Semicerchio

[axpgn]

Sia dato un semicerchio di diametro $AB$ e di centro $O$.
Si scelga un punto $M$ qualsiasi del segmento $\bar(AO)$, estremi esclusi.
Uscenti dal punto $M$ si traccino due semirette, intersecanti il semicerchio in $P$ e in $Q$, in modo tale che gli angoli $A\hatMP, P\hatMQ, Q\hatMO$ siano uguali e pari a $60°$.

Quanto è lungo $\bar(PQ)$?


Cordialmente, Alex

[Drazen77]

$\bar{PQ}=\bar{AO}$

[axpgn]

Dimostralo

[Drazen77]

Se traccio $\bar{PO}$ e $\bar{QO}$ ottengo un triangolo isoscele, che ha un angolo di $60°$ in $O$, quindi il triangolo $\hat{P O Q}$ non è solo isoscele, ma addirittura equilatero, quindi $\bar{PQ}=\bar{AO}$.

[axpgn]

Per quale motivo $P\hatOQ=60°$ ?

[Drazen77]

Perché se l'angolo PMQ=60, allora anche l'angolo POQ=60 (per la proprietà di cui non ricordo il nome eh eh eh)

[axpgn]

Eh, no, quello vale per gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco; mai sentito che funzioni allo stesso modo per "angoli al diametro" (infatti non è vero ).

Riprova


Cordialmente, Alex

[Drazen77]

Hai ragione, mi sono confuso con gli angoli alla circonferenza...

[Drazen77]

Riprovo così

Disegno 1: Posiziono M in modo che Q sia sulla perpendicolare di O, in questo modo nel
Disegno 2 ho la certezza che il triangolo POQ sia equilatero (perché PO=QO e l'angolo in Q=60°), quindi PQ=AO.

Disegno 3: se traslo M in un'altra posizione il triangolo POQ ruota rimanendo comunque equilatero, quindi per ogni posizione di M, PQ=AO.

[axpgn]

Ci sono almeno un paio di cose che non mi tornano ...

Quale sarebbe il motivo per cui l'angolo $M\hatPQ$ sarebbe retto?
Perché spostando il punto $M$ le intrersezioni delle due semirette con il semicerchio dovrebbero coincidere con gli estremi del lato del triangolo ruotato?
Mi pare tu stia mescolando tesi e ipotesi

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

Se dalla retta $\bar{PQ}$ traccio la retta $\bar{QN}$ con un'apertura di $60°$, mi accorgo che $N$ coincide con $O$.
Quindi $\bar{PN}=\bar{QN}=r$ e dato che $P\hat QN=60°$, allora il triangolo $PQN$ è equilatero.

[axpgn]

"Drazen77":... mi accorgo che $N$ coincide con $O$. ...

"mi accorgo" ? Ma che dimostrazione è?
Allora facevi prima a misurare direttamente $PQ$ ...

[axpgn]

Ecco la soluzione ...

Disegniamo l'altra metà del cerchio e fissiamo su di essa il punto $P'$, il simmetrico del punto $P$ rispetto al diametro $AB$.

Quindi $A\hatMP'=A\hatMP=60°$ e ne consegue che l'angolo $Q\hatMP'$ è piatto e i tre punti $Q, M, P'$ sono allineati.
Perciò l'angolo $P\hat(P')Q$ è un angolo alla circonferenza ed è pari a $30°$ e il relativo angolo al centro $P\hatOQ$ è pari a $60°$ e quindi il triangolo $POQ$ è equilatero.
Si conclude che $PQ$ è lungo quanto il raggio.

Cordialmente, Alex