Somme di triangoli rettangoli

[Eredir]

E' dato un triangolo rettangolo di base $b$, altezza $h$ e angolo alla base $alpha$.

Si effettua la seguente costruzione: dal punto medio della base si conduce la perpendicolare ad essa, che interseca l'ipotenusa del triangolo in un punto. Quindi da questo si conduce la perpendicolare all'altezza, che forma un triangolo come quello illustrato in figura.



Il procedimento viene ripetuto sul triangolo ottenuto ed iterativamente a tutti i triangoli che si costruiscono in questo modo. Calcolare la somma delle aree dei triangoli ottenuti tramite questo procedimento.

[_nicola de rosa]

"Eredir":E' dato un triangolo rettangolo di base $b$, altezza $h$ e angolo alla base $alpha$.

Si effettua la seguente costruzione: dal punto medio della base si conduce la perpendicolare ad essa, che interseca l'ipotenusa del triangolo in un punto. Quindi da questo si conduce la perpendicolare all'altezza, che forma un triangolo come quello illustrato in figura.



Il procedimento viene ripetuto sul triangolo ottenuto ed iterativamente a tutti i triangoli che si costruiscono in questo modo. Calcolare la somma delle aree dei triangoli ottenuti tramite questo procedimento.

I triangoli che otteniamo sono simili, per cui l'altezza di ogni nuovo triangolo è la metà di quella precedente:infatti basta impostare la relazione
$x:b/2=h:b$ da cui $x=h/2$ dove $x$ è l'altezza del primo triangolino costruito.

Ora detta $A_0=(bh)/2$ l'area del primo triangolo, allora $A_n=A_0*(1/4)^n n>=0$ per cui
$A=A_0 sum_{n=0}^{+infty}(1/4)^n=A_0*1/(1-1/4)=4/3*A_0=2(bh)/3$

Se si intende solo l'area ottenuta col procedimento iterativo senza considerare quello di partenza allora:
$A=A_0 sum_{n=1}^{+infty}(1/4)^n=A_0sum_{n=0}^{+infty}(1/4)^n-A_0=A_0(1/(1-1/4)-1)=1/3*A_0=(bh)/6$

Spero di non aver capito male la traccia ( e l'angolo alla base a che serve? spero di non aver capito male allora...)

[Eredir]

Molto bene, il procedimento è corretto.

Non ho capito però per quale motivo hai calcolato la somma dei rettangoli invece di quella dei triangoli.
Il risultato nel caso dei triangoli è semplicemente la metà di quello che hai ottenuto.

L'angolo alla base l'ho messo per chi avesse voluto tentare utilizzando la tangente dell'angolo, senza sfruttare la similitudine, ma non è necessario per risolvere il quesito.

Ancora complimenti.

[_nicola de rosa]

"Eredir":Molto bene, il procedimento è corretto.

Non ho capito però per quale motivo hai calcolato la somma dei rettangoli invece di quella dei triangoli.
Il risultato nel caso dei triangoli è semplicemente la metà di quello che hai ottenuto.

L'angolo alla base l'ho messo per chi avesse voluto tentare utilizzando la tangente dell'angolo, senza sfruttare la similitudine, ma non è necessario per risolvere il quesito.

Ancora complimenti.

No guarda bene, ho calcolato la somma dei triangoli perchè l'area $A_0=(c1*c2)/2=(bh)/2$.

[Eredir]

Nel post che stavo leggendo c'era scritto "l'area del primo rettangolo" (vedo che ora lo hai editato), il che mi ha fatto confondere. Tutto giusto comunque, il risultato è $(bh)/6$.