Somma di cubi

[axpgn]

Sappiamo che $1^3+2^3=3^2$.

Trovare altri due razionali positivi tali per cui la somma dei loro cubi faccia $9$.


Cordialmente, Alex

[dan952]

Nessuno (positivo).

Edit: Poniamo $(b,d)=1$.
Supponiamo che esistano due razionali tali che $(a/b)^3+(c/d)^3=9$ dunque $a^3d^3+b^3c^3=9b^3d^3$, poniamo $x=ad$, $y=bc$ e $z=bd$, da cui $(x,z)>1$ e $(y,z)>1$ (se non consideriamo le soluzioni $x=1$ e $y=2$), da qui possiamo distiguere due casi:
1) Se $(x,y)=1$ allora segue $(x,z)=1$ ($(y,z)=1$), infatti $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$, essendo $(x,y)=1$ segue che $(x,x+y)=1$ e $(x,x^2+y^2)=1$ dunque $(x,z)=1$, contro l'ipotesi iniziale.
2) se $(x,y)=n>1$ (supponiamo $n$ non divisibile per $3$) allora $n^3x_0^3+n^3y_0^3=9z_0^3n^3$, basta dividere per $n^3$ e tornare al primo caso.
Se $3|n$ allora ponendo $n=3k$ si ha $27k^3x_0^3+27k^3y_0=27k^3\frac{z_0^3}{3} \Rightarrow 3(x_0^3+y_0^3)=z_0^3$, da cui segue che $3|z_0$ e quindi $x_0^3+y_0^3=9z_1^3$, con $(x_0,y_0)=1$, cioè si siamo ricondotti al primo caso.

[axpgn]

Mi spiace dirtelo, ma esistono ...

Se tu hai ragione, allora avremmo un grosso problema ...

Cordialmente, Alex

[dan952]

Ci sono tre possibilità:
- Hai perso le capacità di calcolo
- Io ho perso le capacità di calcolo
- La matematica è un opinione

Ora la prima la escludo, la terza pure rimane la seconda quindi o ho sbagliato in qualche passaggio o la dimostrazione non tiene conto di qualcosa o la stessa non esclude le soluzioni che dici di aver trovato.

[axpgn]

Penso di aver trovato il punto debole ...

Poniamo $a=11*13, b=5, c=11*17, d=7$ allora $x=11*13*7, y=11*17*5, z=5*7$ e $(x,y)=11$.
Ma allora $z_0$ non può essere intero ... credo ...

Cordialmente, Alex

[dan952]

Bisogna scegliere a,b,c,d in modo che $(a/b)^3+(c/d)^3=9$ cioè che la somma dei loro cubi sia un intero, Tagliamo la testa al toro,quali sono queste soluzioni che dici? Magari dimmele in privato...

[axpgn]

Beh, io ne conosco una ... aspetto un po', magari qualcuno la trova, poi la pubblico, che impaziente che sei ...

Cordialmente, Alex

[dan952]

A.A.A Cercasi soluzioni per l'equazione di Alex

[orsoulx]

Come si può non rispondere ad una così pressante richiesta (solo il sadico Alex può restare impassibile di fronte a cotanta sofferenza). Ed allora, solo per dan95, una proposta, diversa da quella trovata dal malefico, visto che un razionale è negativo:

$ (188479/90391)^3+(-36520/90391)^3=9 $

Ciao
B.

[axpgn]

Notevole!

Cordialmente, Alex

P.S.: Mentre scrivevo il testo mi è venuto il dubbio che TU trovassi una soluzione con un negativo, al che ho aggiunto l'aggettivo "positivo" (che nell'originale non c'era, anche per altri motivi) per evitare che mi accusassi (ingiustamente ) per l'ennesima volta che "mancasse qualcosa" ... sicuro comunque che qualcosa mancherà ...

Non so quanto volontariamente però hai dato un "hint" a dan ...

... e comunque l'ho verificata ...

[orsoulx]

"axpgn":Non so quanto volontariamente però hai dato un "hint" a dan ...

Volontariamente e coscientemente, altrimenti avrei fornito soluzioni diverse: ad esempio con i negativi ne ho una con numeri piccolini ed altre, anche con numeri tutti positivi grandi o moooolto grandi.
Potrei venderti una soluzione ad un centesimo a cifra, non mi arricchirei, ma una cena coi fiocchi ci starebbe comoda.
Ciao
B.

[dan952]

Ho capito la falla nella dimostrazione...

[dan952]

Non avevo verificato il caso $a^3+b^3=9c^3$ coprimi due a due, si può facilmente mostrare che deve verificarsi che $3|a+b$ e $3|a^2-ab+b^2$ dunque per trovare le soluzioni si dovrebbe risolvere il sistema:
${(a+b=3u^3),(a^2-ab+b^2=3v^3):}$
con $(u,v)=1$, facendo variare $u$ e $v$ con la speranza che $4v^3-3u^6$ sia un quadrato perfetto

[orsoulx]

@dan95:
visto che Alex, oltre ad essere cattivissimo, è anche tirchio e non pare intenzionato ad offrirmi la cena, ti passo un'altra soluzione: $ (20/7)^3+(-17/7)^3=9 $. Da una qualsiasi terna si può sempre ricavarne altre con un procedimento ricorsivo: questa che ti ho scritto ora deriva dalla (2,1,1) e genera l'altra che ti avevo indicato precedentemente, da quest'ultima si ottiene, finalmente, una soluzione con numeri tutti positivi grandicelli, ma ancora abbordabili....
Ciao
B.

[axpgn]

Io sono buonissimo e nient'affatto tirchio ...
Io ti offro la cena (dove dico io ... ) ma solo se smetti di far soffrire dan e posti la soluzione ... ... (che dovrebbe essere quella con in numeri "più piccoli" ... credo ... )

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Va bene Alex, però la metto in spoiler, cosi dan può legger solo se vuole, anche perché non so se è la tua soluzione.

$ (487267171714352336560/609623835676137297449) ^3+(1243617733990094836481/609623835676137297449)^3=9 $

Ciao
B.

[axpgn]

Sembra che Fermat abbia detto che la soluzione non potesse avere un denominatore con meno di $21$ cifre, come la tua ...
Però questa non è la mia che ne ha meno ...
Ho notato una cosa: la tua soluzione ha valori, per così dire, "esterni" mentre la mia (si fa per dire) li ha "interni" ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Abbandonando la mulattiera e tagliando nel bosco ho trovato altri due funghi, uno non lo mangerei $ (919/438)^3+(-271/438)^3=9 $, ma l'altro è un bel porcino:

$ (415280564497/348671682660)^3+(676702467503/348671682660)^3= 9 $

Alla faccia di Fermat, che quello li non mi è troppo simpatico: scarabocchia sui libri e pretende di avere una 'dimostrazione', senza sottoporla all'altrui verifica.

"axpgn":Io ti offro la cena (dove dico io ... )

Eh No! Poi mi porti a mangiare pane raffermo e cipolle germogliate innaffiate con acqua clorata. Ti propongo un equo compromesso. Andiamo a cena dove dico io (dopo che mi hai indicato le tue preferenze enogastronomiche), quando arriva il conto lo saldi tu nei limiti di 1 centesimo a cifra della soluzione. Se ne avanzano, fai tu; io lascerei la mancia al cameriere. Se non bastassero integro io. Guarda, oggi sono particolarmente benevolo: nelle cifre non includiamo i 3 degli esponenti, il 9 a secondo membro.... ed il denominatore lo contiamo una sola volta.
Ciao
B.
Modificato: eliminato un 2 di troppo su segnalazione di Alex

[axpgn]

Eccola!

"orsoulx":... Poi mi porti a mangiare pane raffermo e cipolle germogliate innaffiate con acqua clorata. ...

No, caro, qui si mangia molto meglio di così ...
Dato che sono poco "social" (come si dice ora), ti rinnovo l'invito ma ti aspetto qui ...

Ciao, Alex

P.S.: C'è un due di troppo nel secondo denominatore ...

[orsoulx]

[quote=axpgn]Eccola!
Mmbèh! Lavoro duro ma piacevole. Senza i tuoi hint non credo ci sarei arrivato. Mi è stato di grande aiuto anche il ricordo di un vecchio problema, dove per arrivare al risultato era necessario trovare tre intersezioni tutte razionali di una retta con un polinomio di terzo grado. Sto cercando di trovare formulazioni ricorsive anche per la secante come ho già fatto con la tangente, ma per ora sono solo a formule lunghe una riga che non vedo come semplificare.

Ciao e grazie
B.

[dan952]

Ricorsiva...ti riferisci alla somma di Poincaré???