Somma di quadrati divisibile per mille
Quale è il più piccolo valore di k tale che
$ 1^2+2^2+.......+k^2 $ sia divisibile per mille?
non è che potreste darmi dei piccoli consigli invece di tutta la risoluzione? sto cercando di migliorare, grazie in anticipo per il vostro aiuto [emoji112]
$ 1^2+2^2+.......+k^2 $ sia divisibile per mille?
non è che potreste darmi dei piccoli consigli invece di tutta la risoluzione? sto cercando di migliorare, grazie in anticipo per il vostro aiuto [emoji112]
Risposte
Conosci una formula che ti dica quanto fa la somma dei quadrati fino a $k^2$?
"milizia96":
Conosci una formula che ti dica quanto fa la somma dei quadrati fino a $k^2$?
sapendo che $ (k(k+1)(2k+1))/6=1^2+2^2+....+k^2 $ avevo penato di scrivere
$ k(k+1)(2k+1)= 6000p $ ma non riesco a proseguire oltre.
Il più piccolo dovrebbe essere $624$.
$6000=2^4*3*5^3$
$624=2^4*3*13$
$624+1=625=5^4$
$6000=2^4*3*5^3$
$624=2^4*3*13$
$624+1=625=5^4$
"axpgn":
Il più piccolo dovrebbe essere $624$.
$6000=2^4*3*5^3$
$624=2^4*3*13$
$624+1=625=5^4$
Posso sapere come ci sei arrivato? A me non sarebbe mai venuto in mente [emoji17]
(Non conosco il risultato, quindi non so se è la risposta giusta)
Ho fatto così ...
La nostra somma deve essere divisibile per $6000$ quindi deve contenere $2^4, 3, 5^3$ tra i fattori.
Prima cosa notiamo che $k<=6000$ quindi un valore c'è (e neanche tanto alto ...
)
Solo uno dei tre fattori è pari e in particolare solo $k$ o $k+1$ perciò i "quattro" $2$ devono "stare" tutti in quello pari ovvero deve essere un multiplo di $16$.
Poniamo che $k$ sia pari (e quindi multiplo di $16$); i "cinque" non possono stare sia in $k$ che nel suo successivo: se i tre "cinque" sono in $k$ allora $k=2000$ è una soluzione (perché $2001$ è divisibile per tre), altrimenti cerchiamo multipli dispari di $125$ il cui precedente sia multiplo di $16$ e si trova facilmente che $625$ va bene e che $624$ oltre ad essere multiplo di $16$ è anche divisibile per tre; perciò abbiamo trovato un $k$ più basso: $k=624$. Si verifica in fretta che l'altro fattore non può essere un multiplo di $125$ con un $k$ più basso.
Adesso ipotizzi che $k+1$ sia pari e ripeti lo stesso ragionamento; arrivi velocemente alla conclusione che non ci sono soluzioni minori.
Almeno mi pare ...
Cordialmente, Alex
La nostra somma deve essere divisibile per $6000$ quindi deve contenere $2^4, 3, 5^3$ tra i fattori.
Prima cosa notiamo che $k<=6000$ quindi un valore c'è (e neanche tanto alto ...
)Solo uno dei tre fattori è pari e in particolare solo $k$ o $k+1$ perciò i "quattro" $2$ devono "stare" tutti in quello pari ovvero deve essere un multiplo di $16$.
Poniamo che $k$ sia pari (e quindi multiplo di $16$); i "cinque" non possono stare sia in $k$ che nel suo successivo: se i tre "cinque" sono in $k$ allora $k=2000$ è una soluzione (perché $2001$ è divisibile per tre), altrimenti cerchiamo multipli dispari di $125$ il cui precedente sia multiplo di $16$ e si trova facilmente che $625$ va bene e che $624$ oltre ad essere multiplo di $16$ è anche divisibile per tre; perciò abbiamo trovato un $k$ più basso: $k=624$. Si verifica in fretta che l'altro fattore non può essere un multiplo di $125$ con un $k$ più basso.
Adesso ipotizzi che $k+1$ sia pari e ripeti lo stesso ragionamento; arrivi velocemente alla conclusione che non ci sono soluzioni minori.
Almeno mi pare ...
Cordialmente, Alex
Buongiorno,
Confermo che $624$ è il più piccolo $ k$ con quelle caratteristiche.
Se può interessare, iniziando dal numero $1$ abbiamo:
$624, 687, 1312, 1375, 1999, 2000$
per poi ripetersi:
$2624, 2687, 3312, 3375, 3999, 4000,$ ecc.
Ciao.
aldo
Confermo che $624$ è il più piccolo $ k$ con quelle caratteristiche.
Se può interessare, iniziando dal numero $1$ abbiamo:
$624, 687, 1312, 1375, 1999, 2000$
per poi ripetersi:
$2624, 2687, 3312, 3375, 3999, 4000,$ ecc.
Ciao.
aldo
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