessa va ripetuta $n$ volte; se indichiamo con $f^([n])$ un'espressione come la (1), allora di norma tutto quello che si può fare è scrivere__$x_n=f^([n])(x_0)$, cosa che il più delle volte non si riesce ad esplicitare diversamente, salvo casi semplici del tipo:__$x_(n+1)=alpha x_n$__$\Rightarrow$__$x_n=alpha^n x_0$__, o simili. In ogni caso è possibile il calcolo numerico dei termini della successione, per esempio ci sono metodi di risoluzione approssimata di equazioni che sfruttano sistemi dinamici discreti (pensa al metodo delle tangenti di Newton).
Nel caso che proponi non mi pare si riesca, salvo errori (miei).