Somma di cubi

[axpgn]

Sappiamo che $1^3+2^3=3^2$.

Trovare altri due razionali positivi tali per cui la somma dei loro cubi faccia $9$.


Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@dan95
mi spiace, non conosco la "somma di Poincaré". Se hai finito la ricerca dei funghii e ti interessa, posto il percorso che ho seguito: mi pare abbastanza 'panoramico'.
Ciao
B.

[dan952]

Mediante la somma di Poincaré l'insieme dei punti razionali di una curva ellittica $y^2=x^3+ax+b$ (di Weierstrass) forma un gruppo rispetto a questa operazione, nel nostro caso all'equazione $a^3+b^3=9$ è associata la curva ellittica $y^2=x^3-34992$, lo si verifica ponendo $y=324\frac{a-b}{a+b}$ e $x=108\frac{1}{a+b}$. Sostituendo $a=2$ e $b=1$ troviamo i punti $x_0$ e $y_0$ razionali e da questi attraverso la somma di Poincaré con una seconda soluzione $(x_1,y_1)$ troviamo altri punti razionali della curva da cui ricaviamo nuovi valori razionali per $a$ e $b$.

[orsoulx]

Mi spiace, ma quel che dici è, per me, bello come un libro miniato con cura, ma scritto in arabo: comprensione=0. Ho usato un approccio molto campagnolo partendo dalla tangente alla curva $ x^3+y^3=9 $ nel punto $ (2,1) $, cercando l'ulteriore intersezione (sicuramente razionale) e così di seguito.. per accorgermi che da un punto si può passare al successivo mediante relazioni ricorsive sui valori dei numeratori e del denominatore. Poi, con la dritta di Alex, ho pensato che oltre alla tangente si poteva anche usare la secante (disponendo di due soluzioni diverse e non simmetriche) e così sono arrivato alla soluzione che Alex conosceva, ma non riesco a ridurre ad una forma letterale semplice questo passaggio che ho fatto direttamente coi numeri.
Ciao
B.

[dan952]

Vediamo se ho capito, hai calcolato l'equazione della retta tangente nel punto poi calcoli le coordinate del secondo punto di intersezione, quindi calcoli la tangente in questo punto trovi l'altro punto di intersezione tra la nuova retta e la curva e così via...giusto?

[axpgn]

"orsoulx":... cercando l'ulteriore intersezione (sicuramente razionale) ...

Perché? ... (sto solo cercando di capire, nothing else ... )
Facendo il sistema tra la curva e la tangente ho un'equazione di terzo grado da risolvere, come faccio a priori a stabilire che la soluzione è razionale?
Se così fosse (cioè le intersezioni sono sempre coppie di razionali) allora è chiaro che puoi trovare tutte le soluzioni che vuoi ... e prima o poi capita quella "giusta" ...


Cordialmente, Alex

[orsoulx]

"dan95":giusto?

Giusto.

"axpgn":Perché?

Eh! Anche tu con i perché!
La curva ha coefficienti razionali, la derivata pure, il punto da cui parti ha coordinate razionali, il polinomio che trovi con il sistema avrà coefficienti razionali, due soluzioni coincidenti le conosci e son razionali, come potrà essere la terza soluzione?
Il bello è che il metodo di Ruffini ti consente di lavorare solo con i primi due coefficienti, i restanti, al più, li usi come verifica.
Prova a farlo, le formule ricorsive che vengono fuori sono molto carine.
Mica vero che prima o poi capiti su quella 'giusta': il numero di cifre cresce in maniera consistente (ad ogni passo elevi sostanzialmente alla quarta). Sono arrivato al settimo punto (quello della cena) e sai quante sono le cifre di ciascuno dei tre numerini? 5405.
Invece con la secante (come mi hai suggerito), crescono anche lì, ma con più calma. La 'soluzione l'ho trovata facendo la secante con il primo punto trovato ed il simmetrico di quello da cui ero partito, ed è venuto piccolino ma con un segno sbagliato. La tangente da questo mi ha mandato nel posto 'giusto'.
Ciao
B.

[axpgn]

"orsoulx":Eh! Anche tu con i perché!

Voglio solo imparare ...

Il tuo procedimento mi ha fatto tornare in mente un altro problema (che vado a postare da un'altra parte ...); non saprei dire se sono collegati o meno ... solo tu puoi dirlo ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Metto in spoiler le formule per passare da un punto razionale al successivo.

Dato $ P(n/d,m/d) $ la tangente in $ P $ alla curva $ x^3+y^3=9 $ interseca ulteriormente la cubica nel punto $ \overline P((\overline n)/ (\overline d),(\overline m)/ (\overline d))$ con
$ \overline n /n=9+m^3=n^3+2m^3 $

$ \overline m /m=-(9+n^3)=-(2n^3+m^3) $

$ \overline d /d=-( \overline n /n+\overline m /m)=n^3-m^3$

"axpgn": un altro problema (che vado a postare da un'altra parte ...)

Per questa volta eviterò di cercare una soluzione, non ho più l'età per i girotondi.
Ciao
B.

[axpgn]

Non ho capito ... intendi una soluzione per l'altro?

[orsoulx]

L'interpretazione è lasciata al lettore. Ognuno può adattarla al suo pensiero.
Ciao
B.

[axpgn]

Criptico più che mai ...