Rompicapo trascendente

[Paolo112]

Questo rompicapo non son riuscito a risolverlo e perciò chiedo aiuto: Abbiamo $e^Pi$ e $Pi^e$ ,e è il numero di Nepero, senza usare la calcolatrice come si fa a determinare il maggiore tra i due numeri?

[fu^2]

io farei così

$e^Pi=e^(Piloge)
$Pi^e=e^(elogPi)

quindi abbiamo che $(Piloge)/(elogPi)>1$ in quanto $Pi>logPi$ ed $e=loge$

ricaviamo quindi che $(Pi)/e>logPi$

da qui si ricava che $e^(Piloge)>e^(elogPi)$->$e^Pi>Pi^e$

salvo sviste mi pare giusto

[Eredir]

"fu^2":quindi abbiamo che $(Piloge)/(elogPi)>1$ in quanto $Pi>logPi$ ed $e=loge$

E' chiaramente sbagliato $e=loge$, quindi non puoi sapere se questa disuguaglianza è vera.

[fu^2]

e>loge volevo dire

quindi ricavi che $Pi/e>logPi/loge$ e poi è come prima...

infatti se $Pi>logPi$ e $e>loge$ allora vale $Pi/e>logPi/loge$

[Eredir]

"fu^2":e>loge volevo dire

quindi ricavi che $Pi/e>logPi/loge$ e poi è come prima...

infatti se $Pi>logPi$ e $e>loge$ allora vale $Pi/e>logPi/loge$

Tu hai che $\pi>log\pi$ e che $e>loge$, quindi $\pi/log\pi>1$ e $loge/e<1$.
Come fai ad affermare che $\pi/log\piloge/e>1$, ovvero $\pi>e*log\pi$?

[Paolo112]

Ho provato una strada nuova ma non so se sia corretta:$Pi^e$= $Pi^((1+1/alepho)^alepho)$, dove $ aleph0$ è l'infinito numerabile: semplificando in modo non corretto si ottiene $Pi$. $e^Pi$ =$(1+1/aleph0)^aleph0^Pi$, semplificando con lo stesso metodo non corretto si ha$1^Pi$=1. Quindi il termine elevato alla e è maggiore del termine elevato a $Pi$.

[Cmax1]

Qualche tempo fa si è discusso nel forum delle soluzioni positive dell'equazione $x^y=y^x$, e si è visto che sono date dall'unione dei punti per cui $y=x$, oppure $(x=t^{1/(t-1)},y=t^{t/(t-1)})$. Questo risultato è utile a definire, per $x\ge0, y\ge0$, i domini in cui la funzione $g(x,y)=y^x-x^y$ è positiva, negativa o nulla. Una volta tracciati, si vede che $g(e,\pi)<0$ ($(e,\pi)$ giace un po' sopra la retta $y=x$ in quanto $\pi>e$), e quindi $\pi^e
EDIT: altro modo, considerare la funzione $f(x)=(lnx)/x$, e verificare che ha un massimo per $x=e$, quindi $(ln\pi)/\pi<1/e$. Ma massimi e minimi di una funzione (anche se di una sola variabile) credo possano essere considerati nozioni più avanzate della definizione di domini.

[fu^2]

propongo una soluzione che mi ha mostrato oggi un mio compagno di corso al quale avevo proposto il giochino

dimostrazione che $e^pi>pi^e$:

$e^(pi+e-e)>pi^(e+pi-pi)$

$e^(pi+e-e)/(e^e)>pi^(e+pi-pi)/(e^e)>pi^(e+pi-pi)/(pi^pi)$

$e^e/e^ee^(pi-e)>pi^pi/pi^pipi^(e-pi)

$e^(pi-e)>e^((e-p)logpi)

posso confrontare gli esponenti

$pi-e>(e-p)logpi

$(pi-e)/(pi-e)>-(pi-e)/(pi-e)logpi

$1>-logpi

che è una disugualianza vera.

ripercorrendo all'incontrario volendo si ottiene la tesi.

[raff5184]

"fu^2":propongo una soluzione che mi ha mostrato oggi un mio compagno di corso al quale avevo proposto il giochino

dimostrazione che $e^pi>pi^e$:

$e^(pi+e-e)>pi^(e+pi-pi)$

$e^(pi+e-e)/(e^e)>pi^(e+pi-pi)/(e^e)>pi^(e+pi-pi)/(pi^pi)$

$e^e/e^ee^(pi-e)>pi^pi/pi^pipi^(e-pi)

$e^(pi-e)>e^((e-p)logpi)

posso confrontare gli esponenti

$pi-e>(e-p)logpi

$(pi-e)/(pi-e)>-(pi-e)/(pi-e)logpi

$1>-logpi

che è una disugualianza vera.

ripercorrendo all'incontrario volendo si ottiene la tesi.

$lnpi$>$1$

[_luca.barletta]

"raff5184":[quote="fu^2"]propongo una soluzione che mi ha mostrato oggi un mio compagno di corso al quale avevo proposto il giochino

dimostrazione che $e^pi>pi^e$:

$e^(pi+e-e)>pi^(e+pi-pi)$

$e^(pi+e-e)/(e^e)>pi^(e+pi-pi)/(e^e)>pi^(e+pi-pi)/(pi^pi)$

$e^e/e^ee^(pi-e)>pi^pi/pi^pipi^(e-pi)

$e^(pi-e)>e^((e-p)logpi)

posso confrontare gli esponenti

$pi-e>(e-p)logpi

$(pi-e)/(pi-e)>-(pi-e)/(pi-e)logpi

$1>-logpi

che è una disugualianza vera.

ripercorrendo all'incontrario volendo si ottiene la tesi.

$lnpi$>$1$[/quote]

fu^2 ha erroneamente usato il simbolo $>-$ che in realtà è $> -$

[raff5184]

scusa fu

[fu^2]

"raff5184":scusa fu

immaginavo che creava dubbi... va beh meglio che nn ci siano freintendmenti

[Cmax1]

mumble mumble, non mi convince completamente.
Con lo stesso procedimento, sostituendo $e->2$ e $pi->3$ si parte dalla diseguaglianza $2^3>3^2$ (falsa) e si arriva a $1 > - log_2 3$ (vera).

[Cmax1]

Mi ero dimenticato di questo giochetto ...
Su Mathforum - Ask Dr. Math è risolto studiando la funzione $x/lnx$.