Quesito probabilistico

[Piera4]

propongo il seguente quesito:
si supponga di lanciare ripetutamente una moneta truccata con
P(Testa)=p ,quindi P(Croce)=1-p,
determinare la probabilità che la sequenza
Croce-Testa-Croce sia osservata prima di Testa-Testa-Croce

[MaMo2]

Io ho trovato la seguente soluzione: P = (1 + p)(1 - p)^2.

[Piera4]

ti faccio i complimenti perchè è esatta!!

riporto la seguente risoluzione del problema che fa uso della probabilità condizionata (personalmente ritengo questa risoluzione fantastica, io non avrei mai pensato di affrontare questo problema nel
modo che sto per illustrare, la mia risoluzione è sicuramente più complicata e molto meno elegante)
Sia E(i,j) l’evento
mancano i lanci affinchè si realizzi la sequenza CTC e j lanci per TTC
pertanto l’evento che voglio calcolare sarà E=E(0,3)
pensando di registrare l’effetto del primo lancio si ha
P(E) = p*P[E|E(3,2)] +(1-p)*P[E|E(2,3)]
ma
P[E|E(3,2)] = p*P[E|E(3,1)] +(1-p)*P[E|E(2,3)]
P[E|E(2,3)] = p*P[E|E(1,2)] +(1-p)*P[E|E(2,3)]
P[E|E(1,2)] = p*P[E|E(3,1)] +(1-p)
Tenendo conto del fatto che P[E|E(3,1)] =0,
dalle equazioni precedenti si ricava
P[E|E(1,2)] = 1-p
P[E|E(2,3)] =1-p
P[E|E(3,2)] = (1-p)^2
e quindi P(E)=(1+p)(1-p)^2