Somma di dadi

[hydro1]

Dedicato ad axpgn che mi sembra appassionato di questi problemi.

Supponete di tirare due dadi non truccati. Si vede facilmente che la probabilità che la somma dei risultati sia pari è $1/2$. E' anche facile verificare che se almeno uno dei due risultati è un $1$, la probabilità che la somma dei dadi sia pari non è più $1/2$, ma $5/11$. D'altra parte la stessa cosa è vera anche se almeno uno dei due risultati è un $2$, un $3$, un $4$, un $5$ o un $6$. Ora facciamo il seguente gioco: io tiro due dadi non truccati e vi annuncio uno dei due risultati. E' conveniente scommettere sul fatto che la somma sia dispari? Siamo certamente in uno dei casi sopracitati...

[axpgn]

Quando tiri due dadi metà delle somme è pari e l'altra metà è dispari.
Quando annunci che è uscito il numero 1, non cambia niente perché hai sei coppie che hanno 1 come primo numero e altre sei coppie che hanno 1 come secondo numero.

[gabriella127]

Allora. Metto qualche numero se no non ci capiamo. Ricordo che la domanda è: qual è l'inghippo nel ragionamento riportato da hydro (non se è vero che la probabilità di somma dispari è maggiore):

"hydro":Ok, forse non mi sono spiegato bene. Lancio due dadi, e vi dico: “almeno uno dei due tiri e’ un 1”. Siccome i lanci possibili sono $(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)$ e quindi sono 11 di cui 5 hanno somma pari, e’ piu’ probabile che la somma sia dispari che pari (un po’ come il fatto che se io ho due figli e vi dico che almeno uno e’ maschio, la probabilità che il secondo sia maschio non e’ $1/2$ ma $1/3$). D’altra parte se io vi dico “almeno uno dei due tiri e’ un 2”, lo stesso ragionamento applica identico. Ma anche se vi dico “almeno dei due tiri e’ un 3”, e lo stesso con 4,5,6. Sembra che ne consegua che la probabilità che la somma sia dispari sia maggiore della probabilità che la somma sia pari. D’altra parte se scrivete tutti i lanci possibili di 2 dadi vi accorgerete che la meta’ esatta ha somma pari. Dove sta l’inghippo?

Calcoliamo la probabilità che esca una somma dispari usando le probabilità condizionate.

Abbiamo stabilito che la probabilità che esca dispari una volta detto 'è uscito questo numero' è $6/11$,
probabilità condizionata che chiamo $P(D//A)$, dove $D$ è l'evento 'è uscita somma dispari' e $A$ è l'evento 'è uscito il numero tot $A$ in uno dei due lanci'.

Quindi $P(D//A)=6/11 >1/2$,


A questo punto l'uomo della strada, malamente imbevuto di calcolo delle probabilità (non noi di certo ) direbbe:

"La probabilità una volta annunciato un numero che la somma sia dispari è $P(D//A)=6/11$, quindi se vado a guardare l'unione dei possibili casi (numero uscito e annunciato) mi calcolo la probabilità a priori che la somma sia dispari, e risulterà maggiore di $1/2$ visto che in ogni caso singolo è maggiore di $1/2$.
Andiamo a vedere qual è la probabilità a priori che esca una somma dispari nel lancio di due dadi, a partire da questa conoscenza che è $P(D//A)=6/11>1/2$, sapendo che ho sei numeri possibili che escono in un singolo lancio di dado":

Probabilità che esca una somma dispari=
= $(1/6+1/6-1/36)6/11+ (1/6+1/6-1/36)6/11+ (1/6+1/6-1/36)6/11+ (1/6+1/6-1/36)6/11+ (1/6+
1/6-1/36)6/11+ (1/6+1/6-1/36)6/11= (1/6+1/6-1/36 )6/11\cdot 6= 1$

dove $(1/6+1/6-1/36)$ è la probabilità che esca un numero specifico in due lanci: probabilità che esca nel primo lancio più probabilità che esca nel secondo meno la probabilità dell'intersezione). (E poi lo annuncio, ma vabbè, l'annuncio non serve a niente).

Il procedimento è evidentemente sbagliatissimo, addirittura, se non ho sbagliato i calcoli, esce $1$: si conclude che è certo che esce somma dispari!



Qual è l'errore?
Che quella somma non si può fare, sto applicando le probabilità totali a vanvera , perché gli eventi 'è uscito il $2$ in uno dei due lanci, 'è uscito il $3$ in uno dei due lanci' etc., non sono incompatibili, ci sono le intersezioni, ad esempio può uscire il risultato $2,3$.

Quindi devo applicare le probabilità totali sottraendo le intersezioni.