Stella a quattro punte

[orsoulx]

Questo quesito sarebbe più adatto a 'Scervelliamoci un po' ', ma lo posto qui come piccolo contributo al salvataggio di questa sezione.

Dato un quadrato, si costruiscono esternamente ad esso quattro triangoli equilateri (uno per lato) ottenendo una stella a quattro punte, la cui superficie avrà un certa area. Di quanto aumenta quest'area se si "stuccano" le parti concave, ottenendo il quadrato che ha per vertici le punte della stella?
Così Alex la smetterà di sostenere che propongo problemi troppo difficili. Naturalmente dovete risolverlo senza saper neppure calcolare l'area di un triangolo.
Ciao

[axpgn]

Rapporto tra le due aree: $(1+sqrt(3))/2$

[axpgn]

"orsoulx":Così Alex la smetterà di sostenere che propongo problemi troppo difficili. ...

Io? Quando mai ... ... l'avrò pensato ma mica l'ho scritto ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

"axpgn":Rapporto tra le due aree

Può darsi, ma se non dici di quali aree parli, tutto è possibile... e poi se non accenni al percorso...

"axpgn":ma mica l'ho scritto ...

L'hai anche scritto, ma non ho voglia di andar a cercare
Ciao

[axpgn]

"orsoulx": ... Può darsi, ma se non dici di quali aree parli, tutto è possibile ...

Beh, questo mi sembrava sottinteso dato che è la tua richiesta (sempre che abbia capito il problema ) ovvero il rapporto tra l'area del "nuovo" quadrato e l'area della stella a quattro punte.

"orsoulx":... e poi se non accenni al percorso...

Certamente, appena ho un po' di tempo per scriverlo per bene ...

"orsoulx":... L'hai anche scritto, ma non ho voglia di andar a cercare ...

Ci contavo

Cordialmente, Alex

[axpgn]

$l$ è il lato del quadrato "originale" e $A_q=l^2$ la sua area mentre $A_t=sqrt(3)/4l^2$ è l'area di un triangolo equilatero con lo stesso lato $l$ (non l'ho calcolata, la so ... ) quindi l'area della stella è $(1+sqrt(3))l^2$
La diagonale del "nuovo" quadrato è $l+sqrt(3)l=l(1+sqrt(3))$ per cui il suo lato sarà $L=(l(1+sqrt(3)))/sqrt(2)$ e l'area relativa $((1+sqrt(3))^2l^2)/2$.
Il rapporto tra le due aree è quindi $(1+sqrt(3))/2$.

Qualcosa mi dice che lo volevi in un altro modo ... ci penserò ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex,
, intendevo la differenza, che si può trovare 'senza parole'.
Ciao

[axpgn]

Intendi che la differenza è $l^2$ ?

Però ho usato la trigonometria ... ma penso che la tua strada sia più semplice ...

L'angolo acuto dei triangoli "tappabuchi" è $pi/12$ ...

L'area di tutti e quattro sarebbe $4((l*sin(pi/12))*(l*cos(pi/12))$ cioè $2*l^2*sin(pi/6)$ da cui $l^2$

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex,
intendevo. Come hint il link della sorgente:
http://www.ilpost.it/mauriziocodogno/2017/06/05/la-piastrella-di-kurschak/#disqus_thread
Ciao

[orsoulx]

La soluzione senza parole.

Ciao

[axpgn]

Beh, complimenti a te se sei riuscito a vedere "questa" uguaglianza in "quel" disegno che hai linkato ...