Rane e lampadine...
Vi propongo un giochino molto noto in caso ci fosse qualcuno che già non lo conosca...
Ci sono 100 lampadine, numerate da 1 a 100, munite di interruttore, e 100 rane.
Le lampadine sono inizialmente spente. Ogni pressione del relativo interruttore commuta lo stato della lampadina da accesa a spenta o viceversa.
La rana n. 1 salta e preme tutti gli interruttori (accendendo quindi tutte le lampadine).
La rana n. 2 salta e preme gli interruttori 2, 4, 6, ..., 100, vale a dire tutti i multipli di 2 (spegnendo quindi le relative lampadine).
La rana n. 3 salta e preme gli interruttori 3, 6, 9, ..., 99, vale a dire tutti i multipli di 3.
...
In generale, la rana n. k salta e preme gli interruttori multipli di k.
Quali sono le lampadine accese dopo che tutte le rane hanno saltato?
Ci sono 100 lampadine, numerate da 1 a 100, munite di interruttore, e 100 rane.
Le lampadine sono inizialmente spente. Ogni pressione del relativo interruttore commuta lo stato della lampadina da accesa a spenta o viceversa.
La rana n. 1 salta e preme tutti gli interruttori (accendendo quindi tutte le lampadine).
La rana n. 2 salta e preme gli interruttori 2, 4, 6, ..., 100, vale a dire tutti i multipli di 2 (spegnendo quindi le relative lampadine).
La rana n. 3 salta e preme gli interruttori 3, 6, 9, ..., 99, vale a dire tutti i multipli di 3.
...
In generale, la rana n. k salta e preme gli interruttori multipli di k.
Quali sono le lampadine accese dopo che tutte le rane hanno saltato?
Risposte
una caratterizzazione potrebbe essere questa:
rimangono accese le lampadine con un numero che ha un numero dispari di divisori.
è molto logica, se premo una lampadina un numero pari di volte non cambio il suo stato, se la premo un numero dispari, invece sì.
il punto è da questa prima caratterizzazione arrivare a quella più carina e sintetica, che ancora non diciamo
, ma sono equivalenti.
rimangono accese le lampadine con un numero che ha un numero dispari di divisori.
è molto logica, se premo una lampadina un numero pari di volte non cambio il suo stato, se la premo un numero dispari, invece sì.
il punto è da questa prima caratterizzazione arrivare a quella più carina e sintetica, che ancora non diciamo
, ma sono equivalenti.
Carino, avendolo già visto lo lascio agli utenti che verranno 
.
Però, con un minimo di ragionamento, dopo il suggerimento di BlackBishop la soluzione dovrebbe venire quasi immediata...
.Però, con un minimo di ragionamento, dopo il suggerimento di BlackBishop la soluzione dovrebbe venire quasi immediata
...
Se ho capito i suggerimenti, potrebbero essere 8, o sono fuori?
Mi a che sono fuori.
Mi a che sono fuori.
Sono d'accordo con al_berto, anche secondo me sono 8
mah..8 mi pare strano..anzi direi di no, ce ne sono di sicuro di più.
anche perchè si può fare una caratterizzazione molto immediata, e risulta evidente che sono più di 8.
anche perchè si può fare una caratterizzazione molto immediata, e risulta evidente che sono più di 8.
"al_berto":
Se ho capito i suggerimenti, potrebbero essere 8, o sono fuori?
Mi a che sono fuori.
Già anche a me risultano (leggermente) di più, comunque perchè non posti quelli che hai trovato? Magari scrivendoli tutti di fila salta fuori qualche interessante "caratteristica comune"
Secondo me sono molti di più di 8...
Io ho ragionato nel seguente modo:
Ogni interruttore verrà premuto tante volte quanti sono i suoi divisori più uno (cioè dalla rana che corrisponde al numero dell'interrutore). Quindi se lo stato del divisore più vicino è "off", allora lo stato del tasto corrente sarà "on" e viceversa.
Io ho ragionato nel seguente modo:
Ogni interruttore verrà premuto tante volte quanti sono i suoi divisori più uno (cioè dalla rana che corrisponde al numero dell'interrutore). Quindi se lo stato del divisore più vicino è "off", allora lo stato del tasto corrente sarà "on" e viceversa.
Il numero uno dovrebbe rimanere sempre acceso. Ed è già un passo avanti!
@clrscr dicci anche come fai a trovarli, così ne discutiamo!
inoltre tieni presente che $1$ divide qualunque numero, quindi ti basta dire che l'interruttore $n$ viene schiacciato tante volte quanti sono i divisori di $n$.
è più semplice no?
@al_berto: non è chiaro il tuo messaggio, forse intendevi che il numero uno rimane accesoo, giusto?
inoltre tieni presente che $1$ divide qualunque numero, quindi ti basta dire che l'interruttore $n$ viene schiacciato tante volte quanti sono i divisori di $n$.
è più semplice no?
@al_berto: non è chiaro il tuo messaggio, forse intendevi che il numero uno rimane accesoo, giusto?
Si, me ne sono accorto e ho corretto.
La 1 dovrebbe rimanere sempre accesa e quindi la 2 e la 3 sempre spente, dato che le rane partono sempre da un punto in avanti e non tornano indietro. La 4 resta sempre accesa perchè è stata spenata dalla 2. La 5 sempre spenta, quindi anche tutti i numeri primi non successivi al 100 dovrebbero rimanere spenti perchè accesi dalla 1. La 6 è accesa dalla 1, spenta dalla 2, riaccesa dalla 3 e spenta dalla 6, quindi resta sempre spenta. 7 è un numero primo. La 8 è accesa dalla 1, spenta dalla 2, riaccesa dalla 4 e spenta dalla 8. La 9 è sempre accesa perchè la 3 la spegne e la 9 l'accende! Quindi praticamente i numeri che hanno multipli dispari rimangono accesi. Se ho capito bene tutti i numeri da 1 a 100 con multipli dispari sono la soluzione. Ho trovato la soluzione mentre scrivevo 
, ma quale procedimento abbastanza veloce riesce a trovarli senza rivederli uno per uno?
, ma quale procedimento abbastanza veloce riesce a trovarli senza rivederli uno per uno?
Quindi possiamo dire che tre numeri accesi sono: 1, 4, 9 ?
Esatto, e il successivo è 16...
36?
36?
"Rigel":
Esatto, e il successivo è 16...
e quello dopo, 25.
Io ho ragionato così: se $a$ è un divisore del numero $n$, lo è anche $n/a$, l'unico caso in cui $a=n/a$ si ha se $a^2=n$, quindi se $n$ è un quadrato. Per cui gli unici numeri con un numero dispari di divisori sono i quadrati. Le lampadine che rimangono accese sono tutti i quadrati minori o uguali a 100.
Esatto 
Allora le lampadine accese sono 10?
Sì: le numero 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.
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