Rane e lampadine...

[Rigel1]

Vi propongo un giochino molto noto in caso ci fosse qualcuno che già non lo conosca...

Ci sono 100 lampadine, numerate da 1 a 100, munite di interruttore, e 100 rane.
Le lampadine sono inizialmente spente. Ogni pressione del relativo interruttore commuta lo stato della lampadina da accesa a spenta o viceversa.

La rana n. 1 salta e preme tutti gli interruttori (accendendo quindi tutte le lampadine).
La rana n. 2 salta e preme gli interruttori 2, 4, 6, ..., 100, vale a dire tutti i multipli di 2 (spegnendo quindi le relative lampadine).
La rana n. 3 salta e preme gli interruttori 3, 6, 9, ..., 99, vale a dire tutti i multipli di 3.
...
In generale, la rana n. k salta e preme gli interruttori multipli di k.

Quali sono le lampadine accese dopo che tutte le rane hanno saltato?

[Gatto891]

Già
Tra l'altro, in alternativa a farsi i casi a mano e notarlo poi, seguiva da questa "intuizione" iniziale:

"blackbishop13":Rimangono accese le lampadine con un numero che ha un numero dispari di divisori.

...che è proprio una caratterizzazione dei quadrati perfetti! (chiaramente si intende divisori positivi)

[al_berto]

Ok Gatto 89, mi associo in pieno.

[blackbishop13]

una cosa carina è dimostrare che è così, ovviamente senza mettersi lì a studiare tutti i casi, comunque senza la limitazione "minori di 101".
in pratica dimostrare che le due definizioni sui numeri interi:

"numeri che hanno un numero dispari di divisori"
e
"quadrati perfetti"

sono equivalenti.
@melia ha dato un accenno, ma come si fa precisamente?