Somma di dadi

[hydro1]

Dedicato ad axpgn che mi sembra appassionato di questi problemi.

Supponete di tirare due dadi non truccati. Si vede facilmente che la probabilità che la somma dei risultati sia pari è $1/2$. E' anche facile verificare che se almeno uno dei due risultati è un $1$, la probabilità che la somma dei dadi sia pari non è più $1/2$, ma $5/11$. D'altra parte la stessa cosa è vera anche se almeno uno dei due risultati è un $2$, un $3$, un $4$, un $5$ o un $6$. Ora facciamo il seguente gioco: io tiro due dadi non truccati e vi annuncio uno dei due risultati. E' conveniente scommettere sul fatto che la somma sia dispari? Siamo certamente in uno dei casi sopracitati...

[Studente Anonimo]

Dipende come ce lo annunci
Se ci dici: "è uscito un 'whatever'" allora è conveniente scommettere sulla somma dispari. Se invece annunci: "il primo dado è un 'whatever'" allora è sempre \(1/2\).

[hydro1]

@3m0o: l'annuncio è della forma "Uno dei due risultati è X", e non "il risultato del primo dado è X". E comunque no, la risposta non è corretta.

[axpgn]

Se non ho capito male il testo, se annunci il valore di uno dei dadi allora la probabilità è sempre $1/2$ perché potresti annunciare il valore del primo o del secondo dado e in tal modo i casi restanti sono 3 a 3 mentre nel caso del testo in cui affermi che la probabilità del pari è $5/11$ scrivi "uno dei due" e quindi conti come unico l'evento $(n,n)$

IMHO

[Studente Anonimo]

Sia \(A = \text{la somma è pari}\), \( B=\text{la somma è dispari}\) e \(C=\text{è uscito almeno un } n\) con \(1 \leq n \leq 6 \) arbitrario e fissato. Per scommettere dobbiamo trovare \( \mathbb{P}(A \cap C) \) e \( \mathbb{P}(B \cap C) \), oppure \( \mathbb{P}(B \mid C) \) e \( \mathbb{P}(A \mid C) \).

Abbiamo che la probabilità \( \mathbb{P}(C)= \frac{1}{6} \frac{5}{6} + \frac{5}{6}\frac{1}{6} + \frac{1}{6} \frac{1}{6} = \frac{11}{36} \). Chiaramente \( \mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(B)=1/2\). Per trovare \( \mathbb{P}(A \cap C) \) vediamo che se sono usciti due \(n\) allora la somma è pari, altrimenti se non sono entrambi uguale ad \(n\), il dado che non è \(n\) ha solo due possibilità per far si che la somma sia pari, per un totale di \(5\) possibilità su \(11\). In modo simile \( \mathbb{P}(B \cap C)\), vediamo che un dado dev'essere \(n\) e l'altro diverso, il dado diverso da \(n\) ha \(3\) possibilità. Per un totale di \(6 \) possibilità.
\[ \mathbb{P}(B \mid C) = \frac{ 6/36}{11/36} = \frac{6}{11} \]
\[ \mathbb{P}(A \mid C)= \frac{ 5/36 }{11/36} = \frac{5}{11} \]

Se mi dici anche per quale dado è uscito \(n\), essendo i lanci indipendenti, l'altro ha sempre \(3\) possibilità su \(6\).

Non capisco perché mi dici che è sbagliata.

[Studente Anonimo]

Ahh tu sai qual è il dado, e mi dici il primo o il secondo

[hydro1]

Ok, forse non mi sono spiegato bene. Lancio due dadi, e vi dico: “almeno uno dei due tiri e’ un 1”. Siccome i lanci possibili sono $(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)$ e quindi sono 11 di cui 5 hanno somma pari, e’ piu’ probabile che la somma sia dispari che pari (un po’ come il fatto che se io ho due figli e vi dico che almeno uno e’ maschio, la probabilità che il secondo sia maschio non e’ $1/2$ ma $1/3$). D’altra parte se io vi dico “almeno uno dei due tiri e’ un 2”, lo stesso ragionamento applica identico. Ma anche se vi dico “almeno dei due tiri e’ un 3”, e lo stesso con 4,5,6. Sembra che ne consegua che la probabilità che la somma sia dispari sia maggiore della probabilità che la somma sia pari. D’altra parte se scrivete tutti i lanci possibili di 2 dadi vi accorgerete che la meta’ esatta ha somma pari. Dove sta l’inghippo?

[axpgn]

L'inghippo sta nel fatto che $(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)$ son tutte a somma pari

[gabriella127]

Perché ci sono le intersezioni, tra i risultati possibili, nel caso tu annunci il risultato di uno dei due dadi.

Mi spiego.

Caso $1)$ Tu annunci "Uno (almeno) dei due risultati è $1$. Casi possibili:
$(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)$

Caso $2)$ Tu annunci "Uno dei due risultati è $2$. Casi possibili:
$(2,2), (2,1), (1,2), (2,3), (3,2), (2,4), (4,2), (2,5), (5,2), (2,6), (6,2)$

Caso $3)$ Tu annunci "Uno dei due risultati è $3$. Casi possibili:
$(3,3), (3,1), (1,3, ) (3,2), (2,3), (3,4), (4,3), (3,5), (5,3), (3,6, ) (6,3)$

Tu annunci, etc. etc.

Come si vede, ci sono intersezioni, $(1,2)$ ad esempio appartiene sia al Caso $1)$ che al Caso $2)$, $(3,2)$ appartiene sia al caso $2)$ che al caso $3)$, etc.

Quindi, se si va a calcolare la probabilità che il risultato sia pari o dispari, bisogna tenere conto che non sono eventi incompatibili, e quindi le intersezioni vanno sottratte.

Non si può sommare le probabilità che il risultato sia dispari nei singoli casi e via, per dire che è più probabile che la somma sia dispari.

[hydro1]

@axpgn: no, non e’ quello il motivo.

@gabriella:

Hai intravisto la direzione giusta, ma non e’ una spiegazione sufficiente. Anche nel caso dei figli le intersezioni non sono nulle, pero’ e’ vero che se io ho due figli di cui uno e’ maschio, la probabilità che l’altro sia maschio e’ 1/3.

[gabriella127]

Per la verità, nel caso dei figli non vedo intersezioni: se dico 'un figlio è maschio'
i casi possibili sono tre:

maschio-maschio
maschio- femmina
femmina- maschio,

che sono incompatibili,
e la probabilità che entrambi siano maschi è $1/3$.


Quello che voglio dire: l'inghippo è che dal fatto che, una volta annunciato un numero, nei singoli casi la probabilità di somma dispari sia maggiore ($6/11$), non puoi evincere che in assoluto la probabilità di somma dispari sia maggiore, perché se vai a fare l'unione degli eventi dei singoli casi devi togliere le intersezioni.


Se qualcuno (badate ben, non io, cit. ) avesse la pazienza di mettersi a fare i calcoli dell'unione dei vari casi in cui si annuncia che è uscito un numero, credo che le probabilita di pari e dispari verrebbero $1/2$ e $1/2$, com'è naturale ex ante.

[gabriella127]

Provo a fare un parallelo con il gioco dei fratelli maschio e femmina, anche se mettiamo altra carne a cuocere, e in queste cose è più facile pensare che comunicare.

Però i problemi secondo me sono uguali, se al posto di maschio-femmina mettiamo pari e dispari.

La somma pari può venire da una coppia pari-pari, o da una coppia dispari-dispari. Una somma dispari da dispari-pari o pari-dispari.

Si può ricondurre, nel caso dei fratelli a dire: 'dello stesso sesso' o 'di sessi diversi'.

Annuncio:
"Uno dei due è maschio". Probabilità che siano i sessi diversi stesso sesso qual è?

Le coppie piossibili sono
Maschio maschio
maschio femmina
femmina femmina

Quindi la probabilità che siano di sessi diversi è $2/3$

Annuncio.
"Uno dei due è femmina". Probabilità che siano di sessi diversi?

Le coppie possibili sono:

Femmina femmina
maschio femmina
femmina maschio

Quindi, probabilità che siano di sessi diversi $2/3$

Da questo non puoi evincere che ex ante la probabilità che siano di sessi diversi è maggiore.
Viene così perché nel singolo caso si è esclusa una delle coppie dello stesso sesso.

Allo stesso modo, nel caso dei numeri, quando annunci un numero, ad esempio $2$, stai escludendo una coppia di due numeri dispari, cioè di somma pari, o se annunci ad esempio $1$ stai escludendo una coppia di numeri pari ,cioè di somma apri. PercIò viene che è più probabile la somma dispari.

Ma sei vai a fare il calcolo della probabilità ex ante, con il teorema delle probabilità totali, le probabilità devono tornare $1/2$ e $1/2$.

[hydro1]

@gabriella

Sul fatto che non si possa dedurre che la probabilità che la somma sia dispari è più alta non ci piove, perchè ex ante sappiamo che le probabilità sono uguali. Sul fatto che se io ho lanciato due dadi e uno dei due risultati è 1 (o anche qualsiasi altro numero) la probabilità che la somma sia dispari è più alta, anche non ci piove (non c'è nessun inghippo qua, è tutto vero). Ora immagina il gioco: io lancio due dadi e ti dico: "almeno uno dei due risultati è 1". Adesso ti ho messa nella situazione di sopra, ovvero ho escluso una serie di outcome e la probabilità che la somma sia dispari è più alta. Quindi se tu dovessi scommettere ti converrebbe scommettere sulla somma dispari, giusto?

[gabriella127]

hydro, non ho capito allora qual è la domanda, e non ho capito che stai dicendo.
Io ho risposto alla domanda che hai posto, qual è l'inghippo?
Nel tuo post precedente, per chiarire il problema:

"hydro":Ok, forse non mi sono spiegato bene. Lancio due dadi, e vi dico: “almeno uno dei due tiri e’ un 1”. Siccome i lanci possibili sono $(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)$ e quindi sono 11 di cui 5 hanno somma pari, e’ piu’ probabile che la somma sia dispari che pari (un po’ come il fatto che se io ho due figli e vi dico che almeno uno e’ maschio, la probabilità che il secondo sia maschio non e’ $1/2$ ma $1/3$). D’altra parte se io vi dico “almeno uno dei due tiri e’ un 2”, lo stesso ragionamento applica identico. Ma anche se vi dico “almeno dei due tiri e’ un 3”, e lo stesso con 4,5,6. Sembra che ne consegua che la probabilità che la somma sia dispari sia maggiore della probabilità che la somma sia pari. D’altra parte se scrivete tutti i lanci possibili di 2 dadi vi accorgerete che la meta’ esatta ha somma pari. Dove sta l’inghippo?

A questo, qual è l'inghippo, ho risposto, cone si spiega questa falsa apparenza che i casi di somma dispari sono più probabili.
Che non ci piove è chiaro, il ragionamento è abbastanza evidente, e non saprei come altro spiegare qual è il vizio logico del possibile ragionamento.
Ma non ci piove dopo che uno l'ha detto, quando uno dice una cosa dopo è ovvia, ma nessuno fin'ora l'aveva detto.

Poi, se la domanda è un'altra, non l'ho capita, io ho capito quello che hai scritto sopra.

[gabriella127]

"hydro":@gabriella

Ora immagina il gioco: io lancio due dadi e ti dico: "almeno uno dei due risultati è 1". Adesso ti ho messa nella situazione di sopra, ovvero ho escluso una serie di outcome e la probabilità che la somma sia dispari è più alta. Quindi se tu dovessi scommettere ti converrebbe scommettere sulla somma dispari, giusto?

Questo l'abbiamo già detto, non ho capito di cosa stai parlando

[Studente Anonimo]

Io temo di non aver capito la domanda.

Denotiamo \(S_1= \text{ la somma è pari} \) e \(S_2= \text{la somma è dispari} \) e l'evento \(A_n= \text{è uscito almeno un } n \) con \( 1 \leq n \leq 6 \).
Se ho capito bene stai chiedendo: Perché è vero che \( \mathbb{P}(S_1)=\mathbb{P}(S_2)=1/2\) se abbiamo che \( \mathbb{P}\left( \bigcup_{1\leq n \leq 6} A_n \right) = 1 \) e \( \mathbb{P}\left(S_1 \mid A_n \right) = \frac{5}{11} \) e \( \mathbb{P}\left(S_2 \mid A_n \right) = \frac{6}{11} \) per ogni \( 1 \leq n \leq 6 \) ?
E' questo che stai chiedendo?
Insomma devo scommettere prima o dopo che ci dici il numero?

Edit:

Se stai chiedendo questo, il punto è che gli eventi \(A_n\) non sono disgiunti, infatti se \(n \neq m \) abbiamo che \(A_n \cap A_m = \{ (m,n), (n,m) \} \). E quindi non è vero che
\[\mathbb{P}(S_1) = \sum_{1 \leq n \leq 6} \mathbb{P}(S_1 \mid A_n) \mathbb{P}(A_n) < \sum_{1 \leq n \leq 6} \mathbb{P}(S_2 \mid A_n) \mathbb{P}(A_n) = \mathbb{P}(S_2) \]
l'errore sta nella prima e nel ultima uguaglianza, mentre la disuguaglianza è giusta!

[hydro1]

"gabriella127":[quote="hydro"]@gabriella

Ora immagina il gioco: io lancio due dadi e ti dico: "almeno uno dei due risultati è 1". Adesso ti ho messa nella situazione di sopra, ovvero ho escluso una serie di outcome e la probabilità che la somma sia dispari è più alta. Quindi se tu dovessi scommettere ti converrebbe scommettere sulla somma dispari, giusto?

Questo l'abbiamo già detto, non ho capito di cosa stai parlando

[/quote]

Il punto è che se accetti quello che ti ho scritto qui, segue che la tua scommessa ha valore atteso positivo. Il che è bizzarro perchè la strategia vincente è indipendente dal numero che ti dico, è sempre "scommetti sulla somma dispari". C'è un problema (sottile) nel mio "ragionamento" che hai quotato.

[hydro1]

"3m0o":Io temo di non aver capito la domanda.

Denotiamo \(S_1= \text{ la somma è pari} \) e \(S_2= \text{la somma è dispari} \) e l'evento \(A_n= \text{è uscito almeno un } n \) con \( 1 \leq n \leq 6 \).
Se ho capito bene stai chiedendo: Perché è vero che \( \mathbb{P}(S_1)=\mathbb{P}(S_2)=1/2\) se abbiamo che \( \mathbb{P}\left( \bigcup_{1\leq n \leq 6} A_n \right) = 1 \) e \( \mathbb{P}\left(S_1 \mid A_n \right) = \frac{5}{11} \) e \( \mathbb{P}\left(S_2 \mid A_n \right) = \frac{6}{11} \) per ogni \( 1 \leq n \leq 6 \) ?
E' questo che stai chiedendo?
Insomma devo scommettere prima o dopo che ci dici il numero?

Edit:

Se stai chiedendo questo, il punto è che gli eventi \(A_n\) non sono disgiunti, infatti se \(n \neq m \) abbiamo che \(A_n \cap A_m = \{ (m,n), (n,m) \} \). E quindi non è vero che
\[\mathbb{P}(S_1) = \sum_{1 \leq n \leq 6} \mathbb{P}(S_1 \mid A_n) \mathbb{P}(A_n) < \sum_{1 \leq n \leq 6} \mathbb{P}(S_2 \mid A_n) \mathbb{P}(A_n) = \mathbb{P}(S_2) \]
l'errore sta nella prima e nel ultima uguaglianza, mentre la disuguaglianza è giusta!

Questo è tutto chiaro. La mia domanda è: trova l'errore nel seguente ragionamento.

Io tiro due dadi, ti dico che è uscito almeno un $X$, con $X\in \{1,\ldots,6\}$ e senza mentire, e ti chiedo di scommettere sulla parità della somma (con pagamento alla pari ovviamente, e dopo che hai avuto l'informazione da parte mia). Siccome quando c'è almeno un $X$ la probabilità che la somma sia dispari è più alta, ti conviene scommettere sul fatto che la somma sia dispari. Quindi, la tua scommessa ha valore atteso positivo. Siccome questo è indipendente da $X$, una strategia con valore atteso positivo è scommettere sempre sul fatto che la somma sia dispari.

E' chiaro che la strategia "scommettere sempre sulla somma dispari" ha valore atteso 0, non sto chiedendo di dimostrarlo, sto chiedendo quale delle implicazioni di sopra è sbagliata.

[Studente Anonimo]

Edite

Ok, ho capito, ora sono fuori e non posso controllare, ma direi che l'errore sta nel fatto che non è il valore atteso ad essere positivo, ma il valore atteso condizionato (condiational expectation) ad essere positivo, e dunque certo che dipende da X, per esempio se mi dici X=x, l'evento (y,z) con y e z diversi da x, che a priori è un evento possibile, non è più possibile

[axpgn]

Boh, a me sembra che abbiamo detto la stessa cosa ...

[gabriella127]

"hydro":[quote="gabriella127"][quote="hydro"]@gabriella

Ora immagina il gioco: io lancio due dadi e ti dico: "almeno uno dei due risultati è 1". Adesso ti ho messa nella situazione di sopra, ovvero ho escluso una serie di outcome e la probabilità che la somma sia dispari è più alta. Quindi se tu dovessi scommettere ti converrebbe scommettere sulla somma dispari, giusto?

Questo l'abbiamo già detto, non ho capito di cosa stai parlando

[/quote]

Il punto è che se accetti quello che ti ho scritto qui, segue che la tua scommessa ha valore atteso positivo. Il che è bizzarro perchè la strategia vincente è indipendente dal numero che ti dico, è sempre "scommetti sulla somma dispari". C'è un problema (sottile) nel mio "ragionamento" che hai quotato.

[/quote]

L'ho detto sopra, ridico in altra salsa: il valore atteso che la somma sia dispari, è positivo nel caso venga prima detto cos'è uno dei due numeri, cioè se scommetti dopo aver saputo che è stato annunciato un numero, è il valore atteso condizionato a questo. (E si sa che dopo l'annuncio di un numero si sta scegliendo in un insieme in cui mancano le coppie di due pari o di due dipari, a seconda del numero annunciato).
Ma non si può da questo saltare alla conclusione che il valore atteso a priori sia positivo, perché uno ha l'idea di fare la somma delle probabilità dei singoli casi in cui vien annunciato prima un numero: non si può dire: "visto che qualunque numero annunciato la probabilità di dispari è maggiore, l'unione dei casi dirà che per il dispari è tout court, ex ante, maggiore".

Come si spiega la discrepanza? Se uno vuole calcolare la probabilità di somma dispari a partire da quelle probabilità ex post (dopo annuncio numero), non è che può fare la somma delle probabilità dei singoli casi, deve usare il teorema delle probabilità totali togliendo le intersezioni, visto che non si tratta di eventi incompatibili.
E scommetto che viene $1/2$.