Specchi riflettenti
Buon giorno a tutti, mi piacerebbe sapere se il seguente problema, che pensai molto tempo fa, è risolvibile matematicamente:
Se si ha un quadrato, ideale, immerso nel vuoto, di lato arbitrario, esempio $a=5$, i cui lati siano sottilissimi specchi , e si lascia partire, nell-istante $t=0s$ un raggio laser, da un vertice qualsiasi, inclinato di un angolo arbitrario, esempio $\alpha=30°$ diverso da $0°,45°,90°$; dopo quanto tempo, e dopo quanti rintocchi, il raggio torna(se torna) nel medesimo vertice, oppure passa per prima per un vertice qualsiasi?
Forse nella realtà il problema ha poco senso, quindi si potrebbe estendere il quadrato ad un cubo formato da facce con specchi interni, e aggiungere un altro angolo per la direzione del raggio.
Si deve poter applicare la legge della riflessione.
Se si ha un quadrato, ideale, immerso nel vuoto, di lato arbitrario, esempio $a=5$, i cui lati siano sottilissimi specchi , e si lascia partire, nell-istante $t=0s$ un raggio laser, da un vertice qualsiasi, inclinato di un angolo arbitrario, esempio $\alpha=30°$ diverso da $0°,45°,90°$; dopo quanto tempo, e dopo quanti rintocchi, il raggio torna(se torna) nel medesimo vertice, oppure passa per prima per un vertice qualsiasi?
Forse nella realtà il problema ha poco senso, quindi si potrebbe estendere il quadrato ad un cubo formato da facce con specchi interni, e aggiungere un altro angolo per la direzione del raggio.
Si deve poter applicare la legge della riflessione.
Risposte
Perché un multiplo di un irrazionale non è mai intero (quasi ... 
)
)
"axpgn":
Guarda questa immagine ...
Purtroppo non potrò farlo fino a stasera, ma...........contaci.
"axpgn":
Guarda questa immagine ...
In effetti da' da pensare, anzi, da......................RIFLETTERE.
Lo farò.
Vista la vostra notevole bravura, vi propongo questo ulteriore quesito:
Collocate il quadrato che ha i lati con specchi interni, di lato $L=5 dm$, nel primo quadrante degli assi cartesiani,
col vertice in basso a sinistra nell-origine.
Se l-impulso di luce viene fatto partire con un angolo di $30°$ dal suddetto vertice rispetto al lato giacente sull-ascissa,
dopo $1$ ora $25$ minuti, che coordinate ha il punto luce che descrive il moto?
Mi auguro vi aggrada
@axpgn purtroppo fatico molto a scrivere i messaggi, ma il risultato non si può avere in funzione di $L$?
Collocate il quadrato che ha i lati con specchi interni, di lato $L=5 dm$, nel primo quadrante degli assi cartesiani,
col vertice in basso a sinistra nell-origine.
Se l-impulso di luce viene fatto partire con un angolo di $30°$ dal suddetto vertice rispetto al lato giacente sull-ascissa,
dopo $1$ ora $25$ minuti, che coordinate ha il punto luce che descrive il moto?
Mi auguro vi aggrada
@axpgn purtroppo fatico molto a scrivere i messaggi, ma il risultato non si può avere in funzione di $L$?
Beh, se non metti l'unità di misura ...
$dm$
"curie88":
@axpgn purtroppo fatico molto a scrivere i messaggi, ma il risultato non si può avere in funzione di $L$?
A te sembra la stessa cosa $5\text(dm), 5\text(km)$ o $5\text(anni luce )$? Ti pare che le coordinate possano essere le stesse ?
Inoltre, con una dimensione del genere, il quesito perde di senso perché l'errore che hai sul valore di $c$ è maggiore della dimensione del quadrato ...
A me in realtà non interessa tanto il valore numerico....sceglilo tu!
Non ci capiamo ... 
Per sfizio prima ho fatto due conti usando $L=5\text( cm)$ e $c=300.000\text( km/s)$ ottenendo $x=1.04$ e $y=1.91$ (sempre che abbia fatto i calcoli giusti) ma è un risultato che non ha senso perché basta adottare una velocità della luce un metro al secondo maggiore per ottenere un risultato del tutto diverso ... ma aldilà dei valori numerici, la sostanza di questo problema consiste nel capire quale sia la traiettoria, il comportamento del raggio, cosa già ampiamente definita, mi pare ... calcolare la distanza percorsa è solo una moltiplicazione (e se poi non ti interessano neppure i numeri non si capisce il senso del tutto ... )
Cordialmente, Alex
Per sfizio prima ho fatto due conti usando $L=5\text( cm)$ e $c=300.000\text( km/s)$ ottenendo $x=1.04$ e $y=1.91$ (sempre che abbia fatto i calcoli giusti) ma è un risultato che non ha senso perché basta adottare una velocità della luce un metro al secondo maggiore per ottenere un risultato del tutto diverso ... ma aldilà dei valori numerici, la sostanza di questo problema consiste nel capire quale sia la traiettoria, il comportamento del raggio, cosa già ampiamente definita, mi pare ... calcolare la distanza percorsa è solo una moltiplicazione (e se poi non ti interessano neppure i numeri non si capisce il senso del tutto ... )
Cordialmente, Alex
"axpgn":
aldilà dei valori numerici, la sostanza di questo problema consiste nel capire quale sia la traiettoria, il comportamento del raggio, cosa già ampiamente definita, mi pare ... calcolare la distanza percorsa è solo una moltiplicazione (e se poi non ti interessano neppure i numeri non si capisce il senso del tutto ... )
Cordialmente, Alex
Probabilmente mi è sfuggito qualche post, il comportamento del raggio è chiaro, ma sono solo riuscito a prevederne la distanza percorsa, a tratti, cioè
sommando gli interi segment $s_n$, ammesso di non aver sbagliato qualcosa:
Trovo $s_n$:
Certo è vero che basta variare di pochissimo il tempo oppure$L$ per far variare di molto la posizione, d-altra parte posso solo sparare una cifra per $L$ confrontabile con $c$ perché non conosco il completo mettodo risolutivo di questo problema.
Dato che $c=300000 km/s$, Prova con L = $5$ giorni luce.
È sufficiente che posti il procidemento. Quello vale per qualsiasi numero. Grazie.
"axpgn":
aldilà dei valori numerici, la sostanza di questo problema consiste nel capire quale sia la traiettoria, il comportamento del raggio, cosa già ampiamente definita
Non mi sembra che è stata trovata la funzione che descrive la traiettoria...potresti postarla?
Grazie ad essa certamente si riuscirebbe a calcolare la posizione.
Guarda, l'ho scritto diverse volte come si comporta il raggio luminoso ...
Ecco uno schizzo dei primi "rimbalzi" ...
Dato che (in questo caso) $AP$ è una frazione irrazionale di $AB$ il raggio non finirà MAI in un vertice.
$OAP$ è un triangolo rettangolo; $OA=5$ per ipotesi; l'ipotenusa $OP=10/sqrt(3)$ e l'altro cateto $AP=5/sqrt(3)$
Un'ora e venticinque minuti corrispondono a $5100\text( s)$ e supponendo $c=30.000.000.000\text( cm/s)$ la distanza percorsa dalla luce dopo tale tempo sarà di $153.000.000.000.000\text( cm)$.
Questa distanza corrisponde a $26.500.377.355.803,8202417152$ ipotenuse ovvero "rimbalzi"; dato che la parte intera è dispari, significa che il raggio sta "tornando" (cioè da dx a sx) e la parte decimale rappresenta la frazione di ipotenusa percorsa tra un rimbalzo e l'altro ma anche la frazione di lato quindi $0,8202417152*5=4,101208576$ e siccome sta tornando l'ascissa sarà $x=5-4,101208576=0,898791424$.
Analogo procedimento ma non simile per l'ordinata ....
Per ogni ipotenusa percorsa c'è un cateto $AP$ percorso in "verticale" e dato che è la metà, metà sarà il percorso effettuato in "verticale"; dividendo tale distanza per il lato ottengo i "rimbalzi" verticali $10.600.150.942.321,5267545088$.
Anche qui la parte intera è dispari quindi il raggio sta "ricadendo", come prima moltiplico la parte decimale per cinque e la sottraggo da cinque ed ottengo $y=2,366227456$.
Fine.
Cordialmente, Alex
Ecco uno schizzo dei primi "rimbalzi" ...
Dato che (in questo caso) $AP$ è una frazione irrazionale di $AB$ il raggio non finirà MAI in un vertice.
$OAP$ è un triangolo rettangolo; $OA=5$ per ipotesi; l'ipotenusa $OP=10/sqrt(3)$ e l'altro cateto $AP=5/sqrt(3)$
Un'ora e venticinque minuti corrispondono a $5100\text( s)$ e supponendo $c=30.000.000.000\text( cm/s)$ la distanza percorsa dalla luce dopo tale tempo sarà di $153.000.000.000.000\text( cm)$.
Questa distanza corrisponde a $26.500.377.355.803,8202417152$ ipotenuse ovvero "rimbalzi"; dato che la parte intera è dispari, significa che il raggio sta "tornando" (cioè da dx a sx) e la parte decimale rappresenta la frazione di ipotenusa percorsa tra un rimbalzo e l'altro ma anche la frazione di lato quindi $0,8202417152*5=4,101208576$ e siccome sta tornando l'ascissa sarà $x=5-4,101208576=0,898791424$.
Analogo procedimento ma non simile per l'ordinata ....
Per ogni ipotenusa percorsa c'è un cateto $AP$ percorso in "verticale" e dato che è la metà, metà sarà il percorso effettuato in "verticale"; dividendo tale distanza per il lato ottengo i "rimbalzi" verticali $10.600.150.942.321,5267545088$.
Anche qui la parte intera è dispari quindi il raggio sta "ricadendo", come prima moltiplico la parte decimale per cinque e la sottraggo da cinque ed ottengo $y=2,366227456$.
Fine.
Cordialmente, Alex
Il vertice origine è in basso a sinistra.
Ogni cella del reticolo è una immagine speculare, riflessa o diretta, del quadrato originale che occupa la cella in basso a sinistra.
I circoletti rappresentano immagini virtuali del vertice origine.
Il raggio di luce in arancio.
Ogni intersezione del raggio con il reticolo rappresenta una riflessione.
Il vertice bersaglio è indicato da un rombetto rosso.
Le sue coordinate $ \ x \ $ e $ \ y \ $, diminuite di 1, contano rispettivamente le riflessioni sulle pareti verticali e orizzontali.
Lo spazio percorso vale $ \ sqrt(x^2+y^2) \ $ moltiplicato per il lato del quadrato.
L'angolo del raggio vale $ \ \alpha=\arctan(y/x) \ $ ovvero $ \ y/x = \tan(\alpha) \ $
$ \tan(30°)=1/sqrt(3) \ $ è irrazionale: il raggio non passa per alcun vertice, matematicamente parlando.
axpgn, ho chiara la tua spiegazione, e ti ringrazio per averla postata, ero abbastanza fuori strada, da questa semplice soluzione, il grafico della traiettoria non era necessario, per fortuna anche io lo riprodussi a suo tempo.
Ho verificato che la formula da me postata, per il calcolo del percorso del raggio a tratti è errata.(cercherò di aggiustarla per quanto possa essere utile)
veciorik grazie anche a te per l-interesse e per il lavoro da te svolto, tuttavia non mi è ben chiaro per quale motivo affianchi i quadrati, e perché in questo modo riesci a risalire alla soluzione.
Saluti.
Ho verificato che la formula da me postata, per il calcolo del percorso del raggio a tratti è errata.(cercherò di aggiustarla per quanto possa essere utile)
veciorik grazie anche a te per l-interesse e per il lavoro da te svolto, tuttavia non mi è ben chiaro per quale motivo affianchi i quadrati, e perché in questo modo riesci a risalire alla soluzione.
Saluti.
La cella grigia in basso a sinistra è il quadrato "reale".
La cella gialla è la sua immagine riflessa dallo specchio destro.
La cella rosa è la sua immagine riflessa dal soffitto.
La cella verde è la sua immagine riflessa due volte, da destra e dal soffitto.
Replicando su tutto il piano le 2x2 celle trasforma la "spezzata" del raggio in una retta.
Per esempio la retta per O-I-J-K-L-M N P Q è l'immagine della spezzata O-I-J'-K'-L'-M'-N'-P'-Q'.
Così è facile vedere che il raggio più corto che torna a O, con angolo maggiore di 0°e minore di 45°, è composto da 4 segmenti, è lungo $ \ sqrt(4^2+2^2) \ = \ 2 sqrt(5) \ $, forma un angolo di $ \ 26.565°= arctan(1/2) \ $ e passa per il vertice sopra O.
Tutti i raggi che tornano in O passano sempre per un altro vertice perché la congiungente di O con una sua immagine attraversa un numero pari di celle, in orizzontale e in verticale; le coordinate dimezzate individuano un altro vertice.
Soluzione per me geniale.Ora è chiarissimo. Grazie.
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