Secret Santa.

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Quattro amici: Andrea, Beatrice, Celeste e Daniele, decidono di fare un secret santa. Ovvero ciascuno fa un regalo a qualcuno d'altro e ciascuno riceve un regalo da qualcuno d'altro. Il tutto anonimamente fino allo scambio dei regali.
Per decidere chi fa il regalo a chi, in modo un po' naif, i quattro amici optano di operare nel seguente modo.
Ciascuno, su un foglietto, scrive il proprio nome e lo inserisce in un cappello. A turno pescano un foglietto, il nome pescato sarà la persona a cui dover fare il regalo di natale.
Se, per contro, sul foglietto pescato c'è scritto il proprio nome allora si rimette dentro al cappello - poiché nessuno può fare un regalo a se stesso - e si pesca nuovamente fintanto che non si pesca un foglietto con il nome di qualcun altro. Poi il cappello passa al successivo che pesca un foglietto.
Se l'ultimo pesca il proprio nome si rifà tutto d'accapo poiché scambiare i biglietti non può funzionare siccome non sarebbe più anonimo. L'ordine con cui pescano è quello alfabetico: prima Andrea poi Beatrice, in seguito Celeste ed infine Daniele.
Daniele spera di pescare Celeste, poiché ci tiene particolarmente a farle un regalo. Può dirsi speranzoso di pescare il foglietto con su il nome di Celeste? E se fosse Beatrice a voler fare un regalo a Celeste?

Eugenio, Flavia e Giorgio, sentendo che i quattro fanno un secret santa, decidono di farlo anche loro. Poco dopo, però, rinunciano all'idea. Perché?

[superpippone]

Alex: la tua tabella era esatta.

Però hai dimenticato un dettaglio.
Le permutazioni possibili sono 24.
Di queste in 11 casi si arriva fino alla "fine", cioè tutti e 4 fanno il sorteggio.

Di queste 11, 9 con probabilità $31/36$ sono "valide", mentre 2 (quando D pesca D) con probabilità $5/36$ non sono valide.

Ma poichè la domanda è (circa) "Sapendo che l'estrazione è vailda, qual è la probabilità che x regali a y?"
Ecco qui entriamo nella probabilità condizionata, e consideriamo solo i $31/36$

Per cui le tue probabilità diventano:

$5/18*36/31=10/31$----$1/4*36/31=9/31$----$1/3*36/31=12/31$

[axpgn]

"superpippone":Però hai dimenticato un dettaglio.

No, non mi sono perso quel dettaglio.

La tabella l'ho fatta proprio per evidenziare quel fatto ovvero che le probabilità di $2/9$ e $7/18$ vengono se consideri anche le giocate "non valide", che era la tesi iniziale di 3m0o, mentre io sostenevo che si dovesse tener conto solo di quelle che vanno "a buon fine" (ma non ho calcolato le probabilità relative a ciò le quali però, come hai giustamente fatto tu, si possono ricavare da quella tabella, ammesso che siano giuste le probabilità delle singole pescate ... e mi pare di sì )

Cordialmente, Alex

[gabriella127]

"axpgn":

io sostenevo che si dovesse tener conto solo di quelle [le giocate] che vanno "a buon fine"

Sono perfettamente d'accordo con axpgn, bisogna considerare solo le giocate valide, quelle non valide è come se non esistessero.
Io ho fatto così, con un procedimento molto semplice, nel calcolare la probabilità che Daniele faccia il regalo a Celeste e che, come dicevo in un post sopra, mi dà come risultato $0,41666...$.

Le giocate non valide dunque non vanno considerate, sono inutili, fuffa da buttare, (lì la probabilità che Daniele fa il regalo a Celeste è zero...). Vanno considerate solo quelle valide.
Ma quante sono quelle valide da considerare'? Una, perché appena fatta una giocata valida, il gioco finisce.
Quindi bisogna calcolare la probabilità che Daniele fa il regalo a Celeste in quell'unica giocata valida.

Io ho calcolato questa probabilità con un procedimento che mi sembra corretto, poi ho avuto dei dubbi, ho risposto ai dubbi, ora mi sembra di nuovo corretto (ma mi potranno venire altri dubbi....)

p.s. la probabilità che una giocata valida non arrivi mai è praticamente $0$, è una probabilità che va a $0$ al crescere del numero di prove: è praticamente impossibile che gli amici continuino a giocare fino alla vecchiaia e non ci sia mai una giocata valida...

[axpgn]

@gabriella

Se ho ben compreso il tuo pensiero, tu affermi che la probabilità di riuscita di una combinazione valida (come per esempio $BADC$) è la stessa sia che esca al primo colpo che dopo ripetuti tentativi a vuoto.
Ma in realtà sono diverse; 3m0o ne ha dato una spiegazione teorica di questa differenza, che trova conferma nelle simulazioni che ho fatto.
Anche nella mia simulazione conto come UNA ogni combinazione valida indipendentemente da quante volte si è dovuto ricominciare ma i valori percentuali che ne risultano combaciano (sperimentalmente) con quelli di 3m0o.

Cordialmente, Alex

[gabriella127]

"axpgn":@gabriella

Se ho ben compreso il tuo pensiero, tu affermi che la probabilità di riuscita di una combinazione valida (come per esempio $BADC$) è la stessa sia che esca al primo colpo che dopo ripetuti tentativi a vuoto.
Ma in realtà sono diverse; 3m0o ne ha dato una spiegazione teorica di questa differenza, che trova conferma nelle simulazioni che ho fatto.
Anche nella mia simulazione conto come UNA ogni combinazione valida indipendentemente da quante volte si è dovuto ricominciare ma i valori percentuali che ne risultano combaciano (sperimentalmente) con quelli di 3m0o.

No Alex, sto dicendo tutta un'altra cosa.
Rileggo con più attenzione il tuo post, e rispondo in un momento che ho più tempo.
Comunque io sto calcolando la probablità che Daniele faccia il regalo a Celeste, come chiede il quesito iniziale, non altro

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Io non ho capito diverse cose
@axpgn
Accetti come soluzione \( 14/31\) ?

Se si perché dici che consideri "non valido" che esca D alla fine? Per trovare 14/31 devi lasciarti la possibilità che i 4 ricominciano.
Il mio ragionamento iniziale non cambia, avevo semplicemente cannato il calcolo della probabilità totale. \(7/18 \) è la probabilità che esca al primo sorteggio.
Se no, come mai?

@gabriella
Quelle non valide esistono! Perché è possibile che non decidano mai chi faccia il regalo a chi. Ovvero che il gioco non finisce mai! Tu parti dal presupposto che finisce per forza. L'evento che il gioco non finisce ha probabilità \(0\), ma probabilità zero è diverso da impossibile, vuol dire che è quasi certo che finisce. Ma sono due cose ben distinte.

@superpippone
No, non è probabilità condizionata. Se tu vuoi calcolarti la probabilità che D peschi C sapendo che l'estrazione è sarà valida allora è la probabilità è \(7/18\).

[axpgn]

@3m0o
Lo accetto perché combacia con la mia simulazione.
Non ho approfondito la dimostrazione che fai quindi non dico nulla in merito ma quello che sostengo fin dall'inizio è che una soluzione "valida" è quella che porta ad una combinazione accettabile, ad una combinazione in cui i quattro amici possano effettivamente scambiarsi i regali ma non a sé stessi.
Quando $D$ pesca $D$ io non affermo che ciò non sia "valido" in termini assoluti ma, ho come ho già scritto, affermo che "non è finita lì", siamo ancor in corso d'opera, di conseguenza NON si può dare una probabilità a quel punto a quella combinazione perché non abbiamo finito, mentre questo è ciò che sostenevi inizialmente ed in questo caso è giusto il valore di $7/18$ (come anche nella mia tabella) ma solo perché ti fermi lì, e non è corretto.
Poi ti sei convinto che la situazione era meno netta di quel che sembrava ed hai modificato il modello.
Il quale, siccome combacia con i miei risultati, è sicuramente giusto (anche se non l'ho verificato )
Nella realtà (ti ricordi che avevi detto che quello iniziale era la modellizzazione più aderente alla realtà?), come nell'esempio che ho scritto, avremo $45$ gruppi di amici ogni cento in cui la Celeste di turno (ovvero il terzo che pesca) riceverà il regalo dal Daniele di turno (ovvero l'ultimo che pesca).
Siamo d'accordo?

Cordialmente, Alex

[gabriella127]

"3m0o":
@gabriella
Quelle non valide esistono! Perché è possibile che non decidano mai chi faccia il regalo a chi. Ovvero che il gioco non finisce mai! Tu parti dal presupposto che finisce per forza. L'evento che il gioco non finisce ha probabilità \(0\), ma probabilità zero è diverso da impossibile, vuol dire che è quasi certo che finisce. Ma sono due cose ben distinte.

Ma certo che sono distinte, ma la probabilità che il gioco non finisca è talmente bassa che la possiamo trascurare, oppure se vuoi la consideriamo piccolissima ma diversa da zero, resta il fatto che troviamo la probabilità che Daniele faccia il regalo a Celeste con alta approssimazione, in fondo è quello che facciamo con i decimali...
Cioè, ad esempio scriviamo:

Probabilità che $D$ faccia il regalo a $C= x*$(probabilità che il gioco finisca in un fantastilione di giocate) \( \simeq \) $x$,
poiché la probabilità che il gioco finisca in un fantastilione di giocate è vicinissimo a $1$.

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"axpgn":@3m0o
Lo accetto perché combacia con la mia simulazione.
Non ho approfondito la dimostrazione che fai quindi non dico nulla in merito ma quello che sostengo fin dall'inizio è che una soluzione "valida" è quella che porta ad una combinazione accettabile, ad una combinazione in cui i quattro amici possano effettivamente scambiarsi i regali ma non a sé stessi.
Quando $D$ pesca $D$ io non affermo che ciò non sia "valido" in termini assoluti ma, ho come ho già scritto, affermo che "non è finita lì", siamo ancor in corso d'opera, di conseguenza NON si può dare una probabilità a quel punto a quella combinazione perché non abbiamo finito, mentre questo è ciò che sostenevi inizialmente ed in questo caso è giusto il valore di $7/18$ (come anche nella mia tabella) ma solo perché ti fermi lì, e non è corretto.
Poi ti sei convinto che la situazione era meno netta di quel che sembrava ed hai modificato il modello.
Il quale, siccome combacia con i miei risultati, è sicuramente giusto (anche se non l'ho verificato )
Nella realtà (ti ricordi che avevi detto che quello iniziale era la modellizzazione più aderente alla realtà?), come nell'esempio che ho scritto, avremo $45$ gruppi di amici ogni cento in cui la Celeste di turno (ovvero il terzo che pesca) riceverà il regalo dal Daniele di turno (ovvero l'ultimo che pesca).
Siamo d'accordo?

Cordialmente, Alex

Si, ma anche tu però... continuavi a dire che non eri d'accordo ma non dicevi il motivo. O meglio avevi detto che erano equiprobabili (erano le 2 del mattino sì), ma poi dicevi non sono d'accordo senza specificare che avevi abbandonato l'idea dell'equiprobabilità. E io ero convinto ti riferissi al fatto che tu considerassi non possibile che D pesca D (nemmeno alla prima estrazione) e non che intendessi che il gioco continua. Io ho semplicemente se vuoi suddiviso il gioco in giocate. Ad ogni giocata è possibile che essa termini con D che ha pescato D. Ma il gioco grande non è finito. Poi ho sbagliato a calcolare la probabilità (quel papello enorme è una boiata il calcolo finale della probabilità), ma il mio modello "iniziale" non è cambiato. Ovvero suddividere il Secret Santa in sorteggi e ad ogni giocata D può pescare D e termina una singola giocata. E intendevo questo con modellizzazione più aderente alla realtà, rispetto a cosa? Rispetto all'equiprobabilità (perché io non avevo capito che ti eri staccato da quell idea). Pensavo sostenessi ancora che erano equiprobabili quando dicevi "non sono d'accordo". Invece dici semplicemente di modellizzare in altro modo.

[axpgn]

"3m0o":Si, ma anche tu però... continuavi a dire che non eri d'accordo ma non dicevi il motivo.

Embè? Mica avevo le idee chiare
Ero convinto che non fosse del tutto corretta la tua idea, che mancasse qualcosa ma da lì a capire esattamente cosa ce ne vuole un po' ...
Per essere precisi però ho sempre sostenuto che il gioco non fosse finito lì come invece sostenevi tu o per meglio dire, era quello che sembrava dicessi (anche perché le tue probabilità portavano lì).
Il tutto evidenzia bene come, in mancanza di definizioni precise precise, poi diventa difficile anche solo capirsi


Cordialmente, Alex