Scatole - cifre - testa o croce

[nino_12]

1) Abbiamo un certo numero di scatole identiche, le cui dimensioni a < b < c sono espresse da valori interi, in pollici, e sia la lunghezza, che la larghezza e l'altezza sono minori di 36.
Se le accatastiamo una sull'altra a formare una pila, la superficie esterna del solido risultante è esattamente la metà di quella che si sarebbe ottenuta se le scatole fossero state sistemate in contatto una di fianco all'altra a formare una fila e 2/5 di quella che si sarebbe ottenuta mettendole in contatto per la loro faccia più piccola.
Quante scatole ci sono?

2) Abbiamo 16 cifre distribuite in questo modo:

A B C D
E F G H
I L M N
O P Q R

Ad ogni lettera corrisponde una cifra, ovviamente a lettere diverse possono corrispondere cifre uguali. Si sa che:
a) Sono presenti tutte le cifre da 0 a 9 almeno una volta
b) Deve essere, orizzontalmente: A*D = BC ; E*H = FG ; I*N = LM ; O*R = PQ e anche verticalmente: A*O = EI ; B*P = FL ; C*Q = GM ; D*R = HN
Cioè le due cifre esterne moltiplicate danno il numero di due cifre racchiuso fra loro.
Quante e quali sono le soluzioni distinte?

3) Devi fare una scelta importante ed a tale scopo ti affidi alla classica tecnica del "Testa o Croce", che permette di decidere fra due possibilità con uguale probabilità.
Purtroppo disponi solo di una moneta non bilanciata, che è appesantita da un lato e quindi, lanciandola, la probabilità che esca testa è diversa da quella che esca croce.
Come puoi usare questa moneta in modo da avere il 50% della probabilità che si verifichi l'evento (come se tu avessi una moneta perfetta)?

[al_berto]

Ciao nino.

La risposta che mi è venuta in mente è lanciarla un numero n di volte iniziando una volta con la moneta girata in un modo e poi girata dall'altra per poi scegliere la maggioranza.
Una cosa che poi ho notato che alla fine non dici "lanciare" la moneta ma "usarla" cioè usare la moneta senza lanciarla, ma come? Facendola roteare no, perchè cadrebbe prevalentemente dalla parte più pesante... Oppure la puoi girare tu senza la forza di gravità, cioè lanciandola prendendola in mano per poi decidere come voltare le mani... può essere

Per gli altri vedrò stasera.
Ciao a tutti
aldo

[nino_12]

[ot]Inviato per errore.
Scusate[/ot]

[nino_12]

"nino_":[quote="al_berto"]Ciao nino.

La risposta che mi è venuta in mente è lanciarla un numero n di volte iniziando una volta con la moneta girata in un modo e poi girata dall'altra per poi scegliere la maggioranza.
Una cosa che poi ho notato che alla fine non dici "lanciare" la moneta ma "usarla" cioè usare la moneta senza lanciarla, ma come? Facendola roteare no, perchè cadrebbe prevalentemente dalla parte più pesante... Oppure la puoi girare tu senza la forza di gravità, cioè lanciandola prendendola in mano per poi decidere come voltare le mani... può essere

Per gli altri vedrò stasera.
Ciao a tutti
aldo

No, scusa, ho detto "usare la moneta", semplicemente per intendere di sfruttarla, pur essendo "truccata" e non bilanciata, in modo che l'esito dei lanci ti permetta di fare una scelta perfettamente casuale, come se tu avessi una moneta che dà il 50% di T e il 50% di C.
Ovviamente,all'inizio tu devi sempre scegliere fra T (fai una cosa) e C (ne fai un'altra).
A questo punto segui la strategia che hai elaborato, sicuro che qualunque sia l'esito dei lanci, hai la garanzia che i due eventi si possono verificare esattamente con il 50% di probabilità.
Non si tratta quindi di manipolazioni o trucchi nel modo di lanciare la moneta, ma solo di considerazioni matematiche.

Comunque, a prescindere dalla soluzione che mi aspetto, ti faccio i complimenti per la tua proposta "prenderla in mano e poi decidere come voltare la mano", che è brillante e convincente.

[/quote]

Ciao
Nino

(Ho inviato per sbaglio il messaggio precedente e non so come eliminarlo)

[al_berto]

Ciao,
hai provato a cliccare a fianco a Modifica in alto a ds del tuo messaggio la X nera?
aldo

[nino_12]

Non vedo nessuna X nera . a destra di Modifica c'è solo un triangolino per segnalare il messaggio.

Mi sono accorto che la X c'è, ma solo su questo messaggio, probabilmente perché è l'ultimo.

[axpgn]

Quando qualcuno ha già risposto al tuo messaggio non è più possibile eliminarlo (almeno questo è quello che ho notato).
Però puoi sempre entrare in modifica e cancellarne il contenuto (ed eventualmente lasciare una motivazione)

Cordialmente, Alex

[nino_12]

Grazie. E' proprio così.
Ciao
Nino

[axpgn]

Per la 3) puoi vedere qui ... viewtopic.php?f=12&t=132603&p=848991&hilit=moneta#p848991



Cordialmente, Alex

[nino_12]

Non sapevo che era già stato proposto...

In effetti, lanciando due volte qualsiasi moneta (coppie di due lanci, non si possono considerare semplicemente i risultati di due lanci in sequenza), si ha:

TT= p(T)*p(T)

TC = p(T)*p(C)

CT = p(C)*p(T)

CC= p(C)*p(C)

Se dovesse uscire TT o CC pazienza, si ripetono altri due lanci.
L'uscita di TC o di CT ha invece la stessa probabilità e quindi consente di fare una scelta (es. scommettendo sul primo segno uscito) con la probabilità del 50%.

Ciao
Nino

[axpgn]

Scatole

Dunque ...

$a=2$
$b=5$
$c=20$

$N=16$

Superficie esterna di una scatola: $2*(ab+ac+bc)=2*(2*5+2*20+5*20)=2*(10+40+100)=2*150=300$
Superficie esterna di $N$ scatole: $N*300=16*300=4800$
Superficie da detrarre quando sono "appiccicate" per la faccia più piccola: $2*(N-1)*ab=2*15*10=300$
Superficie da detrarre quando sono "appiccicate" per la faccia intermedia: $2*(N-1)*ac=2*15*40=1200$
Superficie da detrarre quando sono "appiccicate" per la faccia più grande: $2*(N-1)*bc=2*15*100=3000$

Sup.Max: $4800-300=4500$
Sup.Med: $4800-1200=3600$
Sup.Min: $4800-3000=1800$

Rapporto tra Med e Min: $3600/1800=2$

Rapporto tra Max e Min: $4500/1800=5/2$

Cordialmente, Alex

[nino_12]

"axpgn":Scatole

Dunque ...

$a=2$
$b=5$
$c=20$

$N=16$

Superficie esterna di una scatola: $2*(ab+ac+bc)=2*(2*5+2*20+5*20)=2*(10+40+100)=2*150=300$
Superficie esterna di $N$ scatole: $N*300=16*300=4800$
Superficie da detrarre quando sono "appiccicate" per la faccia più piccola: $2*(N-1)*ab=2*15*10=300$
Superficie da detrarre quando sono "appiccicate" per la faccia intermedia: $2*(N-1)*ac=2*15*40=1200$
Superficie da detrarre quando sono "appiccicate" per la faccia più grande: $2*(N-1)*bc=2*15*100=3000$

Sup.Max: $4800-300=4500$
Sup.Med: $4800-1200=3600$
Sup.Min: $4800-3000=1800$

Rapporto tra Med e Min: $3600/1800=2$

Rapporto tra Max e Min: $4500/1800=5/2$

Cordialmente, Alex

L'impostazione di partenza è:

$bc + Nab + Nac = 1/2(ac+Nbc+Nab) = 2/5(ab+Nac+Nbc)$

da cui si possono mettere in relazione e ricavare $b$ e $c$ in funzione di $a$ e $N$.
La soluzione si ottiene poi con qualche ragionamento (sui divisori possibili che generano soluzioni intere).

Ciao
Nino

[al_berto]

Ciao a tutti,

$( c*b+2*(a*c+a*b)*n)$
$(n*b*c+2*(a*b)*n+2*a*c)*1/2$
$(n*b*c+2*(a*c)*n+2*a*b)*2/5$
Le scatole dovrebbero essere $16$ e le misure $1, 5, 20$ la superficie della pila $900$

aldo

[nino_12]

@ al_berto

C'è qualcosa che non va, mi pare un $*2$ che manca nel primo termine di ciascuna delle tre equazioni.

Ciao
Nino

[al_berto]

Ciao,
@ nino
scusa, quelle che ho scritto non sono neppure equazioni,
dovevo scrivere così:

$ (c*b+2*(a*c+a*b)*n)=(n*b*c+2*(a*b)*n+2*a*c)*1/2$
$ (c*b+2*(a*c+a*b)*n)=(n*b*c+2*(a*c)*n+2*a*b)*2/5$
Sono vere con $a=1, b=5, c=20, n=16$ e sono uguali a $900$

ciao a tutti
aldo

[axpgn]

@al_berto
Non mi torna ...

$a=1\ \ b=5\ \ c=20\ \ n=16$

$ab=5\ \ ac=20\ \ bc=100$
$\text(Superficie esterna scatola)=2*(ab+ac+bc)=2*(5+20+100)=250$
$\text(Superficie esterna totale di)\ n\ \text(scatole)=16*250=4000$

Se le mettiamo in contatto tra loro tramite la faccia minore otteniamo la superficie maggiore così $4000-2*(n-1)*5=4000-15*10=3850$
E poi quella intermedia così $4000-2*(n-1)*20=4000-15*40=3400$
Ed infine quella minore $4000-2*(n-1)*100=4000-15*200=1000$

E come puoi vedere il rapporto tra la maggiore e la minore non è $5/2$.

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Per la 2) ...

A me pare impossibile ... lo zero occupa quattro posti dei sedici a disposizione, quindi ne rimangono dodici per nove cifre (e tre sole ripetizioni).
Però l'inserimento del $5$ utilizza sempre due ripetizioni e così accade pure con il $7$.
Perciò mi pare impossibile ...

Cordialmente, Alex

[nino_12]

"axpgn":Per la 2) ...

A me pare impossibile ... lo zero occupa quattro posti dei sedici a disposizione, quindi ne rimangono dodici per nove cifre (e tre sole ripetizioni).
Però l'inserimento del $5$ utilizza sempre due ripetizioni e così accade pure con il $7$.
Perciò mi pare impossibile ...

Cordialmente, Alex

No, lo zero occupa un posto solo (non è ripetuto e non può essere in nessun posto esterno).
Forse non sono stato chiaro, quando moltiplicando i due esterni il prodotto è minore di 10, es. 1*2, i due centrali devono essere 02. Se invece i due esterni sono es. 4*5, i due centrali sono 20

Ciao
Nino

[nino_12]

"al_berto":Ciao,
@ nino
scusa, quelle che ho scritto non sono neppure equazioni,
dovevo scrivere così:

$ (c*b+2*(a*c+a*b)*n)=(n*b*c+2*(a*b)*n+2*a*c)*1/2$
$ (c*b+2*(a*c+a*b)*n)=(n*b*c+2*(a*c)*n+2*a*b)*2/5$
Sono vere con $a=1, b=5, c=20, n=16$ e sono uguali a $900$

ciao a tutti
aldo

Non va bene, come anche ti ha detto axpgn
Devi moltiplicare per 2 i tuoi primi termini, come ti avevo scritto prima (oppure togliere i tuoi *2)
In tal modo:
a=2, b=5, c=20, n=16
e i conti tornano:
$ 1800 = 3600*1/2 = 4500*2/5 $

Ciao
Nino

[axpgn]

"nino_":No, lo zero occupa un posto solo (non è ripetuto e non può essere in nessun posto esterno).
Forse non sono stato chiaro, quando moltiplicando i due esterni il prodotto è minore di 10, es. 1*2, i due centrali devono essere 02. Se invece i due esterni sono es. 4*5, i due centrali sono 20

Ho interpretato il quesito come se fosse l'uguaglianza di due prodotti (che così sembra ... ) ... forse sarebbe stato meglio se avessi messo un esempio ...

Cordialmente, Alex

[nino_12]

Scusa, però avevo scritto:

b) Deve essere, orizzontalmente: A*D = BC ; E*H = FG ; I*N = LM ; O*R = PQ e anche verticalmente: A*O = EI ; B*P = FL ; C*Q = GM ; D*R = HN
Cioè le due cifre esterne moltiplicate danno il numero di due cifre racchiuso fra loro.

Il segno della moltiplicazione c'era solo fra i termini esterni.
Ciao
Nino