Somma di potenze
Buongiorno
Vorrei proporre un quesito.
Il numero 93084 (non è il solo) è uguale a 9^5+3^5+0^5+8^5+4^5 cioè è formato dalla somma delle sue cifre elevate all'esponente che corrisponde al numero delle sue cifre. Si chiede, qual è il numero successivo con le medesime caratteristiche? E il più piccolo in assoluto?
ciao
aldo
Vorrei proporre un quesito.
Il numero 93084 (non è il solo) è uguale a 9^5+3^5+0^5+8^5+4^5 cioè è formato dalla somma delle sue cifre elevate all'esponente che corrisponde al numero delle sue cifre. Si chiede, qual è il numero successivo con le medesime caratteristiche? E il più piccolo in assoluto?
ciao
aldo
Risposte
Beh il più piccolo è evidentemente $1=1^1$
per il successivo, bisogna pensarci un po'
per il successivo, bisogna pensarci un po'
Si, scusa, non sono stato molto attento alle possibili interpretazioni che gli altri possono dare a quello che scrivo. Ho notato che ho dimenticato di specificare che il numero non deve essere negativo, nè decimale, ma francamente ho dimenticato di escludere il numero 1 (uno), numero che ha creato molti grattacapi persino ai matematici puri, portandoli ad escluderlo dai numeri primi assoluti, e anche dai numeri composti modificando la definizione di numero primo:un numero intero p diverso da 1 si dice primo assoluto quando non ammette altri divisori che 1 e se stesso. Un numero si dice composto quando ammette almeno un divisore diverso da 1 e da se stesso. 
Grazie di averemi risposto, comunque i numeri da trovare sono sempre 2, escludendo il numero 1 sia come numero che come esponente ( 0=0^1).
ciao
aldo
Grazie di averemi risposto, comunque i numeri da trovare sono sempre 2, escludendo il numero 1 sia come numero che come esponente ( 0=0^1).
ciao
aldo
Ok allora il problema è trovare $n in NN_0$ tale che, $n$ abbia $k$€ cifre e detta $a_ka_(k-1)...a_2a_1$ la sua scrittura decimale,
si abbia $a_k*10^k+a_(k-1)10^k-1+...+a_2*10+a_1=a_k^k+a_(k-1)^k+...+a_2^k+a_1^k$.
con questo metodo si può vedere che non ci sono numeri di questo tipo di 2 cifre, e comunque si tratta sempre di risolvere diofantee, ma con numeri grandi sono lunghe e sempre più difficili da fare, ma fattibili.
si abbia $a_k*10^k+a_(k-1)10^k-1+...+a_2*10+a_1=a_k^k+a_(k-1)^k+...+a_2^k+a_1^k$.
con questo metodo si può vedere che non ci sono numeri di questo tipo di 2 cifre, e comunque si tratta sempre di risolvere diofantee, ma con numeri grandi sono lunghe e sempre più difficili da fare, ma fattibili.
ok! il più piccolo ha tre cifre. Per gli altri, pur vedendo le tue capacità matematiche, credo che si possano trovare solamente con linguaggi per PC. Se riesci a trovare qualcosa e me lo dirai te ne sarò grato. Con tre cifre ce ne sono 4. Ho visto che sei in testa alla gara Q.I.M. Io ne ho ciccato una per disattenzione nel cliccare! Pazienza!
di tre cifre ho trovato l'unico con una cifra uguale a zero, cioè $407$.
se dici che ce ne sono quattro, gli altri tre avranno tutte le cifre diverse da zero... non sono andata avanti nella ricerca.
se dici che ce ne sono quattro, gli altri tre avranno tutte le cifre diverse da zero... non sono andata avanti nella ricerca.
OK 407, 370 è l'altro con uno zero. Gli altri due non hanno zeri.
"al_berto":
OK 407, 370 è l'altro con uno zero. Gli altri due non hanno zeri.
credevo di aver dimostrato che la cifra delle unità dovesse essere maggiore di 1. evidentemente ho sbagliato qualche calcolo.
Beh se c'è il $370$ allora c'è anche il $371$.
e siamo a 3. Inoltre mi pare che non ci possano essere numeri di questo tipo a 3 cifre in cui compaiono $8$ o $9$.
sappiamo che non ce ne sono con $0$.. Siamo a buon punto!
Evviva! con un po' di tentativi sensati ho trovato anche 153.
e siamo a 3. Inoltre mi pare che non ci possano essere numeri di questo tipo a 3 cifre in cui compaiono $8$ o $9$.
sappiamo che non ce ne sono con $0$.. Siamo a buon punto!
Evviva! con un po' di tentativi sensati ho trovato anche 153.
Sono stai definiti "Numeri invarianti perfetti"
Vedi qui
Si rivede di nuovo il 153, numero da mille curiosità.
Vedi qui
Si rivede di nuovo il 153, numero da mille curiosità.
Complimenti a tutti. Comunque si può usare il seguente programmino in linguaggio Just Basic:
for a =1 to 9
for b= 0 to 9
for c= 0 to 9
for d= 0 to 9
for e= 0 to 9
for f= 0 to 9
num=a*100000+b*10000+c*1000+d*100+e*10+f
if a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6 =num then print a;b;c;d;e;f
if num=999999 then end
next f
next e
next d
next c
next b
next a
for a =1 to 9
for b= 0 to 9
for c= 0 to 9
for d= 0 to 9
for e= 0 to 9
for f= 0 to 9
num=a*100000+b*10000+c*1000+d*100+e*10+f
if a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6 =num then print a;b;c;d;e;f
if num=999999 then end
next f
next e
next d
next c
next b
next a
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