Specchi riflettenti
Buon giorno a tutti, mi piacerebbe sapere se il seguente problema, che pensai molto tempo fa, è risolvibile matematicamente:
Se si ha un quadrato, ideale, immerso nel vuoto, di lato arbitrario, esempio $a=5$, i cui lati siano sottilissimi specchi , e si lascia partire, nell-istante $t=0s$ un raggio laser, da un vertice qualsiasi, inclinato di un angolo arbitrario, esempio $\alpha=30°$ diverso da $0°,45°,90°$; dopo quanto tempo, e dopo quanti rintocchi, il raggio torna(se torna) nel medesimo vertice, oppure passa per prima per un vertice qualsiasi?
Forse nella realtà il problema ha poco senso, quindi si potrebbe estendere il quadrato ad un cubo formato da facce con specchi interni, e aggiungere un altro angolo per la direzione del raggio.
Si deve poter applicare la legge della riflessione.
Se si ha un quadrato, ideale, immerso nel vuoto, di lato arbitrario, esempio $a=5$, i cui lati siano sottilissimi specchi , e si lascia partire, nell-istante $t=0s$ un raggio laser, da un vertice qualsiasi, inclinato di un angolo arbitrario, esempio $\alpha=30°$ diverso da $0°,45°,90°$; dopo quanto tempo, e dopo quanti rintocchi, il raggio torna(se torna) nel medesimo vertice, oppure passa per prima per un vertice qualsiasi?
Forse nella realtà il problema ha poco senso, quindi si potrebbe estendere il quadrato ad un cubo formato da facce con specchi interni, e aggiungere un altro angolo per la direzione del raggio.
Si deve poter applicare la legge della riflessione.
Risposte
Mi pare un po' generica come domanda ... può tornare come no, può toccare altri vertici come no ... per esempio prova con angoli che permettano di arrivare alla metà del lato opposto oppure ad un terzo o ai $2/5$ o ad una frazione irrazionale ...
Intanto ti ringrazio per la risposta, anche se non capisco perché non sono sufficienti i dati. (il lato del quadrato chiaramente è fissato, $a$,)
La velocità della luce la si conosce($c$) e l-angolo di partenza(rispetto al lato di base) è fissato($30°$), inoltre Il percorso si modifica esclusivamente con la legge della riflessione...?(dubbio)
La velocità della luce la si conosce($c$) e l-angolo di partenza(rispetto al lato di base) è fissato($30°$), inoltre Il percorso si modifica esclusivamente con la legge della riflessione...?(dubbio)
Non ho detto che i dati sono insufficienti ma che la domanda è vaga, nel senso che puoi ottenere, a mio parere, tutte le opzioni possibili ... difatti ti ho detto di provare con angoli diversi e vedrai ...
Potrebbero esserci più soluzioni, se così, aggiungo che tra tutte bisogna scegliere quella che impiega il minor tempo.
"axpgn":
difatti ti ho detto di provare con angoli diversi e vedrai ...
A me interessa con un angolo preciso ad esempio $30°$. Con questo angolo si verifica che il raggio ripassa per il vertice? Se si in quanto tempo? Dopo quanto tempo ripassa per un vertice qualsiasi?
Un ulteriore passo: sapere per quale angolo, diverso da quelli su elencati$(0,45,90)$ impiega il minor tempo a ripassare per il vertice di partenza.
Non so se ora è chiaro...
Se ad esempio parti dal vertice in alto a destra con un angolo di $30°$, arriverai nel punto medio di uno dei due lati opposti (dipende da quale dei due angoli di $30°$ parti), e poi in un altro vertice (l'altro ad essere opposto al lato del quale sei passato nel punto medio).
Mentre per tornare il prima possibile al vertice di partenza, non so, ci devo pensare.
Mentre per tornare il prima possibile al vertice di partenza, non so, ci devo pensare.
Tra l'altro, non credo sia possibile tornare nel vertice iniziale senza prima passare per un altro vertice, dunque l'angolo che permette di tornare nel modo più breve possibile nel vertice iniziale è $30°$.
Ma è solo una questione geometrica, è una partita a biliardo ...
Se "miri" alla metà di un lato, la biglia finisce in una "buca" adiacente a quella di partenza ...
Se "tiri" ad un terzo del lato finisce nella "buca" opposta ...
Se "tiri" a $2/5$ finisce in una buca adiacente ...
Quando un multiplo della distanza a cui hai "mirato" è intero allora finisce in buca, sullo stesso lato se il moltiplicatore è pari altrimenti sul lato opposto ...
Se "miri" alla metà di un lato, la biglia finisce in una "buca" adiacente a quella di partenza ...
Se "tiri" ad un terzo del lato finisce nella "buca" opposta ...
Se "tiri" a $2/5$ finisce in una buca adiacente ...
Quando un multiplo della distanza a cui hai "mirato" è intero allora finisce in buca, sullo stesso lato se il moltiplicatore è pari altrimenti sul lato opposto ...
"otta96":
Tra l'altro, non credo sia possibile tornare nel vertice iniziale senza prima passare per un altro vertice, dunque l'angolo che permette di tornare nel modo più breve possibile nel vertice iniziale è $30°$.
Credo sia corretto.
"axpgn":
Ma è solo una questione geometrica...
Quindi la legge della riflessione non vale solo per la luce?
Mai giocato a biliardo, vero? E neanche a flipper ...
Si ho giocato ad entrambi, pressapoco ci siamo, la legge si estende...,solamente non sono mai stato e non sono tutt-ora molto abile; comunque ho dovuto trovare conferma di quanto sostieni perché sebbene è intuitivo non è scontato. Saluti.
Sono un po' confuso. Chiamando "buca" un altro vertice del quadrato, rispetto a quello di partenza, si può pensare che il raggio (la cui velocità non conta un tubo in questo problema) "cada" appunto in buca e non riparta.
Partendo dal presupposto che, invece, giungendo ad un vertice il raggio si rifletta con lo stesso angolo di incidenza rispetto alla perpendicolare al raggio incidente passante per quel vertice, sono abbastanza certo che:
1) Il cammino più breve per tornare al vertice di partenza sia quello che inizia con un angolo che sia l'arcsen($2\sqrt5/5$) in qualsiasi direzione. Il raggio compirà 8 segmenti di percorso lunghi $(a\sqrt5)/2$ toccando una volta tutti gli altri vertici e una volta il punto medio di tutti i lati.
2) Si possa dimostrare facilmente che non esiste alcun angolo $α$ di partenza che permetta al raggio di tornare al vertice iniziale senza prima averne toccato un altro.
Salvo errori od omissioni, anche pacchiani. Amen.
Partendo dal presupposto che, invece, giungendo ad un vertice il raggio si rifletta con lo stesso angolo di incidenza rispetto alla perpendicolare al raggio incidente passante per quel vertice, sono abbastanza certo che:
1) Il cammino più breve per tornare al vertice di partenza sia quello che inizia con un angolo che sia l'arcsen($2\sqrt5/5$) in qualsiasi direzione. Il raggio compirà 8 segmenti di percorso lunghi $(a\sqrt5)/2$ toccando una volta tutti gli altri vertici e una volta il punto medio di tutti i lati.
2) Si possa dimostrare facilmente che non esiste alcun angolo $α$ di partenza che permetta al raggio di tornare al vertice iniziale senza prima averne toccato un altro.
Salvo errori od omissioni, anche pacchiani. Amen.
Il biliardo era solo un esempio ...
"teorema55":
la cui velocità non conta un tubo in questo problema
A dire il vero se leggi il mio primo post, ti accorgi che a me interessava sapere in quanto TEMPO la luce, e nemmeno la palla da biliardo impiega a tornare nel vertice di partenza. Alex ha fatto solo un esempio con la palla da biliardo e lo ringrazio.
OK che calcolare il tempo una volta trovato il percorso è immediato, ma almeno prima di sminuire le persone, come qui parecchi fanno, leggete bene; inoltre prima di ragionare con le regole astratte della geometria o della matematica credo che è opportuno attenersi alla concretezza del linguaggio come mezzo di rispetto.
Per il resto di quanto hai scritto devo avere il tempo di riflettere...
"curie88":
OK che calcolare il tempo una volta trovato il percorso è immediato, ma almeno prima di sminuire le persone, come qui parecchi fanno, leggete bene;
A me non sembra affatto che qui si stia cercando di sminuire nessuno, semplicemente stava dicendo (forse in un modo un filino brusco) che la velocità non c'entra niente, ma non capisco dove vedi un tentativo di sminuire qualcuno.
inoltre prima di ragionare con le regole astratte della geometria o della matematica credo che è opportuno attenersi alla concretezza del linguaggio come mezzo di rispetto.
Questa non l'ho capita francamente.
P.S. Non scrivo solamente per dire queste cose, ma anche per contribuire al problema originale dicendo che mi sono accorto che in realtà le considerazioni che avevo fatto per l'angolo di $30°$, non vanno bene per quell'angolo, ma per l'angolo di $arcsen(2/sqrt5)$, come giustamente detto da teorema55, a cui però vorrei fare una domanda; con quell'angolo non dovrebbe compiere un percorso di soli 4 pezzi di lunghezza $asqrt5/2$?
@curie88
Non capisco perché ti scaldi tanto ma non è colpa nostra se è solo un problema di geometria ...
Laser, luce o palle da biliardo è la stessa cosa, a maggior ragione se parli di "condizione ideale" ...
Una volta definita la "frazione" di lato che vai a colpire, basta trovare il primo multiplo intero per sapere in quale vertice finirà: se pari nello stesso lato, se dispari nel lato opposto, inoltre il moltiplicatore ti dà il numero di tocchi; se la frazione è irrazionale non finirà in nessun vertice ...
Cordialmente, Alex
Non capisco perché ti scaldi tanto ma non è colpa nostra se è solo un problema di geometria ...
Laser, luce o palle da biliardo è la stessa cosa, a maggior ragione se parli di "condizione ideale" ...
Una volta definita la "frazione" di lato che vai a colpire, basta trovare il primo multiplo intero per sapere in quale vertice finirà: se pari nello stesso lato, se dispari nel lato opposto, inoltre il moltiplicatore ti dà il numero di tocchi; se la frazione è irrazionale non finirà in nessun vertice ...
Cordialmente, Alex
Per Euclide, ragazzi, sono quasi commosso................
@curie: mi scuso se il mio linguaggio un po' colorito ti abbia offeso. Ti assicuro che non ne avevo la minima intenzione.
Purtroppo mi trovo al lavoro e non posso inviare immagini, ma la mia ipotesi è che il raggio, se nei vertici si riflette con lo stesso angolo con cui incide sulla perpendicolare alla bisettrice dell'angolo retto al vertice stesso, compia un cammino, detti
$V_i$ il vertice di partenza, e
$PM$ i punti medi dei lati:
$V_i->PM->V->PM->V->PM->V->PM->V_i$, otto segmenti prima di tornare al $V_i$ di partenza.
Sarà? Anche a me hai messo un pulcino nell'orecchio....................spero non sia il pulcino di un albatross
@curie: mi scuso se il mio linguaggio un po' colorito ti abbia offeso. Ti assicuro che non ne avevo la minima intenzione.
"otta96":
...vorrei fare una domanda; con quell'angolo non dovrebbe compiere un percorso di soli 4 pezzi di lunghezza $ asqrt5/2 $?
Purtroppo mi trovo al lavoro e non posso inviare immagini, ma la mia ipotesi è che il raggio, se nei vertici si riflette con lo stesso angolo con cui incide sulla perpendicolare alla bisettrice dell'angolo retto al vertice stesso, compia un cammino, detti
$V_i$ il vertice di partenza, e
$PM$ i punti medi dei lati:
$V_i->PM->V->PM->V->PM->V->PM->V_i$, otto segmenti prima di tornare al $V_i$ di partenza.
Sarà? Anche a me hai messo un pulcino nell'orecchio....................spero non sia il pulcino di un albatross
Non mi sto scaldando affatto, la palla da biliardo finisce in buca, inoltre il raggio di luce ha una velocità ben precisa che non può essere raggiunta da un corpo qualsiasi, lo sapete bene. Volete farmi credere che la palla da biliardo impiega lo stesso tempo della luce nel suo percorso?
@teorema55
Se non ho sbagliati i conti, con quell'angolo si va in "buca" in soli due tratti (più due per il ritorno per un totale di quattro); peraltro è inutile usare angoli con tangente maggiore di uno, rendono solo più complicati i calcoli ...
Se non ho sbagliati i conti, con quell'angolo si va in "buca" in soli due tratti (più due per il ritorno per un totale di quattro); peraltro è inutile usare angoli con tangente maggiore di uno, rendono solo più complicati i calcoli ...
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