Secret Santa.

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Quattro amici: Andrea, Beatrice, Celeste e Daniele, decidono di fare un secret santa. Ovvero ciascuno fa un regalo a qualcuno d'altro e ciascuno riceve un regalo da qualcuno d'altro. Il tutto anonimamente fino allo scambio dei regali.
Per decidere chi fa il regalo a chi, in modo un po' naif, i quattro amici optano di operare nel seguente modo.
Ciascuno, su un foglietto, scrive il proprio nome e lo inserisce in un cappello. A turno pescano un foglietto, il nome pescato sarà la persona a cui dover fare il regalo di natale.
Se, per contro, sul foglietto pescato c'è scritto il proprio nome allora si rimette dentro al cappello - poiché nessuno può fare un regalo a se stesso - e si pesca nuovamente fintanto che non si pesca un foglietto con il nome di qualcun altro. Poi il cappello passa al successivo che pesca un foglietto.
Se l'ultimo pesca il proprio nome si rifà tutto d'accapo poiché scambiare i biglietti non può funzionare siccome non sarebbe più anonimo. L'ordine con cui pescano è quello alfabetico: prima Andrea poi Beatrice, in seguito Celeste ed infine Daniele.
Daniele spera di pescare Celeste, poiché ci tiene particolarmente a farle un regalo. Può dirsi speranzoso di pescare il foglietto con su il nome di Celeste? E se fosse Beatrice a voler fare un regalo a Celeste?

Eugenio, Flavia e Giorgio, sentendo che i quattro fanno un secret santa, decidono di farlo anche loro. Poco dopo, però, rinunciano all'idea. Perché?

[axpgn]

Se non sbaglio dovrebbe avere una possibilità su tre così come Beatrice mentre gli altri tre hanno abbandonato perché non è un segreto
Per esempio se Eugenio pesca Flavia allora questa può pescare solo Giorgio e questi solo Eugenio

Cordialmente, Alex

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No, non hanno entrambi una possibilità su tre
Mentre per i tre che abbandonano, sì!

[Drazen77]

Non mi è chiaro se uno possa fare un regalo a colui da cui l'abbia ricevuto oppure no, ma se non ho capito male è possibile. Se è così, allora...
...dato che pescano in ordine alfabetico, D può pescare C solo se C è l'ultimo bigliettino rimasto nel cappello, e questo avviene solo in tre casi:

1)
A pesca B
B pesca D
C pesca A
D pesca C

2)
A pesca D
B pesca A
C pesca B
D pesca C

3)
A pesca B
B pesca A
C pesca D
D pesca C

B, invece, può pescare C (sempre se C non sia stato già pescato da A) in questo modo:

1) ha una possibilità su tre nel caso in cui A abbia pescato B (B pescherebbe tra A, C e D)

2) ha una possibilità su due nel caso in cui A abbia pescato D (ne considero due perché B pescherebbe tra A, B e C, ma nel caso in cui pescasse B rifarebbe la pescata).

E, F e G rinunciano perchè tra loro non ci può essere segretezza.

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Sni...
è corretto quello che dici, ma quindi qual'è la probabilità che ha D di pescare C? E per B?
Per i tre è corretto!
ps: si uno può regalare a qualcuno da cui lo riceve perché è anonimo.

[axpgn]

"3m0o":No, non hanno entrambi una possibilità su tre

Perché no? Su $24$ permutazioni, solo $9$ sono valide e per entrambi ce ne sono tre buone.

Cordialmente, Alex

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axpgn

Se ti rispondo al perché praticamente ti dico la soluzione

[axpgn]

@3m0o

Il fatto è che io sono convinto della mia

Cordialmente, Alex

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@axpgn, indizio

Ti do un piccolo indizio: ci sono due categorie di permutazioni "non buone" che tu metti in una sola, e questo ti induce in errore nel calcolo delle probabilità.

aggiunta:

E questa è la principale ragione per cui non hanno entrambi 1/3 di probabilità, o meglio nessuno dei due ha 1/3 di probabilità di pescare Celeste

[axpgn]

Non sono d'accordo

Fai tutte le estrazioni ad una ad una e vedi ...



Cordialmente, Alex

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

@axpgn

Sono io a non essere d'accordo
Ci sono 3 possibili tipi di estrazioni:
- Estrazioni valide e "buone" (che possono avvenire)
- Estrazioni non valide (che non possono avvenire)
- Estrazioni valide e "non buone" (che possono avvenire)
Il problema è che non distingui un'estrazione "non valida" da un estrazione "valida" e "non buona". Sono volutamente vago

edit: aggiunta

Senza vincoli ogni permutazione è equiprobabile, ma con i vincoli delle regole del secret santa e di come hanno deciso la modalità di estrazione, allora i 3 tipi di estrazione distinti rendono non più equiprobabile le estrazioni valide e "buone"

[Drazen77]

Nel senso che Daniele ha 3 probabilità su 11 di pescare Celeste?

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O no... "molto" di più
ha quasi una probabilità di 0.4 di pescare Celeste (sono volutamente impreciso sull'approssimazione per non dare troppi indizi)

edit: indizio

Continuate a vedere questa cosa come una distribuzione uniforme, ma non è una distribuzione uniforme!! Se estraessero un numero da 1 a 24 che corrisponde ad una delle 24 possibili permutazioni, allora sarebbe uniforme, ma loro estraggono un nome dopo l'altro... ogni nome, è vero, ha la stessa probabilità di uscita degli altri, ma a fine estrazione - con le loro regole - le permutazioni possibili non sono equiprobabili!
E non essendo uniforme non si può utilizzare la definizione di probabilità
[ frac{ ext{casi favorevoli}}{ ext{casi totali}} ]
dunque la probabilità non è ne 1/3 ne 3/11

[axpgn]

Continuo a non essere d'accordo ma ci penserò con più calma più tardi

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

Non avevo tenuto conto di alcune pescate "particolari" che possono dare informazioni alle persone rimanenti. Esempio:
A pesca C.
B pesca B e deve ripescare.
B pesca A.
Il fatto che abbia ripescato fa capire a C e a D che A non abbia pescato B.
C pesca D e sa che D pescherà B.
La "segretezza" riguardo alla pescata di D è compromessa e bisogna ricominciare.
Questa sequenza di pescate invalida tutto, ma è valida ai termini statistici.

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@Drazen77

Essenzialmente diciamo che hai centrato il punto, ma ti sei concentrato sul significato sbagliato! La segretezza non è totalmente rotta e se B ripesca (perché pesca se stesso) continuano la giocata senza ricominciare. Per ovviare a dare informazioni supplementari possiamo dire che entrano in una stanza uno alla volta, in modo che gli altri non vedono quante volte pesca uno!

[Drazen77]

Allora rimane il caso in cui è C a pescare se stesso.
Rimette la C nel sacchetto e sa che la pescherà D.
In questo caso non c'è modo di evitare la compromissione della segretezza.

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Si, è quello che dicevo, hai centrato il punto, ma non vederla come una rottura di segretezza, vedila come un imposizione di probabilità. Se tocca a C pescare, e nel cappello rimangono C e B (ad esempio) invece di avere 1/2 e 1/2 di probabilità, ha semplicemente probabilità 1 di pescare B.

[superpippone]

Daniele regala a Celeste:

$7/18$

[superpippone]

Beatrice regala a Celeste:

$5/18$

[axpgn]

Persisto nel ritenere non corretta l'interpretazione data da 3m0o & Co.

Mi pare che tutti dicano che alla prima pescata, $A$ abbia la probabilità di $1/3$ di pescare $B$, di $1/3$ di pescare $C$ e di $1/3$ di pescare $D$. Ne consegue che la probabilità di pescare $A$ da parte di $A$ sia zero.
Se si vuole essere coerenti quindi anche quando gli altri pescano sé stessi la probabilità è nulla, in particolare tutte le volte che $D$ pesca $D$ (tant'è vero che quel caso non produce una situazione valida ma si ricomincia).

Ciò porta alla seguente situazione:



Oibò, la probabilità complessiva di tutte le combinazioni è minore di uno!

C'è qualcosa che non va, non vi pare?

Cordialmente, Alex