Riguardo $omega(n^2+1)$

[carlo232]

Sia $omega(n)$ il numero di numeri primi distinti che dividono $n$.

Dimostrare che la funzione $omega(n^2+1)$ non può essere definitivamente strettamente crescente.

PS gli esperti postino "oscurando"

[Sk_Anonymous]

Posso fare molto di più, carlo! Pertanto rilancio e vi sfido a provare quanto segue:

ore 8.00: "Posto $a_n = n^2+1$, per $n \in NN$, si dimostri che, comunque scelto un intero $k \ge 1$, esistono $n_1, n_2, ..., n_k \in NN$, a due a due distinti, tali che $\omega(a_{n_i}) = costante$, per ogni $i = 1, 2, ..., k$."

EDIT: si generalizza (in modo quasi ovvio)!

ore 12.00: "Sia $a \in ZZ$. Posto $a_n = n^2+a^2$, per $n \in NN$, si dimostri che, comunque scelto un intero $k \ge 1$, esistono $n_1, n_2, ..., n_k \in NN$, a due a due distinti, tali che $\omega(a_{n_i}) = costante$, per ogni $i = 1, 2, ..., k$."

EDIT: avevo commesso un errore nella formulazione del problema, adesso è corretto.